1、文檔來源為 :從網絡收集整理 .word 版本可編輯 .歡迎下載支持三角函數與三角恒等變換判斷三角形的形狀一、選擇題（共 2 小題，每小題 5 分，滿分 10 分）1（5 分）已知 tanA+tanB+tanC >0，則 ABC 是（）A 銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D任意三角形利用正切的和角公式變形形式 tanA+tanB=tan （A+B ）（1 tanAtanB ）化簡整理解： tanA+tanB=tan （A+B ）（1 tanAtanB ） tanA+tanB+tanC=tan （ A+B ）（ 1 tanAtanB ） +tanC=tanAtanBtanC > 0

2、 ， A，B，C 是ABC 的內角，故內角都是銳角 故應選 A 考查兩角和的正切公式以及三角函數的符號，訓練運用公式熟練變形的能力2（5 分）在 ABC 中， =，則 ABC 是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等邊三角形考點：三角函數中的恒等變換應用專題 ：計算題分析：利用正弦定理把題設等式中的邊轉化成角的正弦，進而化簡整理求得A+B=90 °，進而可推斷出三角形的形狀解答：解：由正弦定理可得 =sin2A=sin2B ，進而推斷出A=B 或點評：解答：二、填空題（共 11小題，每小題 4分，滿分 44 分）4 4 4 22 22 224（4 分）在 ABC 中， a

3、4+b4+c4a2b2b2c2a2c2=0，則ABC 是 等邊三角形 考點： 專題 ： 分析：22=0，進而=，求得 sinAcosA=sinBcosB即 sin2A=sin2BA=B 或 2A+2B=180 °， A+B=90 °三角形為等腰或直角三角形故選 C 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角形形狀的判斷解題的關鍵是通過正弦定理把邊轉化為角 的問題，利用三角函數的基礎公式求得問題的解決三角形中的幾何計算計算題4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 利用配方法對 a +b +c a b b c a c =0，化簡整理得 （a b ）

4、+（a c ） +（b c ） 推斷 a2=b2， a2=c2， b2=c2，判斷三角形三邊相等4 4 4 2 2 22 22 解： a +b +c a b b c a c =04 44 2 2 2222 44 42 2 22 22a+b +c =abbcac2（a+b +c）=2（abbcac）4 4 2 2 4 4 2 24 4 2 2a+b 2a 2b +a +c 2a c +b +c 2b c =02 2 2 2 2 2 2 2 2 （ a b ） +（ a c ） +（ b c ） =02 2 2 2 2 2 a=b ，a =c ，b =c a=b=c 故答案為等邊三角形文檔來源為

5、:從網絡收集整理 .word 版本可編輯 .歡迎下載支持 .點評：本題主要考查了解三角形問題解題的關鍵是利用配方法對題設進行化簡整理5（4 分）在 ABC 中， cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，則 ABC 是 等邊三角形考點：兩角和與差的余弦函數；同角三角函數基本關系的運用專題 ：計算題分析：由三角函數的有界性知正弦與余弦的取值范圍都是1，1 而此三式的乘積等于 1，只能是三式的值都為 1，由此可解出結論解答：解：由已知 ABC 中， cos（AB） cos（ B C）cos（CA） =1， cos（A B）=cos（BC）=cos（CA）=1， A B=B C=C A=0 A

6、=B=C故 ABC 是等邊三角形，應填等邊三角形點評：本題考查三角函數的定義，有界性，解決本題易犯錯誤是不加判斷直接化簡，則難矣6（4 分）在 ABC 中， tanAtanB > 1，則 ABC 是 銳角三角形考點：兩角和與差的余弦函數專題 ：計算題分析：利用兩角和的正切函數公式表示出tan（A+B ），根據 A 與 B 的范圍以及 tanAtanB > 1，得到 tanA 和 tanB 都大于 0，即可得到 A 與 B都為銳角，然后判斷出 tan（ A+B ）小于 0，得到 A+B 為鈍角即 C 為銳角，所以 得到此三角形為銳角三角形解答：解：因為 A 和 B 都為三角形中的內角

7、， 由 tanAtanB >1，得到 1 tanAtanB <0， 且得到 tanA> 0， tanB> 0，即 A，B 為銳角， 所以 tan（ A+B ）=<0，則 A+B （ ， ），即 C 都為銳角，所以 ABC 是銳角三角形 故答案為：銳角三角形點評：此題考查學生靈活運用兩角和的正切函數公式化簡求值，是一道基礎題本題的關鍵是得到 tanA 和 tanB 都大于 0，進而得到 A 和 B 都為銳角7（4 分）在 ABC 中， sin2A+sin 2B=sin 2C，則ABC 是 直角三角形考點：正弦定理專題 ：轉化思想分析：利用正弦定理化角為邊可得a2+b

