1、規劃教材規劃教材 高職實用數學高職實用數學中山火炬職業技術學院中山火炬職業技術學院 導數與微分微分學導數的應用微積分定積分積分學不定積分目錄目錄2.4 2.4 高階導數高階導數2.2 2.2 導數的基本公式與運算法則導數的基本公式與運算法則2.3 2.3 復合函數與隱函數的導數復合函數與隱函數的導數2.5 2.5 微分微分2.1 2.1 導數的概念導數的概念2.6 2.6 小結習題課小結習題課鼻尖的曲率半徑為8-12毫米 主要內容主要內容 2.1.1 2.1.1 兩個引例兩個引例 2.1.2 2.1.2 導數的定義導數的定義 2.1.3 2.1.3 導數的幾何意義導數的幾何意義 2.1.4 2

2、.1.4 函數可導與連續的關系函數可導與連續的關系v1、函數的增量、函數的增量000 x當自變量由 變到x + x（即自變量在x 處有增量 x）相應函數有增量 y 復習復習：y = f（x 0 + x） f（x 0 ）)(xf)(0 xf 2、直線的點斜式方程：已知直線上的點直線的點斜式方程：已知直線上的點 且直線的斜率為且直線的斜率為k k，則直線方程為：，則直線方程為：00(,)xy00()yykxx1.變速直線運動的瞬時速度問題變速直線運動的瞬時速度問題0tt ,0時時刻刻的的瞬瞬時時速速度度求求ttot如圖如圖,00,ttt取一鄰近于 的時刻 , t 運運動動時時間間vts平均速度00

3、()( )s tts tt tggttgtttg2121)(2102020,0時當t取極限得取極限得00()( )vlimlim00s tts tstttt 瞬時速度.0gt s2()2gst即已知高臺跳水中運動員下落的高度已知高臺跳水中運動員下落的高度s是時間是時間t的函數的函數在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度s與起跳后的時間與起跳后的時間t存在函數關系存在函數關系 .求運動員起跳后第求運動員起跳后第4秒（秒（落水時落水時）的速度。的速度。2( )4.9米s tt00()( )vlimlim00瞬時速度 s tts tstttt.0gt (4)(4

4、)vlimlim00第四秒時速度 stsstttt4 =39. 2g米米/秒秒2.1 導數的概念導數的概念 toxy)(xfy cn如圖如圖,如果割線如果割線 繞點繞點 旋轉而趨向極限位置旋轉而趨向極限位置 ,直線直線 就稱為曲線就稱為曲線c在在點點 處的處的切線切線.mnmmtmtm首頁上頁下頁2. 平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率 設曲線設曲線c的方程的方程為為 ，求曲線上點，求曲線上點為為 的切線的斜率？的切線的斜率？? ?)(xfy),(00yxm),(00yxm2.1 導數的概念導數的概念割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放2. 平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜

5、率首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2. 平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2. 平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2. 平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2. 平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2. 平面

6、曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2. 平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念 t0 xoxy)(xfy cn割線的極限位置割線的極限位置即為切線求切即為切線求切線的斜率？線的斜率？),0( 時即當線段mn).,(),(0000yyxxnyxm設的斜率為割線mnxxfxxfxy)()(tan000,xmnc沿曲線的斜率為切線mtpyxxx0首頁上頁下頁000()()tanlimxf xxf xkx m 盡管上面兩個實際問題所涉及的量的具體意義不一樣，盡管上面兩個實際問題所涉及

7、的量的具體意義不一樣，一個是運動學中的一個是運動學中的速度問題速度問題，另一個是幾何學中的另一個是幾何學中的切線問題切線問題。但從抽象的數量關系來看，它們的實質是一樣的，都可以歸但從抽象的數量關系來看，它們的實質是一樣的，都可以歸結為：結為：求當自變量的改變量趨于零時，函數改變量與自變量改變量求當自變量的改變量趨于零時，函數改變量與自變量改變量之比的極限。之比的極限。 00000()()tanlim tanlimlimxxxf xxf xyxx 00000 ()( )limlimttt ts tts tsttv 數學上將此形式稱為導數。數學上將此形式稱為導數。 2.1 導數的概念導數的概念定義

8、定義1 設函數設函數 在在 的某個鄰域內有定義，的某個鄰域內有定義，當自變量當自變量 在在 處有改變量處有改變量 時，函數時，函數 相應地相應地有改變量有改變量 。如果極限。如果極限存在，則稱此極限為存在，則稱此極限為函數函數 在在 處的處的導數導數，記為記為)(xfy 0 xx0 xxy)()(00 xfxxfy)(xfy 0 x ，或，或 ，或，或)(0 xf0 xxy0 xxdxdy首頁上頁下頁0 xx0000()()limlimxxf xxf xyxx 0 x xdf xdx2.1 導數的概念導數的概念 即為即為 xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000 并稱并稱函

9、數函數 在點在點 處可導處可導；如果；如果 不不存在，則稱存在，則稱函數函數 在點在點 處不可導處不可導。 )(xf0 xxyx0lim)(xf0 x首頁上頁下頁思考：00000( ) 2)( ) 3( ) f(x)()()lim0()()lim0( )(0)lim0hf xf xhhf xxf xxxxf xfxx 填空：設函數在點x 處可導 則1)01) ()fx3) (0)f 02) 2()fx2.1 導數的概念導數的概念例例1設函數設函數 ，求，求 。 3)(xxf) 1 (f 解：解： ( (1) )給給 以改變量以改變量 ，得相應的函數的改變得相應的函數的改變量為量為10 xx32

