1、2.5 拉氏變換與反變換 機電控制工程所涉及的數學問題較多，經常要解算一些線性微分方程。按照一般方法解算比較麻煩，如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經典數學中的微積分運算轉化為代數運算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數學方法。2.5.1 拉普拉斯變換的定義 如果有一個以時間 為自變量的實變函數 ，它的定義域是 ，那么 的拉普拉斯變換定義為(2.10) 式中， 是復變數， （、均為實數）， 稱為拉普拉斯積分； 是函數 的拉普拉斯變換，它是一個復變函數，通常也稱 為 的象函數，而稱 為 的原函數；L是表示進行拉普拉斯變換的符號。 式（2.10）表明

2、：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件下，它能把一實數域中的實變函數變換為一個在復數域內與之等價的復變函數 。2.5.2 幾種典型函數的拉氏變換1.單位階躍函數 的拉氏變換單位階躍函數是機電控制中最常用的典型輸入信號之一，常以它作為評價系統性能的標準輸入，這一函數定義為單位階躍函數如圖2.7所示，它表示在 時刻突然作用于系統一個幅值為1的不變量。單位階躍函數的拉氏變換式為當 ，則 。所以 （2.11）圖2.7 單位階躍函數2.指數函數的拉氏變換指數函數也是控制理論中經常用到的函數，其中 是常數。令 則與求單位階躍函數同理，就可求得 （2.12）3.正弦函數與余弦函數的拉氏變換設，則由歐拉公式，

3、有所以(2.13）同理 (2.14）4.單位脈沖函數 (t) 的拉氏變換單位脈沖函數是在持續時間期間幅值為的矩形波。其幅值和作用時間的乘積等于1，即。如圖2.8所示。圖2.8 單位脈沖函數單位脈沖函數的數學表達式為其拉氏變換式為此處因為時，故積分限變為。(2.15) 5.單位速度函數的拉氏變換單位速度函數，又稱單位斜坡函數，其數學表達式為見圖2.9所示。圖2.9 單位速度函數單位速度函數的拉氏變換式為利用分部積分法令則所以當時，,則（2.16）6.單位加速度函數的拉氏變換單位加速度函數的數學表達式為如圖2.10所示圖2.10 單位加速度函數其拉氏變換式為（2.17）2.5.3 拉氏變換的主要定

4、理根據拉氏變換定義或查表能對一些標準的函數進行拉氏變換和反變換，但利用以下的定理，則對一般的函數可以使運算簡化。1.疊加定理拉氏變換也服從線性函數的齊次性和疊加性。（1）齊次性 設，則（2.18）式中常數。（2）疊加性 設,，則（2.19）兩者結合起來，就有這說明拉氏變換是線性變換。2.微分定理設則式中函數在 時刻的值，即初始值。 同樣，可得的各階導數的拉氏變換是（2.20）式中,，原函數各階導數在時刻的值。如果函數及其各階導數的初始值均為零（稱為零初始條件），則各階導數的拉氏變換為（2.21）3.復微分定理若 可以進行拉氏變換，則除了在 的極點以外，（2.22）式中， 。同樣有一般地，有（2

5、.23）4.積分定理設 ，則（2.24）式中積分 在 時刻的值。當初始條件為零時，（2.25）對多重積分是（2.26）當初始條件為零時，則（2.27）5.延遲定理設 ，且 時， ，則（2.28）函數為原函數沿時間軸延遲了，如圖2.11所示。圖2.11 函數6.位移定理在控制理論中，經常遇到 一類的函數，它的象函數只需把 用代替即可，這相當于在復數坐標中，有一位移。設，則（2.29）例如 的象函數，則的象函數為7.初值定理它表明原函數在 時的數值。（2.30）即原函數的初值等于 乘以象函數的終值。8.終值定理設，并且 存在，則（2.31）即原函數的終值等于乘以象函數的初值。 這一定理對于求瞬態響

6、應的穩態值是很有用的。9.卷積定理設，則有（2.32）即兩個原函數的卷積分的拉氏變換等于它們象函數的乘積。式（2.32）中， 為卷積分的數學表示，定義為10.時間比例尺的改變（2.33）式中 比例系數例如,的象函數 ,則 的象函數為11.拉氏變換的積分下限在某些情況下,在 處有一個脈沖函數。這時必須明確拉普拉斯積分的下限是 還是 ，因為對于這兩種下限， 的拉氏變換是不同的。為此，可采用如下符號予以區分：若在 處 包含一個脈沖函數，則因為在這種情況下顯然，如果 在處沒有脈沖函數，則有2.5.4 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換的公式為 （2.36）式中 表示拉普拉斯反變換的符號通常用部分分式展開法將

