1、數學文化之我見數學和其他科學一樣，是人類共同的精神財富，數學是人類智慧的結晶。它表達了人類思維中生動活潑的意念， 表達了人類對客觀世 界深入細致的思考，以及人類追求完美和諧的愿望。早在古希臘時代， 哲學家柏拉圖把數學看作是文化的最高理想。 他說：“幾何學可以將 靈魂引向真理，并且創造出理性精神”。他認為學習數學不只是為了 求真，也是為了求善、求美。他認為人通過研究幾何同時也不斷地塑 造自己，使自己成為更高尚、更豐富、也更有力量的人。既人們在認 識宇宙同時，也認識人類自己。在這個認識過程中，數學起著獨特的 作用。現在它幾乎是任何科學都不可缺少的， 它是現代科學技術的語 言和工具，它的成果為眾多學

2、科所共識，積極推動著這些學科理論的 建立和深化，它的思維方式和方法滲透到各學科， 為這些學科的發展 增添了活力。數學追求一種完全確定、完全可靠的知識。數學的對象必 須是明確無誤的概念，作為以推理為出發點的命題必須明確、清晰， 推理過程的每一步驟都必須明確可靠、 容不得半點的含糊，整個認識 過程必須前后一貫而不容許自相矛盾。當然，任何一個法律文件、一 篇有說服力的學術文章也必須概念清晰、 邏輯嚴謹，但是數學對知識 可靠性的要求更高、更明確。正因為如此，數學方法成為人們一種典 范的認識方法，幫助人們正確地、客觀地認識宇宙和人類自己。幾千 年來，人類的思想發生了巨大變化，人類的知識在不斷地增長。而在

3、 由歷史積累而形成的人類知識文化寶藏中，數學思想和方法卻一直延續發展了幾千年，表現出了強大的生命力數學不斷地追求最簡單、最深層次這是認識的根本。用簡潔的 數學公式來表示復雜的事物、理解變化的客觀規律。在科學技術領域 內，人們現在己經能習慣地用非常簡潔的數學公式來表示牛頓定律， 以此來描述物體多種多樣的運動， 解釋各種現象，同時借助于數學探 求事物的機理，預測事物未來的發展變化，探求超出人類感官所及的 宇宙的根本。人們借助計算機通過建立數學模型進行數學計算，在數學思想方法的啟發和幫助下，解決各式各樣的問題。人們在認識客觀 世界的探索中越來越相信，世界的合理性可以用數學來描述。數學不僅研究客觀世界

4、的數量關系和空間形式，而且也研究它 自己。數學史中出現過的一個又一個悖論， 記錄了數學在研究自身的 過程中所經歷的一次又一次的危機， 危機似乎動搖了數學的基礎，而 數學正是在不斷嚴格地審視自己、不斷地克服自身一個又一個矛盾的 過程中夯實了自己的基礎，使之變得更為扎實、牢靠。一些公理化體 系就是數學對自己的基礎出現多次“危機”后深思熟慮的結果。在探討數學自身的過程中，也形成了像數理邏輯這樣的數學新分支， 推動 了數學自身的發展。數學發展的歷史正是體現了人類追求真理而不斷 探索的精神。數學的基礎是邏輯和直覺、分析和推理、共性和個性，這 種思維方式是數學外在的表現。而實質上也和其他文化領域一樣，其

5、自身的發展受到不同的時代精神、 不同的思維方式的影響。反過來它 也影響著人的精神和思維，影響一個民族文化進步。解析幾何和微積分的創立，使變量成為數學的研究對象。數學思想、內容、方法上的 革新，使數學的面貌煥然一新。而數學研究運動、變化的思想和方法， 以及數學所取得的進展，對打破科學研究中形而上學的枷鎖， 把辯證 法引入到科學的思維中，起到了推波助瀾的作用。今天，恐怕沒有一 個有文化的人不懂得“增長速度”，“變化率”的含義，人們己經習 慣從運動和變化的觀點來研究事物。數學促進了幾乎所有學科的發 展，直接或間接地影響了每一個有文化的人的思維。影響人類的精神生活，提高和豐富了人類的整個精神文明水平。

