1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 二階常系數 第五節線性微分方程 第八章 一、二階常系數齊次線性微分方程二、二階常系數非齊次線性微分方程( )( ,yp yq yf xp q是常數）目錄 上頁 下頁 返回 結束 二階線性常系數齊次微分方程 一、基本思路: 求解常系數線性齊次微分方程 求特征方程(代數方程)之根轉化),(0為常數qpyqypy 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二階常系數齊次線性微分方程:),(0為常數qpyqypy xrye和它的導數只差常數因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當042qp時, 有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性

2、無關的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解為xrxrccy21ee21( r 為待定常數 ),xrre,函數為常數時因為所以令的解為 則微分其根稱為特征根特征根.目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(0為常數qpyqypy 特征方程02qrpr2. 當042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設另一特解( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,e12xrxy 因此原方程的通解為xrxccy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr

3、0)()2(1211 uqrprupru目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(0為常數qpyqypy 特征方程02qrpr3. 當042qp時, 特征方程有一對共軛復根i,i21rr這時原方程有兩個復數解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解為)sincos(e21xcxcyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 小結小結:),(0為常數qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrccy21ee2121,:rr特征根21rr 實

4、根 221prrxrxccy1e)(21i21,r)sincos(e21xcxcyx特 征 根通 解以上結論可推廣到高階常系數線性微分方程 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 若特征方程含 k 重復根,ir若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應項xrkkxcxcce)(121xxcxcckkxcos)( e121sin)(121xxdxddkk則其通解中必含對應項)(01) 1(1)(均為常數knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數以上iidc推廣推廣:目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程,

5、0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxccy321ee例例2. 求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為ttccse)(21利用初始條件得, 41c于是所求初值問題的解為ttse)24(22c目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為i,2,1ri4,3r則方程通解 :xxccycos)(31xxccsin)(42目錄 上頁 下頁 返回 結束 二階線性常系數非齊次微分方程 二、 第八章 )()()(xfyxqyx

6、py 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1、常數變易法常數變易法復習: 常數變易法: )()(xfyxpy對應齊次方程的通解: )(1xycy xxpxyd)(1e)(設非齊次方程的解為 )(1xyy 代入原方程確定 ).(xu對二階非齊次方程 )()()(xfyxqyxpy 情形情形1. 已知對應齊次方程通解: )()(2211xycxycy設的解為 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv )(),(21待定xvxv由于有兩個待定函數, 所以要建立兩個方程:)(xu目錄 上頁 下頁 返回 結束 2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含為使令02211vyvy于是22112211

7、vyvyvyvyy 將以上結果代入方程 : 2211vyvy1111)(vyqypy )()(2222xfvyqypy 得)(2211xfvyvy故, 的系數行列式02121yyyyw21, yy是對應齊次方程的解,21線性無關因yyp10 目錄 上頁 下頁 返回 結束 122111,vy fvy fww 積分得: )(),(222111xgcvxgcv代入 即得非齊次方程的通解: )()(22112211xgyxgyycycy于是得 說明說明: 將的解設為 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一個必須滿足的條件即因此必需再附加一個條件, 方程的引入是為了簡化計算.方程3 方程, 目

8、錄 上頁 下頁 返回 結束 情形情形2.).(1xy僅知的齊次方程的一個非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化簡得 uypyuy)2(111uyqypy)(111 fuz令fzypyzy)2(111設其通解為 )()(2xzxzcz積分得)()(21xuxuccu(一階線性方程)由此得原方程的通解: )()()()()(11211xyxuxyxucxycy0方程3 )()()(xfyxqyxpy 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.0) 1( yyxyx的通解為,e21xcxcy 的通解.解解: 將所給方程化為:1111 xyxyxxy已知齊次方程求2) 1() 1( xyyxyx)

9、,(e)(21xvxvxyx令利用,建立方程組: 0e21vvxx1e21xvvx,e, 121xxvv解得xxcvxcve) 1(,2211故所求通解為) 1(e221xxcxcyx) 1(e221xcxcx02211vyvy)(2211xfvyvy積分得 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解上述可降階微分方程,可得通解:例例5.42)( )2(xyyxxyx 求方程的通解.解解: 對應齊次方程為0)( )2(2 yyxxyx由觀察可知它有特解:,1xy 令, )(xuxy 代入非齊次方程后化簡得xuu )(e22121xxccux故原方程通解為 )(e232121xxxcxcuxyx目錄 上頁