10、33331)1 (xxxx) 1 ()1 (fxfy( (2) )233xxxy( (3) )所以所以3)33(limlim) 1 (200 xxxyfxx首頁上頁下頁 xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(000002.1 導數的概念導數的概念定定義義2 2 ，或，或 ， 或或)(xfydxdy 如果函數如果函數 在區間在區間 內每一點都內每一點都可導，則稱可導，則稱函數函數 在區間在區間 內可導內可導。此時對區間此時對區間 內每一點內每一點x，都有函數，都有函數 的一個導數值與之對應，這就定義了一個新的函的一個導數值與之對應，這就定義了一個新的函數，我們稱為函數數，我們稱為函數

11、 在區間在區間 內對內對x的的導函數導函數，簡稱，簡稱導導，記作，記作 )(xfy ),(ba)(xfy ),(ba),(ba)(xfy )(xfy ),(ba首頁上頁下頁00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 即函數在任意點的導數為即函數在任意點的導數為2.1 導數的概念導數的概念結結 論論首頁上頁下頁 函數函數 在點在點 處的導數處的導數 ，就是，就是導函數導函數 在點在點 處的函數值，即處的函數值，即)(xfy 0 x)(xf 0 xx )(0 xf。0)(xxxf導函數導函數 與函數在某點的導數與函數在某點的導數 之間的聯系之間的聯系:)(xf )(0 xf 0(

12、)fx2.1 導數的概念導數的概念 根根據導數的定義，求函數的導數的一般步驟：據導數的定義，求函數的導數的一般步驟：求函數的改變量求函數的改變量 1)()(xfxxfy計算比值計算比值2求極限求極限3xxfxxfxy)()(xxfxxfx)()(lim0)(xf 首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念解：解： 例例3求常數函數求常數函數 的導數。的導數。 cy ( (1) )求函數的改變量求函數的改變量0ccy( (2) )計算比值計算比值 00 xxy( (3) )求極限求極限0lim0 xyx)(xf 即即0 c首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念解：解： 例例4求函數求函數 的導數

13、。的導數。xysin2sin)2cos(2sin)sin(xxxxxxy)2cos(22sinxxxxxy首頁上頁下頁xxxxxxyyxxcos)2cos(22sinlimlim00 xxcos)(sinxxsin)(cos故得故得同理同理因此由導數的定義可得導數的基本公式因此由導數的定義可得導數的基本公式 見見p34例例 用導數公式求下列函數的導數用導數公式求下列函數的導數 35(1) (2)3xyxxy1161133 55551216()()()5yxxxxx解（ ）由導數公式（ ）得(3 )3 ln 3xxy解 （ 2） 由 導 數 公 式 （ 5） 得2.1 導數的概念導數的概念 導數

14、的幾何意義：導數的幾何意義：函數函數 在點在點 處的處的導數導數 等等于函數所表示的曲線于函數所表示的曲線c在相應點在相應點 處的切線斜率。處的切線斜率。)(xfy 0 x)(0 xf ),(00yx 即即)(0 xfk切首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念 存在存在且不等于且不等于0 0 在點在點 處的法處的法線方程線方程 在點在點 處的切線方程處的切線方程 條件條件 ),(000yxp),(000yxp)(0 xf)(0 xf0)(0 xf0yy)()(1000 xxxfyy)(00 xxxf0 xx0yy0yy0 xx首頁上頁下頁*2.1 導數的概念導數的概念解：解： 例例5 5 求

15、拋物線求拋物線 在點在點 處的切線方程與法線處的切線方程與法線方程。方程。2xy ) 1,1 (因為因為 ，由導數的幾何意義知，由導數的幾何意義知，拋物線拋物線 在點在點 處的切線斜率為處的切線斜率為 所以，所求的切線方程為所以，所求的切線方程為xxy2)(22xy ) 1,1 (1122xxkyx) 1(21xy即即012 yx首頁上頁下頁法線方程呢？法線方程呢？2.1 導數的概念導數的概念練習練習解：解： 問曲線問曲線 上哪一點的切線與直線上哪一點的切線與直線平行？平行？23xy 13 xyxy23因為因為 ，直線，直線 的斜率為的斜率為3，根，根據題意知據題意知 得得 ，于是，于是 ，所

16、，所以過點以過點 處的切線與直線處的切線與直線 平行。平行。13 xy/332yx4x8y)8, 4(13 xy首頁上頁下頁2.1 導數的概念導數的概念定理定理1 如果函數如果函數 在點在點 處可導，則它處可導，則它在點在點 處一定連續。反之，不一定成立。處一定連續。反之，不一定成立。)(xfy 0 x0 x首頁上頁下頁 函數在某一點可導、連續、有極限的函數在某一點可導、連續、有極限的關系可表示為：關系可表示為：結結 論論可導可導連續連續有極限有極限反之不成立。反之不成立。2.1 導數的概念導數的概念 但在點但在點 處連續的函數不一定在處連續的函數不一定在 處可導。處可導。例如：函數例如：函數 在在 處連續，但在處連續，但在 處處不可導不可導( (如圖如圖23) )。0 x0 xxy 0 x0 x圖圖23 首頁上頁下頁注：這個不可導點在圖中為連續的拐彎點。注：這個不可導點在圖中為連續的拐彎點。 1. 導數的實質： 導數的幾何意義:3. 可導必連續, 但連續不一定可導; 4. 已證求導公式： )(c )(x )(