6、(2)數學對人的文化素養影響面對飛躍發展的科學技術，人必須具備必要的數學知識和技 能，以訓練心智、陶冶情操，更好的理解周圍的世界，從而更客觀的 認識人類社會。例如“今年前六個月的居民存款比去年同期增速下降 1個百分點。” “今天降水概率是 50% 。 “信息高速公路”、“數 字信息”等他們的含義都是什么？數學對人的文化素質的影響，至少表現在如下幾個方面：有利于培養嚴謹的思維方式。盡管大多數人將來不會成為數學 家，但是條理性、邏輯性作為一種文化素質對人們將來從事任何一種 職業都是需要的。同時，數學思維能力的培養對人的智力發展起著關 鍵的作用。如圓是一個完美的圖形，可用方程來表示，我們可以從這個方

7、程中找出圓的所有美妙的性質， 進一步還可以用方程來表示 球，那么我們為什么不考慮下列方程 以及。僅僅靠類比就使我們從 三維空間進入了高維空間，從有形進入了無形，從現實進入了虛擬世 界。有利于培養人的創新精神。數學是人類理性文明高度發展的結 晶，又是人類創新的銳利工具。無論數學知識的應用或是數學知識的 發展，都需要研究新問題，根據實際情況做出恰如其分的分析，并由 此找到解決問題的途徑。這就體現出人的巨大創造力。有利于培養科學的審美觀。人對美的理解各不相同，但總之 美和完善、完美、和諧、秩序等相聯系。而數學本身體現出的簡 潔美(抽象美、符號美、統一美等)、和諧美(對稱美、形式美等)、奇 異一，數學

8、文化的存在價值在即將公布的高中數學課程標準中,數學文化是一個單獨的板塊，給 予了特別的重視。許多老師會問為什么要這樣做？ 一個重要的原因 是，20世紀初年的數學曾經存在著脫離社會文化的孤立主義傾向， 并一直影響到今天的中國。數學的過度形式化，使人錯誤地感到數學 只是少數天才腦子里想象出來的“自由創造物”，數學的發展無須社 會的推動，其真理性無須實踐的檢驗，當然，數學的進步也無須人類 文化的哺育。于是，西方的數學界有“經驗主義的復興”。懷拄(white)的數學文化論力圖把數學回歸到文化層面。 克萊因(kline )的古今數學思想、西方文化中的數學、數學：確定性的喪失 相繼問世，力圖營造數學文化的

9、人文色彩。國內最早注意數學文化的學者是北京大學的教授 孫小禮、她和鄧 東皋等合編的數學與文化.匯集了一些數學名家的有關論述，也記錄了從自然辯證法研究的角度對數學文化的思考。稍后出版的有齊 民友的數學與文化，主要從非歐幾何產生的歷史闡述數學的文化 價值，特別指出了數學思維的文化意義。 鄭毓信等出版的專著數學 文化學，特點是用社會建構主義的哲學觀,強調“數學共同體”產 生的文化效應。以上的著作以及許多的論文，都力圖把數學從單純的邏輯演 繹推理的圈子中解放出來，重點是分析數學文明史，充分揭示數 學的文化內涵，肯定數學作為文化存在的價值。二，數學：一種思想方法數學是研究量的科學。它研究客觀對象量的變化

10、、關系等，并 在提煉量的規律性的基礎上形成各種有關量的推導和演算的方法。數學的思想方法體現著它作為一般方法論的特征和性質，是物質世界質 與量的統一、內容與形式的統一的最有效的表現方式。 這些表現方式 主要有：提供數量分析和 計算工具；提供推理工具；建立數學模型。 任何一種數學方法的具體運用，首先必須將研究對象數量化，進行 數量分析、測量和計算。毛澤東同志曾指出：對情況和問題一定要注意到它們的數量方面，要有基本的數量的分析。任何質量都表現為 一定的數量，沒有數量也就沒有質量。”(注：毛澤東選集第4卷 第1443頁，人民出版社1990年版。)例如太陽系第八大行星 一一海 王星的發現，就是由亞當斯(

