1、11.1 11.1 多元函數的基本概念多元函數的基本概念第第1111章章 多元函數微分學多元函數微分學鄰鄰域域. 1鄰域鄰域的的點點 ),(000yxp 20200)()(),(),(|yyxxyxpu)0( 0p去心鄰域去心鄰域的的點點 ),(000yxp)0( 20200)()(0),(),(|yyxxyxpu0p)(0pu)(0pu一一. . 平面點集的有關概念平面點集的有關概念區區域域.2是是平平面面上上的的一一個個點點是是平平面面中中的的一一個個點點集集，設設pe內點內點，使，使若存在若存在epupu )()(的的內內點點是是則則稱稱epep的內點屬于的內點屬于顯然，顯然，ee邊界點

2、邊界點的任意鄰域內既有的任意鄰域內既有如果點如果點 p的點，的點，的點又有不屬于的點又有不屬于屬于屬于ee的邊界點的邊界點為為則稱則稱epp邊邊界界的的邊邊界界的的邊邊界界點點的的全全體體稱稱為為 ee連連通通內內任任何何兩兩點點，都都可可用用折折如如果果對對于于 d，且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于 d是連通的是連通的則稱則稱 d區域區域開區域開區域連通的開集稱為區域或連通的開集稱為區域或記記為為e 開開集集的的點點都都是是內內點點，如如果果 e為為開開集集則則稱稱 e線連接起來，線連接起來，閉區域閉區域起，稱為閉區域起，稱為閉區域開區域連同它的邊界一開區域連同它的邊界一有有界界點點

3、集集，如果存在正數，如果存在正數對于點集對于點集me使使),(moue 為為有有界界點點集集；則則稱稱 e否則稱為無界點集否則稱為無界點集維維空空間間n.3),(21nxxxn元元實實數數組組對對于于自自然然數數，有有序序維維空空間間，稱稱為為 n記為記為nr中的一個點中的一個點稱為稱為nnrxxx),(21個分量個分量為該點的第為該點的第數數ixi的全體的全體與與中兩點中兩點),(21nnxxxpr2222211)()()(|nnxyxyxypq 的距離公式：的距離公式：),(21nyyyq，與與它它的的底底半半徑徑圓圓柱柱體體的的體體積積例例rv1hrv2 1定定義義是一個平面點集是一個平

4、面點集設設 d，dyxp ),(按照一定按照一定變量變量 z，有確定的值與它對應有確定的值與它對應法則法則 f即即 zyxf),(的二元函數，的二元函數，是變量是變量則稱則稱yxz,或或記為記為)(),(pfzyxfz 二二. . 多元函數的概念多元函數的概念之間有關系之間有關系高高 h三三元元函函數數),(zyxfu 記為記為 uzyxf),(元函數元函數n uxxxfn),(21記為記為),(21nxxxfu 稱為自變量；稱為自變量；yx,稱為因變量；稱為因變量；z稱為該函數的定義域；稱為該函數的定義域；d),(),(|dyxyxfzz 數集數集稱為該函數的值域稱為該函數的值域：多元函數定

5、義域的約定多元函數定義域的約定，對于對于),(21nxxxfu 有有點點的的集集合合，使使這這個個算算式式有有意意義義的的所所稱之為自然定義域稱之為自然定義域；試試確確定定函函數數例例yxyxz 224)1(2的的定定義義域域解解)1(定義域為定義域為0422 yx，并且并且0 yx 且且即即04| ),(22 yxyxyxxy)2(定義域為定義域為11222 zyx 1| ),(222 zyxzyx即即xyz)arcsin()2(222zyxu 二元函數的幾何表示二元函數的幾何表示),(yxfz 0),( yxfz即即表示空間中的一張曲面表示空間中的一張曲面xyzmp等值線等值線的曲線，的曲

6、線，具有方程具有方程kyxf ),(的的等等值值線線稱稱為為函函數數f22yxz 9 k4 k1 k等等值值面面，對于對于),(zyxfu 表示的曲面表示的曲面kzyxf ),(的的等等值值面面稱稱為為函函數數f2定義定義的某個去的某個去在在設設),(),(000yxpyxfz ，若若00 2020)()(0yyxx時時，成立，成立，均有均有 |),(|ayxf),(yxfa 為函數為函數則稱則稱的的極極限限在在點點),(000yxp記記為為ayxfyxyx ),(lim),(),(00三三. . 二元函數的極限二元函數的極限內有定義內有定義心鄰域心鄰域)(0pu適合適合當點當點),(yxpa