8、2=c2，從而判定三角形的形狀解答：解： sinA= ，sinB= ，sinC= ，+即 a2+b2=c2， ABC 是直角三角形， 故答案為直角三角形點評： 本題考查了正弦定理的變形 sinA= ， sinB= ， sinC= ，比較簡單，8（4 分）在 ABC 中，已知，則 ABC 的形狀是 鈍角三角形考點：兩角和與差的正弦函數專題 ：計算題分析：對題設兩邊平方，求得 sin2A 的值根據 sin2A 小于零，求出 A 的范圍得到答案文檔來源為 :從網絡收集整理 .word 版本可編輯 .歡迎下載支持 .解答：解： ( sinA+cosA )2=sin2A+cos2A+2sinAcosA=

9、1+sin2A= sin2A= < 0 2A2，即 A ABC 的形狀是 鈍角三角形故答案為：鈍角三角形點評： 本題主要考查了二倍角公式的運用屬基礎題9（4分）在 ABC 中，已知 cosBcosC=，則ABC 的形狀是 等腰三角形 考點 ： 三角形的形狀判斷專題 ： 計算題分析： 利用積化和差公式和兩角和公式對原式進行化簡整理求得cos（CB）=0，進而判斷出 C=B ，三角形形狀可知解答：解： cosBcosC= ， 2cosBcosC=1 cosA， cos（ C B ） +cos（ C+B ）=1cosA cos（ CB ） cosA=1 cosA cos( CB ) =1 C

10、B=0 C=B 故三角形的形狀為等腰三角形 故答案為等腰三角形點評： 本題主要考查了三角形的形狀判斷解題的關鍵化簡原式得到cos（ CB）的值10（4 分）在 ABC 中，已知 a cosA=b cosB ，則 ABC 的形狀是 ABC 為等腰或直角三角形考點：正弦定理的應用；兩角和與差的余弦函數專題 ：計算題分析：根據正弦定理把等式 acosA=bcosB 的邊換成角的正弦， 再利用倍角公式化簡整理得 sin2A=sin2B ，進而推斷 A=B ，或 A+B=90 °答案可得解答：解：根據正弦定理可知 acosA=bcosB， sinAcosA=sinBcosB sin2A=sin

11、2B A=B ，或 2A+2B=180 °即 A+B=90 °， 所以 ABC 為等腰或直角三角形 故答案為 ABC 為等腰或直角三角形 點評： 本題主要考查了正弦定理的應用，屬基礎題11（4 分）在 ABC 中，已知 sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=2 ，則 ABC 的形狀是 等腰直角三角形 考點 ： 正弦定理的應用；余弦定理的應用分析： 先通過合并同類項和輔角公式確定角A 、 B 的值，從而確定三角形的形狀解答：=sinAsinB+cosB ) +cosA ( sinB+cosB ) = ( sinB+cosB )( sinA+c

12、osA )= sin( A+) sin( B+=2sinA+ )sinB+ )=2 sinA+ )sinB+ )=1 sin( A+ )=1，sin(B+ ) =1解： sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=B+= A+A=B= ABC 是等腰直角三角形 故答案為：等腰直角三角形C=點評： 本題主要考查通過確定角的值判斷三角形的形狀，屬基礎題12（4分）在ABC中，已知，則 ABC 的形狀是等邊三角形考點：正弦定理；同角三角函數間的基本關系專題 ： 計算題；轉化思想分析：根據正弦定理表示出a， b 和 c，分別代入已知的利用同角三角函數間的基本關系及特殊角的三

13、角函數值即可得到三角形的三個內角相等，得到三角形為等邊三角形解答：=2R，解：根據正弦定理得到：則 a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC ， 代入 中得： = =即 tanA=tanB=tanC ，得到 A=B=C ， 所以 ABC 的形狀是等邊三角形故答案為：等邊三角形點評： 此題考查學生靈活運用正弦定理化簡求值，靈活運用同角三角函數間的基本關系及特殊角的三角函數值化 簡求值，是一道綜合題13（4分）在ABC中，已知，則 ABC 的形狀是直角三角形考點： 分析：解答：三角函數恒等式的證明利用三角恒等變換公式將公式變形，轉化方向是變成簡單的三角方程求角的值，通過角的值來

14、確定 的形狀ABC證明： 在ABC 中，2cos21=0 cos（ A+B ） =0A+B=，即 C= ABC 是直角三角形 故應填直角三角形點評： 考查利用三角恒等變換的公式進行靈活變形的能力，用來訓練答題者掌握相關公式的熟練程度及選擇變形 方向的能力三、解答題（共 5 小題，滿分 0 分）14在 ABC 中，分別根據下列條件，判斷三角形的形狀（1）（B 為銳角）；文檔來源為 :從網絡收集整理 .word 版本可編輯 .歡迎下載支持 sinA=2cosCsinB ；A 、B、C 成等差數列， a， b，c 成等比數列 acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC ；

