1、齊次方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三節(jié)一、齊次方程一、齊次方程*二、可化為齊次方程二、可化為齊次方程 第十二章 一、齊次方程一、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分離變量: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnln

2、sinlncxuxcu sin即故原方程的通解為xcxysin( 當(dāng) c = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解)( c 為任意常數(shù) )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lncxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即cuux )1(ycxyx)(說(shuō)明說(shuō)明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(c 為任意常數(shù))求解過(guò)程中丟失了. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oyx可得 oma = oa

3、m = 例例3. 在制造探照燈反射鏡面時(shí),解解: 設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),則反射鏡面由曲線 )(xfy 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成 .過(guò)曲線上任意點(diǎn) m (x, y) 作切線 m t,由光的反射定律:入射角 = 反射角xycotxyy22yxomtmapy取x 軸平行于光線反射方向,從而 ao = omopap 要求點(diǎn)光源的光線反 射出去有良好的方向性 , 試求反射鏡面的形狀. 而 ao 于是得微分方程 : xyy22yx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用曲線的對(duì)稱性, 不妨設(shè) y 0,21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddcyvvlnln)1(ln2積分

4、得故有1222cvycy, xvy代入得)2(22cxcy (拋物線)221)(vvcycyvv21故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 頂?shù)降椎木嚯x為 h ,hdc82說(shuō)明說(shuō)明:)(222cxcy2,2dyhcx則將這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為hdxhdzy1642222hd若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達(dá)式得)0,(2coyxa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( h, k 為待 *二、可化為齊次方程的方程二、可化為齊次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111時(shí)當(dāng)bbaa作變換kyyhxx,dd,ddyy

5、xx則原方程化為 ybxaybxaxy11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k ybxaybxaxy11dd(齊次方程)定常數(shù)), 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,代入將kyyhxx求出其解后, 即得原方 程的解.,. 211時(shí)當(dāng)bbaa原方程可化為 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd則1ddcvcvbaxv(可分離變量方程)注注: 上述方法可適用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc)0( b機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5, 1yyxxyxyxxydd得再令 yx u , 得令06 kh5, 1kh得xxuuudd112積分得uarctan)1(ln221uxcln代回原變量, 得原方程的通解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxc52xy利用得 c = 1 , 故所求特解為15arctanxy22)5() 1(ln21yx思考思考: 若方程改為 ,6