1、 精銳教育學科教師輔導講義 授課類型T (相似三角形的基本類型。)C （專題方法主題）T （學法與能力主題）授課日期時段教學內容 一、同步知識梳理知識點1：相似證明中的基本模型知識點2：相似證明中常見輔助線的作法在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構造成比例線段或相似三角形，同時再結合等量代換得到要證明的結論常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等如圖：平分交于，求證：證法一：過作，交的延長線于，點評：做平行線構造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型證法二；過作的平行線，交的延長線于，點評：做平行線構造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型知識點3：相似證明中的面積法面積法主

2、要是將面積的比，和線段的比進行相互轉化來解決問題常用的面積法基本模型如下：如圖：如圖：如圖：。二、同步題型分析題型1：與三角形有關的相似問題例1：如圖，、是的邊、上的點，且，求證：.解析： 例2：如圖，在中，于，于，的面積是面積的4倍，求的長.解析：題型2：相似中的角平分線問題例1：如圖，是的角平分線，求證：解析： 例2：已知中，的外角平分線交對邊的延長線于，求證：解析： 例3：已知：、分別為的內、外角平分線，為的中點，求證：解析： 題型3：型結論的證明例1：如圖，直角中，證明：，.解析：例2：如圖，在中，平分，的垂直平分線交于，交的延長線于，求證：解析： 題型4、三角形內接矩形問題例1、 已

3、知，如圖，中，四邊形為正方形，其中在邊上，在上，求正方形的邊長解析： 三、課堂達標檢測檢測題1：如圖，在正方形ABCD中，點E在AB邊上，且AEEB21，AFDE于G交BC于F，則AEG的面積與四邊形BEGF的面積之比為（ ） A、12 B、14 C、49 D、23 檢測題2、如圖，已知DEBC，CD和BE相交于點O，49，則AEEC為（ ） A、21 B、23 C、49 D、54檢測題3、在ABC中，D為AC邊上一點，DBCA，BC，AC3，則CD的長為（ ） A、1 B、 C、2 D、答案：1、C2、A3、C一、專題精講 構造相似輔助線雙垂直模型 例1：在ABC中，AB=，AC=4，BC=

4、2，以AB為邊在C點的異側作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長答案：解：情形一：情形二：情形三：例2：在ABC中，AC=BC，ACB=90°，點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點求證：MC：NC=AP：PB答案：證明：方法一：連接PC，過點P作PDAC于D，則PD/BC根據折疊可知MNCP2+PCN=90°，PCN+CNM=90°2=CNMCDP=NCM=90°PDCMCNMC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如

5、圖，過M作MDAB于D，過N作NEAB于E由雙垂直模型，可以推知PMDNPE，則，根據等比性質可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB例3：已知，如圖，直線y=2x2與坐標軸交于A、B兩點以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為12。求C、D兩點的坐標。構造相似輔助線A、X字型 例4：如圖：ABC中，D是AB上一點，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。求證：答案：證明：（方法一）如圖延長AE到M使得EM=AE，連接CMBE=CE，AEB=MEC BEACEMCM=AB，1=BABCMM=MAD，MCF=ADFMCFADFCM=A

6、B，AD=AC（方法二）過D作DGBC交AE于G則ABEADG，CEFDGF，AD=AC，BE=CE例5：四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項，且AC平分DAB。求證：答案：證明：過點D作DFAB交AC的延長線于點F，則2=3AC平分DAB1=21=3AD=DFDEF=BEA，2=3BEADEFAD=DFAC為AB、AD的比例中項即又1=2ACDABC例6：在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E為AD邊上的任意一點，EFAB，且EF交BC于點F，某同學在研究這一問題時，發現如下事實：(1)當時，EF=；(2)當時，EF=；(3)當時，EF=當時，參照上述研究結論，請你猜想用a、

7、b和k表示EF的一般結論，并給出證明答案：證明：過點E作PQBC分別交BA延長線和DC于點P和點QABCD，PQBC四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF例7：已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且BEEFFC。求BN：NQ：QM答案：解：連接MFM是AC的中點，EFFCMFAE且MFAEBENBFMBN：BMBE：BFNE：MFBEEFBN：BMNE：MF1:2BN：NM1:1設NEx，則MF2x，AE4xAN3xMFAENAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM

8、3:2BN：NQ：QM5:3:2相似類定值問題 例8：如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點，D為MN上任意一點，BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F求證：答案：證明：如圖，作DPAB，DQAC則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且DPQ是等邊三角形BP+CQMN，DPDQPQM、N分別是邊AB，AC的中點MNBCPQDPAB，DQACCDPCFB，BDQBEC，DPDQPQBCABAB（）例9：已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對角線AC、BD交于O，過O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。求證：答案：證明：EF/AB，AB/DCEF/DCAOEACD

