1、第十一章 三角形11.1 與三角形有關(guān)的線段11.1.1 三角形的邊1關(guān)于三角形的概念及其按角的分類定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2三角形的分類：三角形按內(nèi)角的大小分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.三角形按邊分為兩類：等腰三角形和不等邊三角形.3關(guān)于三角形三條邊的關(guān)系（判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的方法、比較線段的長(zhǎng)短）根據(jù)公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：三角形任意兩邊之和大于第三邊.三角形任意兩邊之差小于第三邊.例1小芳有兩根長(zhǎng)度為4cm和9cm的木條，她想釘一個(gè)三角形木框，桌上有下列長(zhǎng)度的幾根木條，她應(yīng)該選擇長(zhǎng)度為（ ）的木條A5cm B3

2、cm C17cm D12 cm【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，可知：對(duì)A，4+5=9，不符合三角形兩邊之和大于第三邊，故錯(cuò)誤；對(duì)B，4+39，不符合三角形兩邊之和大于第三邊，故錯(cuò)誤；對(duì)C，4+917，不符合三角形兩邊之和大于第三邊，故錯(cuò)誤；對(duì)D，4+912，12-94，符合兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，故正確；故選D考點(diǎn)：三角形的三邊關(guān)系例2以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）A2，3，5 B3，3，6 C2，5，8 D4，5，6【答案】D【解析】試題分析： A2+3=5，故不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B3+3=6，故不

3、能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C2+58，故不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D4+56，故，能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)正確故選D考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系例3現(xiàn)有四根木棒，長(zhǎng)度分別為4cm，6cm，8cm，10cm從中任取三根木棒，能組成三角形的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知能組成三角形的木棒長(zhǎng)度分別為：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm和4cm、8cm、10cm三種情況考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系例4在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與兩根長(zhǎng)度分別為4cm和9cm的木棒構(gòu)成一個(gè)三角形的是（ ）A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm【答案】C【

4、解析】試題分析：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.根據(jù)這個(gè)規(guī)律可得這個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)的范圍為5第三邊13，則選擇9cm.考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系例5一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為1、2、x，則x的取值范圍是（ ）A、1x3 B、1x3 C、1x3 D、1x3【答案】D【解析】試題分析：已知兩邊，則第三邊的長(zhǎng)度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可以求出第三邊長(zhǎng)的范圍試題解析：根據(jù)題意得：2-1x2+1即：1x3故選D考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系例6如圖，在ABC中，AD、BF、CE相交于O點(diǎn)，則圖中的三角形的個(gè)數(shù)是（ ）A7個(gè) B10個(gè) C15個(gè) D16個(gè)【答案】D【解析】根據(jù)三角形的

5、概念，最小的有6個(gè)，2個(gè)組成一個(gè)的有3個(gè)，三個(gè)組成一個(gè)的有6個(gè)，最大的有一個(gè)，則有6+3+6+1=16個(gè)11.1.2 三角形的高、中線與角平分線1.三角形的高：過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)邊的垂線，這條垂線段叫做三角形的高.2.三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段，三角形任意一條中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)部分；三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.3.三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與對(duì)邊相交形成的線段；注意：三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；任意一個(gè)三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；任意一個(gè)三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部.但

6、三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；直角三角形有一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高恰好是它兩條直角邊；鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高在三角形的外部.一個(gè)三角形中，三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交于一點(diǎn).（三角形的三條高（或三條高所在的直線）交與一點(diǎn)，銳角三角形高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，直角三角形高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)，鈍角三角形高（所在的直線）的交點(diǎn)在三角形的外部.）例1對(duì)于任意三角形的高，下列說(shuō)法不正確的是（ ）A銳角三角形有三條高 B直角三角形只有一條高C任意三角形都有三條高 D鈍角三角形有兩條高在三角形的外部【答案】B【解析】試題分析：

7、根據(jù)三角形的高的概念，通過(guò)具體作高，發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三角形都有三條高，其中銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；直角三角形有兩條高即三角形的兩條直角邊，一條在內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，一條在內(nèi)部，據(jù)此可知：A、銳角三角形有三條高，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、直角三角形有三條高，說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；C、任意三角形都有三條高，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B考點(diǎn)：三角形的高例2到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（ ）A三邊高線的交點(diǎn)B三條中線的交點(diǎn)C三邊垂直平分線的交點(diǎn)D三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【答案】C【解析

8、】試題分析：如圖，根據(jù)題意可知：由OA=OB，可得點(diǎn)A在線段AB的垂直平分線上；由OB=OC，可得O在線段BC上；同理可由OA=OC，可得O在線段AC的垂直平分線上；因此可知到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)故選C考點(diǎn)：線段的垂直平分線例3下列四個(gè)圖形中，線段BE是ABC的高的是（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：線段BE是ABC的高的圖是選項(xiàng)D故選D考點(diǎn)：三角形的角平分線、中線和高例4不一定在三角形內(nèi)部的線段是（ ）A三角形的角平分線 B三角形的中線C三角形的高 D三角形的中位線【答案】C【解析】試題分析：因?yàn)樵谌切沃校闹芯€、角平分線一定在

