1、習習 題題 課課積分法積分法原原 函函 數數選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數的積分函數的積分一、主要內容一、主要內容1 1、原函數、原函數2 2、不定積分、不定積分(1) 定義定義cxfdxxf )()(2) 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.(3) 不定積分的性質不定積分的性質3、積分法：三法一表、積分法：三法一表基本積分表基本積分表分項積分法分項積分法換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法4 4、基本積分表（、基

2、本積分表（2424個公式個公式）5 5、直接積分法（、直接積分法（分項積分法分項積分法）6 6、第一類換元法（、第一類換元法（湊微分法湊微分法）湊微分法的主要思想：湊微分法的主要思想： 將不同的部分將不同的部分中間變量與積分變量中間變量與積分變量變成相同，使之能套用基本積分公式。變成相同，使之能套用基本積分公式。 此時要求熟悉并牢記一些基本的微分公式，此時要求熟悉并牢記一些基本的微分公式，并善于從被積表達式中拼湊出合適的微分因子。并善于從被積表達式中拼湊出合適的微分因子。常見類型常見類型: :;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxx

3、f;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 7 7、第二類換元法、第二類換元法 引入適當的變量代換，變化被積表達式，使之引入適當的變量代換，變化被積表達式，使之化簡并變成容易的積分。化簡并變成容易的積分。 常用代換常用代換: :.,)(. 1rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數代換三角函數代換.sinh,)(. 322taxxaxf 令令如如雙曲函數代換雙曲函數代換.1. 4tx 令令倒置代換倒置代換5.根式代換根式代換ndcxbax 被積式如含被積式如含ndcxbax

4、t 則令則令被積式如含被積式如含nmdcxbaxdcxbax ,則令則令kdcxbaxt ,nmlcmk 6.指數代換指數代換被積式如含被積式如含xa通常可令通常可令xat 8 8、分部積分法、分部積分法dxvuuvdxvu duvuvudv 分部積分公式分部積分公式選擇選擇 u u、v v 的有效方法的有效方法: :ilaetilaet選擇法選擇法i-反三角函數；反三角函數；l-對數函數；對數函數；a-代數函數；代數函數；e-指數函數；指數函數；t-三角函數；三角函數； 哪個在前哪個選作哪個在前哪個選作u.反、對、冪、指、三反、對、冪、指、三排序在后者優先進入積分號排序在后者優先進入積分號9

5、 9、幾種特殊類型函數的積分、幾種特殊類型函數的積分（1）有理函數的積分）有理函數的積分待定系數法待定系數法化有理真分式為部分分式化有理真分式為部分分式四種類型最簡分式的不定積分四種類型最簡分式的不定積分 dxax1dxaxm )(1dxqpxxbax 2dxqpxxbaxm )(2有遞推公式有遞推公式（2） 三角函數有理式的積分三角函數有理式的積分 dxxxr)cos,(sinduuuuuur22221211,12 （3） 簡單無理函數的積分簡單無理函數的積分討論類型討論類型),(nbaxxr ),(necxbaxxr 解決方法解決方法作代換去掉根號作代換去掉根號注意注意某些初等函數的原函數

6、不是初等函數某些初等函數的原函數不是初等函數如如 dxex2 dxxxsin dxxln1 dxx411俗稱俗稱“積不出來積不出來”二、典型例題二、典型例題例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21cxxxx tx )23(令令例例2 2解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2

7、(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tancxex 例例3 3解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232cxx )1221(1122xxxx 例例4 4解一解一.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttctt 21arcsin.1arcsin12cxxx (倒代換倒代換)解二解二令令txsec dxxxx1122tdttttttansectansec1sec2 dttt sec1s

8、ec dtt)cos1(ctt sincxxx 1arccos12x112 xt例例5 5解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原式原式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222cxxxxxxx 例例6)0()(1 adxaxxn解一解一分子拆項分子拆項dxaxxn )(1dxaxxxaxannn )(1 111dxaxxdxxanncaxn

9、xan )ln(1ln1caxxnann ln1解二解二分子分母同乘以分子分母同乘以1 nxdxaxxn )(1 dxaxxxnnn)(1nnndxaxxn )(11令令nxt dttatn)(11dtattna 111cattna ln1caxxnann ln1解三解三 倒代換倒代換令令tx1 dxaxxn )(1dttattnn2111 dtattnn11catnan )1ln(1caxxnann ln1解四解四湊微分湊微分dxaxxn )(1 dxaxxnn)1(11caxnan )1ln(1caxxnann ln1例例7 7., 1max dxx求求解解, 1max)(xxf 設設,1

10、,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上連續上連續在在xf).(xf則必存在原函數則必存在原函數須處處連續，有須處處連續，有又又)(xf.1,2111,1,21)(32212 xcxxcxxcxxf)21(lim)(lim12121cxcxxx ,21112cc 即即)(lim)21(lim21321cxcxxx ,12123cc 即即.1,12111,211,21, 1max22 xcxxcxxcxdxx故故.1,2132cccc 可得可得,1cc 聯立并令聯立并令例例8 8解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfx

