1、第第3章章 微分中值定理與導數的應用微分中值定理與導數的應用 v3.1 微分中值定理微分中值定理v3.2 洛必達法則洛必達法則v3.3 函數的單調性和曲線的凹凸性函數的單調性和曲線的凹凸性v3.4 函數的極值與最大值、最小值問題函數的極值與最大值、最小值問題v3.5 函數圖形的描繪函數圖形的描繪v3.6 弧微分與曲率弧微分與曲率3.1 微分中值定理微分中值定理v3.1.1 羅爾定理羅爾定理v3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理v3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理 v3.1.4 泰勒公式泰勒公式3.1.1 羅爾定理羅爾定理v羅爾定理的三個條件是結論成立的充分羅爾定理的三個條件是結論成立

2、的充分而非必要條件而非必要條件. 當條件不全具備時，當條件不全具備時， 結結論不一定成立論不一定成立. 3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理v定理定理2(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理) v拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式v有限增量定理有限增量定理3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理 3.1.4 泰勒公式泰勒公式v定理定理4(泰勒中值定理泰勒中值定理) v麥克勞林麥克勞林(maclaurin)公式公式 3.2 洛必達法則洛必達法則v3.2.1 “ ”型和型和“ ”型未定式型未定式洛必達洛必達(lhospital)法則法則. v3.2.2 其他類型的未定式其他類型的未定式003.3 函

3、數的單調性和曲線的凹凸性函數的單調性和曲線的凹凸性v3.3.1 函數單調性的判定法函數單調性的判定法v3.3.2 曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點3.3.1 函數單調性的判定法函數單調性的判定法3.3.2 曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點3.4 函數的極值與最大值、最小值問函數的極值與最大值、最小值問題題v3.4.1 函數的極值及其求法函數的極值及其求法定理1(極值的必要條件) 定理2(判別極值的第一充分條件) 定理3(判別極值的第二充分條件) v3.4.2 函數的最大值與最小值問題函數的最大值與最小值問題極值概念是局部性的，用以描述函數在一點鄰域內的性態. 而最大值(或最小值)是函數

4、在所討論區間上全部函數值中的最大者(或最小者)，是全局性的概念. 例如在工農業生產、工程技術及科學實驗中，常常會遇到這樣一類問題：在一定的條件下，如何使生產的“產量最高”、“成本最低”、“用料最省”、“能耗最小”、“效率最高”等問題. 在數學上，這類問題就歸結為求某一函數(通常稱為目標函數)的最大值或最小值. 3.5 函數圖形的描繪函數圖形的描繪v3.5.1 曲線的漸近線曲線的漸近線v3.5.2 函數函數y=f(x)圖形的描繪圖形的描繪3.5.1 曲線的漸近線曲線的漸近線v定義定義 如果曲線如果曲線c上的動點上的動點p沿著曲線無沿著曲線無限地遠離坐標原點時，動點限地遠離坐標原點時，動點p與某條

5、固與某條固定直線定直線l的距離趨于零，則稱此直線為的距離趨于零，則稱此直線為該曲線的漸近線該曲線的漸近線. v1. 水平漸近線水平漸近線v2. 鉛直漸近線鉛直漸近線v3. 斜漸近線斜漸近線3.5.2 函數函數y=f(x)圖形的描繪圖形的描繪v描繪的一般步驟如下：描繪的一般步驟如下：v(1)確定函數的定義域、周期性、奇偶性與坐確定函數的定義域、周期性、奇偶性與坐標軸的交點；標軸的交點； v(2)求出使得求出使得 、 的及的及 、 不存在的點；不存在的點；v(3)列表確定函數的單調區間與極值、曲線的列表確定函數的單調區間與極值、曲線的凹凸區間與拐點；凹凸區間與拐點；v(4)求曲線的漸近線；求曲線的漸近線；v(5)描繪幾個特殊點，特別是極值點、拐點以描繪幾個特殊點，特別是極值點、拐點以及曲線與坐標軸的交點；及曲線與坐標軸的交點；v(6)綜合以上信息，描繪函數圖形綜合以上信息，描繪函數圖形. ()0fx( )0fx( )fx( )fx3.6 弧微分與曲率弧微分與曲率v3.6.1 弧微分弧微分光滑曲線光滑曲線;有向弧段有向弧段;弧微分弧微分. v3.6.2 曲率及其計算曲率及其計算由日常生活可知，走相同長度的道路時，行進方向(即切線方向)轉變越大，則道路彎