9、，DOEDBA，例:10：如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個頂點分別在ABC上。求證：答案：證明：EFCD，EHAB，AFEADC，CEHCAB，EFEH例11：已知，在ABC中作內接菱形CDEF，設菱形的邊長為a求證：.答案：證明：EFAC，DEBC，BFEBCA，AEDABC，EFDEa一線三角等題型：例12（2010年紹興中考）如圖，已知在矩形中，是線段邊上的任意一點（不含端點），連接，過點作交于（1）在線段上是否存在不同于的點，使得？若存在，求線段與之間的數量關系；若不存在，請說明理由；（2）當點在上運動時，對應的點也隨之在上運動，求的取值范圍解：（1）假設

10、存在這樣的點Q；PEPC，APE+DPC=90°，D=90°，DPC+DCP=90°，APE=DCP，又A=D=90°，APEDCP，=，APDP=AEDC；同理可得AQDQ=AEDC；AQDQ=APDP，即AQ（3AQ）=AP（3AP），3AQAQ2=3APAP2，AP2AQ2=3AP3AQ，（AP+AQ）（APAQ）=3（APAQ）；APAQ，AP+AQ=3（2分）APAQ，AP，即P不能是AD的中點，當P是AD的中點時，滿足條件的Q點不存在當P不是AD的中點時，總存在這樣的點Q滿足條件，此時AP+AQ=3（1分）（2）設AP=x，AE=y，由APD

11、P=AEDC可得x（3x）=2y，y=x（3x）=x2+x=（x）2+，當x=（在0x3范圍內）時，y最大值=；而此時BE最小為，又E在AB上運動，且AB=2，BE的取值范圍是BE2（2分）例13（2012年寧夏中考）在矩形中，是上的任意一點（與不重合），過點作，垂足為，交于點（1） 連接，當 與全等時，求的長；（2） 若設為，為，試確定與的函數關系式當取何值時，的值最大？最大值是多少？（3） 若，試求出此時的長解：（1）APEADE（已知），AD=3（已知），AP=AD=3（全等三角形的對應邊相等）；在RtABP中，BP=（勾股定理）；（2）APPE（已知），APB+CPE=CPE+PEC=

12、90°，APB=PEC，又B=C=90°，RtABPRtPCE，即（相似三角形的對應邊成比例），=當x=時，y有最大值，最大值是；（3）如圖，連接BD設BP=x，PEBD，CPECBD，（相似三角形的對應邊成比例），即化簡得，3x213x+12=0解得，x1=，x2=3（不合題意，舍去），當BP=時，PEBD例14（2012年宜賓中考）如圖，在中，已知，且 ，將 與重合在一起，不動，運動，并滿足：點在邊上沿到的方向運動，且、始終經過點，與交于點（1）求證： ；（2）探究：在運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出的長；若不能，請說明理由；（3）當線段最短時，求重疊

13、部分的面積（1）證明：AB=AC，B=C，ABCDEF，AEF=B，又AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE，ABEECM；（2）能解：AEF=B=C，且AMEC，AMEAEF，AEAM；當AE=EM時，則ABEECM，CE=AB=5，BE=BCEC=65=1，當AM=EM時，則MAE=MEA，MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA，又C=C，CAECBA，CE=，BE=6=；若AE=AM，此時E點與B點重合，M點與C點重合，即BE=0BE=1或或0（3）解：設BE=x，又ABEECM，即：，CM=+x=（x3）2+，AM=5CM（x3）2+，當x=3時，AM最短為，又當

14、BE=x=3=BC時，點E為BC的中點，AEBC，AE=4，此時，EFAC，EM=，SAEM=二、專題過關【題1】 如上圖，垂足分別為、，和相交于點，垂足為.證明：.答案：(BF+DF)/DF=AB/EF 1 BF/DF+1=AB/EF (BF+DF)/BF=CD/EF 2 DF/BF+1=CD/EF 1推出 BF/DF=(AB-EF)/EF 代入2 EF/(AB-EF)+1=CD/EF = AB/(AB-EF)=CD/EF => 1- EF/AB =EF/CD => 1= EF(1/AB+1/CD) => 1/EF= 1/AB+1/CD 【題2】 如圖，已知，找出、之間的關

15、系，并證明你的結論.答案：1/SBDE=1/SABD+1/SBDC 以A E C三點坐高于BD 三條高依然存在1題中關系 共用底邊BD 高的比等于面積比。【題3】 （2012年成都中考）如圖，和是兩個全等的等腰直角三角形，的頂點與的斜邊的中點重合將繞點旋轉，旋轉過程中，線段與線段相交于點，線段與射線相交于點（1）如圖，當點在線段上，且時，求證： ；（2）如圖，當點在線段的延長線上時，求證：；并求當時， 兩點間的距離 （用含的代數式表示）解：連接PQ，ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45°，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45