7、yxfyyxx ),(lim00或或，當當或或),(),(),(00yxyxayxf限稱為限稱為這樣定義的二元函數極這樣定義的二元函數極二二重重極極限限理理對對于于二二重重極極限限都都成成立立四四則則運運算算法法則則和和夾夾逼逼定定.)(lim322)0,0(),(yxyxxyyx 計算計算例例解解，|222xyyx 則則22)(yxyxxy )(2)(2222yxyxyx yx 21|)|(|21yx 0|)|(|21lim)0,0(),(yxyx 而而0 由由夾夾逼逼定定理理，即即知知0)(lim22)0,0(),( yxyxxyyx，求，求設設例例),(lim)(),(40022yxfy

8、xxxyyxfyx 解解，令令 cosrx sinry 則則有有),(lim00yxfyx2200)(limyxxxyyx 220)sin()cos(cos)cos(sinlim rrrrr rrr cos)cos(sinlim20 cos)cos(sinlim0 rr0 .注注，設設 cosrx ， sinry )0,0(),(yx則有則有 0r，)0( r)0( r.注注以以是指是指二重極限二重極限),(),(lim)1(00yxayxfyyxx 時，時，點點),(00yxayxf),(沿沿某某兩兩條條不不同同的的曲曲線線無無若若動動點點),()2(yxp有不同的極限值，有不同的極限值，)

9、,(yxfz ),(),(000yxpyxfz在在則則 不不存存在在極極限限任何方式趨于任何方式趨于時，時，限趨于限趨于),(000yxp , 0, 0, 0,2),(5222222yxyxyxxyyxf討論函數討論函數例例解解無限趨無限趨沿直線沿直線當當)(),(rkkxyyxp ),(lim00yxfkxyx ),(lim0kxxfx 220)(2limkxxkxxx )1(2lim2220kxkxx 212kk 不同，不同，當當 k時，時，即沿不同直線趨于即沿不同直線趨于)0,0(有不同的極限值有不同的極限值.)0 , 0(),(不存在極限不存在極限在在說明說明yxf在原點的極限在原點的

10、極限時，時，于于)0,0(3定義定義的的某某個個鄰鄰域域在在設設),(),(000yxpyxfz 如果如果，),(),(lim000yxfyxfpp 處連續處連續在點在點則稱二元函數則稱二元函數),(),(000yxpyxf的的每每或或閉閉區區域域在在某某個個區區域域若若)(),(dyxf上上的的是是則則稱稱dyxf),(連續函數連續函數定義域內均連續定義域內均連續一切多元初等函數在其一切多元初等函數在其四四. . 二元函數的連續性二元函數的連續性內有定義內有定義)(0pu一點均連續，一點均連續，間間斷斷點點不連續，不連續，在在若若),(),(00yxyxf稱稱為為間間斷斷點點則則),(00y

11、x例如例如11),(22 yxyxf的點處無定義，的點處無定義，在在122 yx上上任任一一點點即即單單位位圓圓周周122 yx都都為為此此函函數數的的間間斷斷點點 , 0, 0, 0,2),(6222222yxyxyxxyyxf討論函數討論函數例例解解不不存存在在極極限限，在在由由例例，)0 , 0(),(yxf不不連連續續因因而而在在)0 , 0(處，處，在其它點在其它點)0 , 0(),( yx函數，函數，由于分子分母均為連續由于分子分母均為連續且分母不為零，且分母不為零，的點處均連續的點處均連續在在所以所以0),(22 yxyxf的連續性的連續性)( 1 最值定理最值定理定理定理上連續，上連續，在有界閉區域在有界閉區域若函數若函數dyxf),(上上必在必在則則dyxf),(取取到到最最大大值值和和最最小小值值，及及即即dyxpdyxp ),(),(222111，對對任任意意dyxp ),(有有),(),(),(2211yxfyxfyxf )( 2 介介值值定定理理定定理