9、三角形的內(nèi)部，而鈍角三角形的高有的在三角形的外部故選C考點(diǎn)：1.三角形的角平分線、中線和高；2.三角形中位線定理 例5如圖，ADBC，GCBC，CFAB，D，C，F(xiàn)是垂足，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）AABC中，AD是BC邊上的高 BABC中，GC是BC邊上的高CGBC中，GC是BC邊上的高 DGBC中，CF是BG邊【答案】B【解析】試題分析：三角形的高的定義是三角形中，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所引的垂線段即為三角形這邊上的高，據(jù)此可知，A、ABC中，AD是BC邊上的高，此選項(xiàng)正確；B、ABC中，GC是BC邊上的高，錯(cuò)誤；C、GBC中，GC是BC邊上的高，正確；D、GBC中，CF是BG邊，正確

10、故選：B考點(diǎn)：三角形的高的定義例6三角形中，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（ ）A三條高線的交點(diǎn) B三條中線的交點(diǎn)C三條角平分線的交點(diǎn) D三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)故選D考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)例7如圖，CD，CE，CF分別是ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）AAB=2BF BAE=BE CACE=ACB DCDBE【答案】B.【解析】試題分析:CD，CE，CF分別是ABC的高、角平分線、中線CDBE，ACE=ACB ，AB=2BF 故選B考點(diǎn)：三角形的高，角平分線，中線.1

11、1.1.3 三角形的穩(wěn)定性11.2 與三角形有關(guān)的角11.2.1 三角形的內(nèi)角1. 三角形的內(nèi)角和：180°2.直角三角形的兩個(gè)銳角互余3.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形例1一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小聰將一副三角板按圖中方式疊放，則BFD等于 （ ）A10° B15° C30° D45°【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題意可得：B=45°，EDC=60°，根據(jù)EDC=B+BFD求出BFD=60°45°=15°考點(diǎn)：角度的計(jì)算例2如圖，在ABC中，A=90°，點(diǎn)D在AC邊上，DE/BC，若1

12、=155°，則B的度數(shù)為（ ）.A45° B55° C65° D75°【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)1可得EDC=25°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得C=EDC=25°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得B=180°90°25°=65°考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和例3在ABC中，ABC=345，則C等于（ ）A.45° B.60° C.75° D.90°【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)題意可設(shè)A=3x°，B=4x°，C=5x°，

13、則根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，可得3x+4x+5x=180，解方程的可得x=15，因此C=5x°=5×15°=75°.故選C考點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和例4在ABC中，A40 o，B55 o，則C o【答案】85°【解析】試題分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得C180°-A-B=180°-40 o-55°=85°.考點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和定理.11.2.2 三角形的外角1.三級(jí)形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角2.三角形的外角和：360°3.三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與

14、它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；常用來(lái)求角度三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.常用來(lái)比較角的大小例1如果等腰三角形的一個(gè)外角等于100度，那么它的頂角等于（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：分兩種情況：若100°是頂角的外角，則頂角=180°-100°=80°；若100°是底角的外角，則底角=180°-100°=80°，那么頂角=180°-2×80°=20°故答案選D考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)例2如圖所示，在ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，B=40°，A

15、CD=120°則A等于（ ）A90° B80° C70° D60°【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)三角形的外角性質(zhì):三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和得出，代入求得，故選B考點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì)例3已知ABC的一個(gè)外角為50°，則ABC一定是_ 三角形【答案】鈍角【解析】試題分析：因?yàn)锳BC的一個(gè)外角為50°，所以和它相鄰的內(nèi)角=130°，所以ABC一定是鈍角三角形考點(diǎn)：三角形的外角例4如圖，ADABBC，那么1和2之間的關(guān)系是 （ ）A12 B21+2180° C1+32180° D31

16、2180°【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)題意得：1=2+D，B=D，1=BAC，根據(jù)ABD的內(nèi)角和可得：D=（180BAC2）÷2=（18012）÷2，1=2+（18012）÷2，312=180°考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)11.3 多邊形及其內(nèi)角和11.3.1 多邊形1.在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.2.連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.3.各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.11.3.2 多邊形的內(nèi)角和多邊形的內(nèi)角和與外角和（識(shí)記）正n邊形34568101215內(nèi)角和180

17、°360°540°720°1080°1440°1800°2340°外角和360°360°360°360°360°360°360°360°每一個(gè)內(nèi)角60°90°108°120°135°144°150°158°每一個(gè)外角120°90°72°60°45°36°30°22°（1）多邊形的

18、內(nèi)角和：（n-2）180°（2）多邊形的外角和：360°引申：（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能作（n-3）條對(duì)角線；（2）多邊形有條對(duì)角線.（3）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形；例1如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30°，那么這個(gè)多邊形是_邊形【答案】12【解析】試題分析：根據(jù)多邊形的外角和為360°，可得一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30°時(shí)，這個(gè)多邊形是邊形考點(diǎn)：多邊形的外角和例2如圖，1、2、3、4是五邊形ABCDE的4個(gè)外角，若A=100°，則1+2+3+4= 【答案】280°【解析】試題分析：如圖，由EAB+5=180°，EAB=100°，先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出與EAB相鄰的外角5=80°，再根據(jù)多邊形的外角和定理即可求1+2+3+4=36080°=280°考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角例3一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是 邊形【答案】6【解析】試題分析：設(shè)多邊形邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的外角和為360°和多邊形的內(nèi)角和公式可得360°×2=（n2）180°，解得n=6所以則這個(gè)多邊形是6邊形考點(diǎn)：多邊形的外角定理；多邊形的內(nèi)角和公式例4如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)