10、 下頁 返回 結束 2、待定系數法型)(e)(xpxfmxxxpxflxcos)(e)(型sin)(xxpn一、一、二、二、若非齊次微分方程若非齊次微分方程)()()(xfyxqyxpy 的右端項具有下面的特殊形式，則可用待定系數法的右端項具有下面的特殊形式，則可用待定系數法來求特解。來求特解。目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(xfyqypy ),(為常數qp二階常系數線性非齊次微分方程 :根據解的結構定理 , 其通解為yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據 f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 . 待定系數法待定系數法目錄 上

11、頁 下頁 返回 結束 )(exqx )()2(xqp )()(2xqqp)(expmx（一）、（一）、 型)(e)(xpxfmx 為實數 ,)(xpm設特解為, )(e*xqyx其中 為待定多項式 , )(xq )()(e*xqxqyx )()(2)(e*2xqxqxqyx 代入原方程 , 得 )(xq )()2(xqp)()(2xqqp)(xpm為 m 次多項式 .)(xfyqypy (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xqm從而得到特解形式為. )(e*xqymxq (x) 為 m 次待定系數多項式目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 若 是特征方程的單根 , , 02

12、qp,02 p)(xq則為m 次多項式, 故特解形式為xmxqxye)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xq 則是 m 次多項式,故特解形式為xmxqxye)(*2小結小結 對方程,)2, 1, 0(e)(*kxqxyxmk此結論可推廣到高階常系數線性微分方程 .)(xq )()2(xqp)(xpm)()(2xqqp即即當 是特征方程的 k 重根 時,可設特解目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數

13、, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. xxyyy2e65 求方程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對應齊次方程的通解為xxccy3221ee設非齊次方程特解為xbxbxy210e)(*比較系數, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxccy3221ee.e)(2221xxx ,2目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8. 求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 0

14、2323rrr其根為設非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321ccc21322cc2, 1, 0321rrr故對應齊次方程通解為1cy xce2xc23e原方程通解為x211cy xce2xc23e由初始條件得0432cc,0目錄 上頁 下頁 返回 結束 于是所求解為xyxx21e41e432解得)ee423(412xxx41 143321ccc目錄 上頁 下頁 返回 結束 （二）、（二）、型xxpxxpxfnlxsin)(cos)(e)(xmxpxf)i(e)()(xmxp)i(e)(第二步第二步 求出如下兩個方程的特解xmxpyqypy)i(e)( yqypy分

15、析思路:第一步第一步將 f (x) 轉化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點xmxp)i(e)(目錄 上頁 下頁 返回 結束 第一步第一步利用歐拉公式將 f (x) 變形xxfe)(i2)(2)(xpxpnlx)i(ei2)(2)(xpxpnlx)i(exmxpxf)i(e)()(xmxp)i(e)(xmxp)i(e)(xmxp)i(e)(則令,maxlnm )(xpl2eeiixx)(xpni2eeiixx目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xmkxqxy)i(1e)()

16、(次多項式為mxqm故xmxpyqypy)i(111e)()()( 等式兩邊取共軛 :xmxpyqypy)i(111e)(1y這說明為方程 的特解 .xmxpyqypy)i(e)( xmxpyqypy)i(e)( 設則 有特解:目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結果, 根據疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkxexmxmqqiiee原方程 yqypy xxpxxpnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxqm)sini(cosxxqm xkxexrmcosxrmsinmmrr,其中均為 m 次多項式 .xmxp)i(e)(xmxp

17、)i(e)(目錄 上頁 下頁 返回 結束 第四步第四步 分析的特點yxrxrxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmrr,因此均為 m 次實多項式 .11yyy本質上為實函數 ,11yy目錄 上頁 下頁 返回 結束 小小 結結:xxpxxpnlxsin)(cos)(e對非齊次方程yqypy ),(為常數qpxrxrxymmxksincose*則可設特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結論也可推廣到高階方程的情形.目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設特解

18、為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxpl, 0)(xpn比較系數 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例10. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應齊次方程的通解為xcxcy3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數, 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xcxcy3sin3cos21為特征方程的單根 ,3i)3