11、fxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212cxfxf 例例9 dxxx22)1ln( 解一解一直接分部積分直接分部積分 dxxx22)1ln( dxxxxxxxx222211)1ln(2)1ln( )1(11)1ln()1ln(22222xdxxxxxx )1()1ln(2)1ln(2222xdxxxxx )1ln(12)1ln(2222xxxxxx dxxx221112 cxxxxxxx 2)1ln(12)1ln(2222解二解二作雙曲代換作雙曲代換令令xarxxtsinh)1ln(2 dxxx22)1ln(

12、tdtsinh2 tdttttsinh2sinh2 ttdttcosh2sinh2 tdtttttcosh2cosh2sinh2cttttt sinh2cosh2sinh2 )1ln(12)1ln(2222xxxxxx cx 2解三解三用三角代換用三角代換令令txtan 注意注意tttsec )tanln(sec 計算過程稍繁計算過程稍繁例例10dxxx cossin13解一解一dxxx cossin13dxxxxx cossincossin322 dxxxdxxx3sincoscossin1)(sinsin1sincoscossin3xdxdxxxxx cxx 2sin21tanln解二解二

13、dxxx cossin13 dxxxxx22cossincossin1 )(tantan11tan12xdxx )(tantan1)(tantan13xdxxdxcxx 2tan21tanln解三解三dxxx cossin13dxxxx cossinsin12dxxx 2sin)2cos1(14令令tx tan2122sinttx 22112costtx dttdx211 dtttttt 222212)111(114dttt 32414dttdtt 113ctt 221lncxx 2tan21tanln解四解四萬能代換萬能代換不易得出正確結果不易得出正確結果例例11dxxaxa 解一解一dxx

14、axa 分子分母同乘分子分母同乘xa dxxaxa22dxxaxdxxaa 22221cxaaxa 22arcsin解二解二令令xaxat 1)1(22 ttaxdttatdx22)1(4 dxxaxa dttat 222)1(4dttadtta 222)1(14114而而dtt 22)1(1令令uttan uduu24secsec1 udu2cos duu2cos121cuu 2sin4121t121t ucttt 2121arctan21dxxaxa cttata 212arctan2cxaxaxaa 22arctan2例例12)()sin()sin(1 kbadxbxax 解解dxbxa

15、x )sin()sin(1 dxbxaxbaba)sin()sin()sin()sin(1 dxbxaxbxaxba)sin()sin()()sin()sin(1dxaxaxbxbxba )sin()cos()sin()cos()sin(1caxbxba )sin()sin(ln)sin(1例例13 dxxxxx)1()1ln(ln解一解一注意到注意到)1(1 )1ln(ln xxxx dxxxxx)1()1ln(ln)1ln(ln)1ln(ln xxdxxcxx 2)1ln(ln21解二解二111)1(1 xxxx dxxxxx)1()1ln(ln dxxxdxxxdxxxdxxx1)1ln

16、()1ln(1lnln而而 xdxdxxxln)1ln()1ln( dxxxxx1ln)1ln(ln dxxxxx)1()1ln(lncxxxx )1(ln21)1ln(lnln2122例例14 dxxx100)1(解一解一 dxxx100)1( 101)1(1011xxd dxxxx101101)1(1011)1(1011cxxx 102101)1(1021011)1(1011cxx 101)1(102)1(101102解二解二 dxxx100)1( dxxx100)1)(11(dxxdxx100101)1()1( cxx 101)1(102)1(101102例例15dxxx 211解解令令

17、txsin dxxx 211dtttt cossincos對對dtttt cossincos我們用多種解法來解我們用多種解法來解分子拆項分子拆項ttttttcos)cos(sin)sin(coscos 再移項再移項 dttttcossincos dtttttdtttttcossincossin21cossinsincos21cttt )cosln(sin2121分母和差化積分母和差化積 dttttcossincosdtttt )2sin(sincos dttt)4cos(4sin2)44cos( dtt )4tan(121 ctt )4lncos(2121 分子分母同乘分子分母同乘ttsinc

18、os dttttcossincos dttttt2coscossincos2 dtttt2cos2sin2cos121)2(2cos2sin14121tdttt ctttt 2cosln41)2tan2ln(sec4121ctt )2sin1ln(4121cttt )cosln(sin2121分子分母同除以分子分母同除以tcos再令再令ut tan dttttcossincosdtt tan11duuu )1)(1(12duuuu 1111212cuuu 211ln21arctan21分子分母同除以分子分母同除以tsin再令再令ut cot解法與完全類似解法與完全類似萬能代換萬能代換令令2tantu dttttcossincosduuuuu22212211 分母不易分解因式，直接用萬能代換不妥分母不易分解因式，直接