11、j. c. adams)和勒維烈(u. j. leverrier) 運用萬有引力定律，通過復雜的數量分析和計算，在尚未觀察到海王 星的情況下推理并預見其存在的。數學作為推理工具的作用是巨大的。特別是對由于技術條件限制暫時難以觀測的感性經驗以外的客觀世界，推理更有其獨到的功 效，例如正電子的預言，就是由英國理論物 理學家狄拉克根據邏輯推 理而得出的。后來由宇宙射線觀測實驗證實了這一論斷。值得指出的是，數學模型方法作為對某種事物或現象中所包含的數量 關系和空間形式所進行的數學概括、 描述和抽象的基本方法，已經成 為應用數學最本質的思想方法之一。 模型這一概念在數學上已變得如此重要，以致于許多數學家

12、都把數學看成是 關于模型的科學 懷特海(a. n. whitehead )認為：模式具有重要性的看法和文明一 樣古老社會組織的結合力也依賴于行為模式的保持； 文明的進步 也僥幸地依賴于這些行為模式的變更。”(注：林夏水主編數學 哲學譯文集第350頁，知識出版社1986年版。)并進一步指出： 數 學對于理解模式和分析模式之間的關系，是最強有力的技術。”(注：林夏水主編數學哲學譯文集第 350頁，知識出版社1986年版。) 物理學家博爾茨曼(l.e. boltzmann)認為：模型，無論是物理的還 是數學的，無論是幾何的還是統計的，已經成為科學以思維能力理解 客體和用語言描述客體的工具。”這一觀點

13、目前不僅流行于 自然科學 界，還遍布于社會科學界。為自然界和人類社會的各種現象或事物建 立模型，是把握并預測自然界與人類社會變化與發展規律的必然趨勢。在歐洲，在人文科學和社會科學中稱為結構主義的運動，雄辯地 論證了所有各種范圍的人類行為與意識都有形式的數學結構為基礎。 在美國，社會科學自夸有更堅實、定量的東西，這通常也是用數學模型來表示的。從模型的觀點看，數學已經突破了量的確定性這一較狹 義的范疇而獲得了更廣泛的意義。既然數學的研究對象已經不再局限 于 量”而擴展為更廣義的 模型”，那么，數學概念的本質也在發生嬉 變。數學正成為一個動態的、變化的、泛化了的概念體系，具涵蓋的 科學對象也必然隨之

14、增加。數學在社會科學中的模型建構大都以結構 分析為目標，即在高度簡化與理想化的框架中去理解社會行為機制。 在某些框架下，利用科學去預測與控制一個社會系統的一切變量的更 高層次的目標已經實現。數學的模型方法把數學的思想方法功能轉化成科學研究的實際力量。 數學中有一個分支叫應用數學，主要就是研究如何從實際問題中提煉 數學模型。這是一個對研究對象進行具體分析、 科學抽象和做出判斷 與預見的過程。如對客觀事物的必然現象，人們用確定性模型去描述， 而對或然現象，人們建立了隨機性模型。模糊數學被用于刻畫弗晰現 象。而各種突變現象，如地震、洪災等，則可以由突變理論給出數學 模型。三，數學：理性的藝zh通常人

15、們認為，藝術與數學是人類所創造的風格與本質都迥然不 同的兩類文化產品。兩者一個處于高度理性化的巔峰，另一個居于情 感世界的中心；一個是科學（自然科學）的典范，另一個是美學構筑 的杰作。然而，在種種表面無關甚至完全不同的現象背后，隱匿著藝 術與數學極其豐富的普遍意義。數學與藝術確實有許多相通和共同之 處，例如數學和藝術，特別是音樂中的五線譜.繪畫中的線條結構等， 都是用抽象的符號語言來表達內容。難怪有人說，數學是理性的音樂， 音樂是感性的數學。事實上，由于數學（特別是 現代數學）的研究對 象在很大程度上可以被看成 思維的自由想象和創造 工因此，美學的 因素在數學的研究中占有特別重要的地位， 以致