16、6;=EQC+45°，BEP=EQC，B=C=45°，BPECEQ，=，BP=a，CQ=，BE=CE，=，BE=CE=a，BC=3a，AB=AC=BCsin45°=3a，AQ=CQAC=a，PA=ABBP=2a，在RtAPQ中，PQ=a三、學法提煉1、專題特點：從基本圖形入手，能順利找出解題問題的思路和方法，能幫我們盡快找到添加的輔助線。2、解題方法：尋找適當的輔助線，方法有平行型（A、X型）、相交線型、雙垂型及一線三角等。3、注意事項 ：在解題過程中要注意比例的基本性質的運用，即等積變換、等比代換、等線代換。 一、 能力培養綜合題1：（1）如圖1，點P在平行四邊

17、形ABCD的對角線BD上，一直線過點P分別交BA，BC的延長線于點Q，S，交AD，CD于點R，T求證：PQ·PR = PS·PT（2）如圖2，圖3，當點P在平行四邊形ABCD的對角線BD或DB的延長線上時，PQ·PR = PS·PT是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖2為例進行證明或說明）；答案：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ADBC，DRP=S，RDB=DBSDRPBSP同理由ABCD可證PTDPQB（2）證明：成立，理由如下：在平行四邊形ABCD中，ADBC，PRD=S，RDP=DBSDRPBSP同理由ABCD可證

18、PTDPQB綜合題2：已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CFAB，延長BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PE·PF 答案：證明:ABAC，AD是中線，ADBC,BP=CP1=2又ABC=ACB3=4CFAB3=F,4=F又EPC=CPFEPCCPFBP2PE·PF 即證所求綜合題3：如圖，已知ABC中，AD，BF分別為BC，AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC延長線于H。求證： DE2=EGEH 答案：證明：DEAB90°90°ADEDBEDE2=AE·BEBFAC90°90

19、°且BEGHEADE2=EG·EH綜合題4：已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點，過P的直線與AD、BC、CD的延長線、AB的延長線分別相交于點E、F、G、H.求證：答案：證明：四邊形ABCD為平行四邊形ABCD，ADBC1=2，G=H，5=6PAHPCG又3=4APECPF綜合題5：已知，如圖，銳角ABC中，ADBC于D，H為垂心（三角形三條高線的交點）；在AD上有一點P，且BPC為直角求證：PD2AD·DH 。答案：證明：如圖，連接BH交AC于點E，H為垂心BEACEBC+BCA=90°ADBC于DDAC+BCA=90°EBC

20、=DAC又BDH=ADC=90°BDHADC，即BPC為直角，ADBCPD2BD·DCPD2AD·DH綜合題6：已知如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點，ED的延長線交CA于F。求證：證明：CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點CE=EB=DEB=BDE=FDAB+CAB=90°，ACD+CAB=90°B=ACDFDA=ACDF=FFDAFCDADC=CDB=90°，B=ACDACDCBD即綜合題7：如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點M在CD上，DHBM且與AC的延長線交于點E.求證：（1）AEDC

21、BM；（2）答案：證明：（1）ACBADC90°AACD90°BCMACD90°ABCM同理可得：MDHMBDCMBCDBMBD90°MBDADEADCMDH90°MDHADECMBAEDCBM（2）由上問可知：，即故只需證明即可AA，ACDABCACDABC，即綜合題8：如圖，ABC是直角三角形，ACB=90°，CDAB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F.（1）求證：.（2）若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由.答案：（1）將結論寫成比例的形式，可以考慮證明FDBFCD（已經有一個公共角F）

22、RtACD中，E是AC的中點DE=AEA=ADEADE=FDBA=FDB而A+ACD=90°FCD+ACD=90°A=FCDFCD=FDB而F=FFBDFDC（2）判斷：GD與EF垂直RtCDB中，G是BC的中點，GDGBGDB=GBD而GBD+FCD=90°又FCD=FDB（1的結論）GDB+FDB=90°GDEF綜合題9：如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N求證：答案：證明：由四邊形ABCD、DEFG都是正方形可知，ADC=GDE=90°，則CDG=ADE=ADG+90

23、6;在和中則DAM=DCN又ANM=CNDANMCND則綜合題10：如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過D作DGBC于G，分別交CE及BA的延長線于F、H。求證：（1）；（2） 答案：證明：找模型。（1）BCD、BDG，CDG構成母子型相似。BDGDCG （2）分析：將等積式轉化為比例式。 GFC=EFH，而EFH+H=90°，GFC+FCG=90°H=FCG而HGB=CGF=90°HBGCFG綜合題11：.ABC和DEF是兩個等腰直角三角形，A=D=90°，DEF的頂點E位于邊BC的中點上（1）如圖1，設DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，