7、復雜函數展開成有理分式函數之和，然后由拉氏變換表一一查出對應的反變換函數，即得所求的原函數 。1.部分分式展開法在控制理論中，常遇到的象函數是的有理分式 為了將 寫成部分分式，首先將 的分母因式分解，則有式中， ， ， 是的根的負值，稱為的極點，按照這些根的性質，可分為以下幾種情況來研究。2. 的極點為各不相同的實數時的拉氏反變換 （2.37）式中， 是待定系數，它是 處的留數，其求法如下（2.38）再根據拉氏變換的迭加定理，求原函數例 2.1 求的原函數。解: 首先將 的分母因式分解，則有 即得 3.含有共軛復數極點時的拉氏反變換如果 有一對共軛復數極點 , ，其余極點均為各不相同的實數極點

8、。將 展成式中, 和 可按下式求解即（2.39）因為(或 ）是復數，故式（2.39）兩邊都應是復數，令等號兩邊的實部、虛部分別相等，得兩個方程式，聯立求解，即得， 兩個常數。例 2.2 已知,試求其部分分式。 解: 因為（2.40）含有一對共軛復數極點, 和一個極點 ，故可將式（2.40）因式分解成（2.41）以下求系數 、 和 。由式（2.40）和式（2.41）相等，有（2.42） 用乘以上式兩邊，并令，得到上式可進一步寫成由上式兩邊實部和虛部分別相等，可得聯立以上兩式，可求得為了求出系數,用乘方程（2.42）兩邊，并令,將 代入，得 <!endif> 將所求得的 , 值代入（2

9、.41），并整理后得的部分分式查拉氏變換表便得， 結果見式（3.16）。例 2.3 已知求。解: 將的分母因式分解，得利用方程兩邊實部、虛部分別相等得解得，所以這種形式再作適當變換：查拉氏變換表得4.中含有重極點的拉氏反變換 設有r個重根，則將上式展開成部分分式（2.43） 式中，的求法與單實數極點情況下相同。，的求法如下：則(2.44） 例 2.4 設 ，試求 的部分分式。 解: 已知（2.45）含有2個重極點，可將式（2.45）的分母因式分解得（2.46） 以下求系數、和。將所求得的、值代入式（2.46），即得的部分分式查拉氏變換表可得。例 2.5 求的拉氏反變換。 解: 將展開為部分分式

10、上式中各項系數為 于是查拉氏變換表，得5.用MATLAB展開部分分式(1) 概述MATLAB是美國Math Works公司的軟件產品，是一個高級的數值分析、處理與計算的軟件，其強大的矩陣運算能力和完美的圖形可視化功能，使得它成為國際控制界應用最廣的首選計算機工具。SIMULINK是基于模型化圖形的動態系統仿真軟件，是MATLAB的一個工具箱，它使系統分析進入一個嶄新的階段，它不需要過多地了解數值問題，而是側重于系統的建模、分析與設計。其良好的人機界面及周到的幫助功能使得它廣為科技界和工程界所采用。(2) 用MATLAB進行部分分式展開MATLAB有一個命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展開

11、式。 設s的有理分式為式中 （i=）和(j=）的某些值可能為零。在MATLAB的行向量中，num和den分別表示F(s)分子和分母的系數，即num=den=1 命令r,p,k=residue(num,den)MATLAB將按下式給出F(s)部分分式展開式中的留數、極點和余項： 上式與式（2.37）比較，顯然有p(1)=-p1，p(2)=-p2，p(n)=-pn；r(1)=A1,r(2)=A2，r(n)=An；k（s）是余項。例2.6 試求下列函數的部分分式展開式解：對此函數有num=1 11 39 52 26den= 1 10 35 50 24命令r,p,k=residue(num,den)于

12、是得到下列結果r,p,k=residue(num,den) r=1.00002.5000 -3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k= 1則得如果F(s)中含重極點，則部分分式展開式將包括下列諸項式中，p(j)為一個q重極點。例2.7 試將下列函數展開成部分分式解：對于該函數有num=0 1 4 6den =1 3 3 1命令r,p,k=residue(num,den)將得到如下結果：r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.00003.0000p=-1.0000-1.0000-1.0000k= 所以可得注意，本例的余項k為零。2.5.5 應用拉氏變換解線性微分方程應用拉氏變換解線性微分方程時，采用下列步驟：(1) 對線性微分方程中每一項進行拉氏變換，使微分方程變為 的代數方程；(2) 解代數方程，得到有關變量的拉氏變