16、在一定程度上數學可 被看成一種藝術。對此，我們還可做出如下進一步的分析。藝術與數學都是描繪世界圖式的有力工具。 藝術與數學作為人類 文明發展的產物，是人類認識世界的一種有力手段。 在藝術創造與數 學創造中凝聚著人類美好的理想和實現這種理想的孜孜追求。盡管藝術家與數學家使用著不同的工具，有著不同的方式，但他們工作的基 本的目的都是為了描繪一幅盡可能簡化的 世界圖式藝術實踐與數 學活動的動機、過程、方法與結果，都是在其自身價值的弘揚中，不 斷地實現著對世界圖式的有力刻畫。這種價值就是在充分、完全地理 解現實世界的基礎上，審美地掌握世界。藝術與數學都是通用的理想化的世界語言。 藝術與數學在描繪世界圖

17、 式的過程中，還同時發展并完善著自身的表現形式， 這種表現形式最 基本的載體便是藝術與數學各自獨特的語言體系。 其共同特征有：（1） 跨文化性。藝術與數學所表達的是一種帶有普遍意義的人類共同的心 聲，因而它們可以超越時間和地域界限， 實現不同文化群體之間的廣 泛傳播和交流。（2）整體性。藝術語言的整體性來自于其藝術表現的 普遍性和廣泛性；數學語言的整體性來自于數學統一的符號體系、 各 個分支之間的有力聯系、共同的邏輯規則和約定俗成的闡述方式。（3 ）簡約性。它首先表現為很高的抽象程度，其次是凝凍與濃縮。（4 ）象征性。藝術與數學語言各自的象征性可以誘發某種強烈的情 感體驗，喚起某種美的感受，而

18、意義則在于把注意力引向思維，升遷 為理念，成為表現人類內心意圖的方式。（5）形式化。在藝術與數學 各自進行的代碼與信息的意義交換中，其共同的特征就是達到了實體 與形式的分隔。這樣提煉出來的形式可以進行形式化處理。藝術與數學具有普適的精神價值。有人把精神價值劃分為知識價 值、道德價值和審美價值三種。藝術與數學同時具備這三種價值，這 一事實賦予了藝術與數學精神價值以普適性。 概括起來，其共同的特 點有：（1）自律性。數學價值的自律性是與數學價值的客觀性相聯系 的；藝術的價值也是不能由民主選舉和個人好惡來衡量的。藝術與數學的價值基本上是在自身框架內被鑒別、 鑒賞和評價的。（2）超越性。 它們可以超越

19、時空，顯示出永恒。在藝術與數學的價值超越過程中， 現實被擴張、被延伸。人被重新塑造，賦予理想。藝術與數學的超越 性還表現為超前的價值。（3）非功利性。藝術與數學的非功利性是其 價值判斷有別于其他種類文化與科學的顯著特征之一。（4）多樣化、物化與泛化。在現代技術與商業化的沖擊下，藝術與數學的價值也開 始發生嬉變，出現了各自價值在許多領域內的散射、滲透、應用、交 叉等現象。在人類思維的全譜系中，藝術思維和數學思維的主要特征決定了 其主導思維各居于譜系的兩端。但兩種思維又有很多交叉、重疊和復 合。特別是真正的藝術品和數學創造，一般都不是某種單一思維形式 的產物，而是多種思維形式綜合作用的結果。 人類思維之翼在藝術思維與數學思維形成的巨大張力之間展開了無窮的翱翔，并在人類思維 的自然延拓和形式構造中被編織得渾然一體， 呈現出整體多樣性的統 一。人類思維譜系不是線性的，而是主體的、 網縫式的、多層多維的 復合體。當我們想要探索人類思維的奧秘時， 藝術思維與數學思維能 夠提供最典型的范本。其中能夠找到包括人類原始思維直至人工