24、求證：BEMCNE；（2）如圖2，將DEF繞點E旋轉，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結論答案：（1）證明：MEBNEC180°45°135°MEBEMBNECEMB又B=CBEMCNE（2）COEEON證明：OEN=C45°，COEEONCOEEON綜合題12：如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR解：（1）BCPBER，CQPD

25、QR，ABPCQP，DQRABP（2）ACDEBCPBER四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形AD=BC，AD=CEBC=CE，即點C為BE的中點又ACDECQPDQR點R為DE的中點DR=RE綜上：BP：PQ：QR3：1：2綜合題13：如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求證：答案：證明：ADBC，DEABADBAEDAD²AEAB同理可證：AD²AFACAEABAFAC即二、 能力點評在解決綜合性的問題時能將復雜圖形劃分為幾個基本類型，并要注意數形結合思想和分類討論思想及方程思想的應用。 學法升華一、 知識收獲1、相似證明中的基本模型2：

26、相似證明中常見輔助線的作法在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構造成比例線段或相似三角形，同時再結合等量代換得到要證明的結論常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等二、 方法總結（1）梅涅勞斯定理梅內勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數學家兼天文學家梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理梅涅勞斯定理：、分別是三邊所在直線、上的點則、共線的充分必要條件是：根據命題的條件可以畫出如圖所示的兩個圖形：或、三點中只有一點在三角形邊的延長線上，而其它兩點在三角形的邊上；或、三點分別都在三角形三邊的延長線上證明：（1）必要性，即若、三點共線，則設、到直線的距離分別為、則，、，

27、三式相乘即得（2）充分性，即若，則、三點共線設直線交于，由已證必要性得：又因為，所以因為和或同在線段上，或同在邊的延長線上，并且能分得比值相等，所以和比重合為一點，也就是、三點共線梅涅勞斯定理的應用，一是求共線線段的筆，即在、三個比中，已知其中兩個可以求得第三個二是證明三點共線（2）塞瓦定理連結三角形一個頂點和對邊上一點的線段叫做這個三角形的一條塞瓦線塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數學家兼水利工程師他在1678年發表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理塞瓦定理：從的每個頂點出發作一條塞瓦線則共點的充分必要條件是充分性命題：設的三條塞瓦線共點，則必有必要

28、性命題：設中，是三條塞瓦線，如果，則三線共點我們先證明充分性命題如圖，設相交于點，過作邊的平行線，分別交的延長線于由平行截割定理，得上面三式兩邊分別相乘得：我們再證明必要性命題假設與這兩條塞瓦線相交于點，連交于則也是一條過點的的塞瓦線根據已證充分性命題，可得，由因為，進而可得所以，因此所以與重合，從而和重合，于是得出共點塞瓦定理在平面幾何證題中有著舉足輕重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可證明三線共點問題第二方面，當一個三角形有三條塞瓦線共點時，依據塞瓦定理的充分性命題，就可以得出六條線段比例乘積等于1的關系式利用這個關系式可以證明線段之間的比例式或乘積式三、 技巧提煉本節常見誤區有（1）

29、相似三角形中對應邊及對應角找不準。（2）在運用相似三角形的判定方法判定兩個三角形相似時容易把兩邊的夾角和其中一邊的對角混淆。（3）在確定兩個三角形相似時由于對應元素的不確定可能會出現多種結論，往往考慮問題欠全面，出現漏解現象。課后作業一、選擇題1如圖所示，在ABC中，DEBC，若AD1，DB2，則的值為( )第1題圖ABCD2如圖所示，ABC中DEBC，若ADDB12，則下列結論中正確的是( )第2題圖ABCD3如圖所示，在ABC中BAC90°，D是BC中點，AEAD交CB延長線于E點，則下列結論正確的是( )第3題圖AAEDACBBAEBACDCBAEACEDAECDAC4如圖所示，在ABC中D為AC邊上一點，若DBCA，AC3，則CD長為( )第4題圖A1BC2D5若P是RtABC的斜邊BC上異于B，C的一點，過點P作直線截ABC，截得的三角形與原ABC相似，滿足這樣條件的直線共有( )A1條B2條C3條D4條6如圖所示，ABC中若DEBC，EFAB，則下列比例式正確的是( )第6題圖ABCD7如圖所示，O中，弦AB，CD相交于P點，則下列結論正確的是( )第7題圖APA·ABPC·PBBPA·PBPC·PDCPA·ABPC·CDDPAPBPCPD8如圖