15、計算題；綜合題（a整理可得 ，從 而可得 a=b=c2 2 2 （5）先把已知整理可得， a2+b2 c2=ab，利用余弦定理可求 C，及 A+B ，再由 代入可求 2 2 2 2 2（6）由（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sin（A+B）可得 a2sin （A B ） sin（ A+B ）+b2sin（AB）+sin （A+B ）=0整理可得 sin2A=sin2B ，從而可得 解：（ 1）lgalgc=lgsinB= lgB為銳角， ，+b2）sin（AB）=（a2b2）sin（A+B ） 三角形的形狀判斷（1）先由對數的運算性質化簡，可得，從而可求 B，再利用正弦定理代入可求

16、A ，C（2）利用正弦、余弦定理化簡可得（3）A、B、C 成等差數列， A+C=2B ，從而可得 A+C=，B= ，由 a、b、c 成等比數列可得 b2=ac，結合已知及正弦定理可求（4）利用余弦定理可得由余弦定理可得由正弦定理可得，整理可得 cosC=0 ABC 為等腰直角三角形（ 2） sinA=2cosCsinB由正弦定理及余弦定理可得， a=b化簡可得， b=c所以 ABC 為等腰三角形，B=3）A、B、C成等差數列， A+C=2B ，從而可得 A+C=2a、b、c 成等比數列 b整理可得 a=b=c 三角形 ABC 為等邊三角形（5）由已知可得， a3+b3c3=ac2+bc2 c3

17、2 2 2 （a+b）（a2 ab+b2）=（a+b）c22 2 2a2+b2c2=ab由余弦定理可得， ， sinA ，整理可得，則 B=C=，三角形 ABC 為等邊三角形 22 2（6）（a2+b2）sin（A B）=（a2b2）sin（A+B ） 可得 a2sin（AB）sin（A+B ）+b2sin（AB）+sin（A+B）=0 22a sinBcosA=b sinAcosB=ac由正弦定理可得 sinA三角形 ABC 為等邊三角形整理可得，則 B=C=（4）acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC 由余弦定理可得整理可得15在 ABC 中，滿足試判斷 A

18、BC 的形狀考點 ： 三角函數中的恒等變換應用；弦切互化專題 ： 計算題45°，進而可得分析： 先對上式進行降冪化簡解出有一角為直角，將這個結論代入下式，進行恒等變形可求一角為 答案222解答： 解： sin （ 2sinBcosB ） =1 sin2B=1 2B=90 °，B=C=45 ° 故 ABC 是等腰直角三角形點評： 考查用三角恒等變換公式進行變形證明的能力，要求有較強的觀察總結能力及高超的組織材料的能力A+sin 2B+sin 2C=22=2 sin C，2 （ cos2A+cos2B ）=cos C，2 cos（ A+B ）cos（ A B ）=co

19、s C ABC ， cos（ A+B ）= cosC cos（ A B ）=cosC= cos （A+B ）cos（AB）=cos （A+B ） cos（ A B ）+cos（ A+B ） =0 2cosAcosB=0 cosA=0 或者 cosB=0 ，二者必有一為直角，22 4sin2Bsin 2C=1不妨令 A 為直角則有 cot2B+cot 2C=2，16在 ABC 中，已知試判斷 ABC 的形狀考點 ： 三角函數中的恒等變換應用分析： 切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根據兩外項之積等于兩內項之積，把分式化為整式，移項，逆 用兩角和的余弦公式，把腳 C 化為 A+B 用兩角和的余

20、弦公式展開，合并同類項，得到兩角余弦乘積為零， 則兩角中必有一個直角解答： 解：由已知得： ， sinAsinB+sinBsin （ C B ）=cosBcos（C B）， 移項，逆用兩角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC ， 在 ABC 中， cosC= cos（ A+B ）， sinAsinB= cos（ A+B ）， cosAcosB=0 ， cosA=0 或 cosB=0 ， ABC 是直角三角形進行簡單的三角函數式的化點評： 和三角形有關的三角恒等變形， 要求能用所有的公式特別是余弦的和差角公式 簡、求值及恒等式的證明17在銳角 ABC 中，已知，求證： A、 B、C 成等差數列考點：專題 ：分析：余弦定理的應用；弦切互化 證明題先根據正切函數的二倍角公式得到B 與 的關系，再由兩角和與差的正切公式化簡再將代入可得證解答：解： tanC=2tanB，所以 tanB=點評：所以