1、教學重點教學過程教學總結第七章第七章 區間估計區間估計STATSTAT 一家食品消費企業以消費袋裝食品為主，每天的產量約為8000袋左右。按規定每袋的分量應不低于100克，否那么即為不合格。為對產量質量進展檢測，企業設有質量檢查科專門擔任質量檢驗，并經常向企業高層指點提交質檢報告。質檢的內容之一就是每袋分量能否符合要求。 由于產品的數量大，進展全面的檢驗是不能夠的，可行的方法是抽樣，然后用樣本數據估計平均每袋的分量。質檢科從某天消費的一批食品中隨機抽取了25袋，下表1是對每袋食品分量的檢驗結果。實際中的統計STAT 根據表1的數據，質檢科估計出該天消費的食品每袋的平均分量在101.38109.

2、34克之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超越4克。產品的合格率在96.07%73.93%之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超越16%。表1 25袋食品的分量克112.5102.6100.0116.6.8101.0107.5123.595.4102.8103.095.0102.097.8101.5102.010808101.6108.498.4100.5115.6102.2105.093.3STAT 質檢報告提交后，企業高層指點人提出幾點意見：一是抽取的樣本大小能否適宜？能不能用一個更大的樣本進展估計？二是能否將估計的誤差在減少一點？比如，估計平均分量時估計誤差不超越3克

3、，估計合格率時誤差不超越10%。三是總體平均分量的方差是多少？由于方差的大小闡明了消費過程的穩定性，過大或過小的方差都意味著應對消費過程進展調整。STATSTAT點估計的缺陷：不能反映估計的誤差和準確程度區間估計：利用樣本統計量和抽樣分布估計總體參數的能夠區間【例1】CJW公司是一家專營體育設備和附件的公司，為了監控公司的效力質量， CJW公司每月都要隨即的抽取一個顧客樣本進展調查以了解顧客的稱心分數。根據以往的調查，稱心分數的規范差穩定在20分左右。最近一次對100名顧客的抽樣顯示，稱心分數的樣本均值為82分，試建立總體稱心分數的區間。8.1.1抽樣誤差抽樣誤差：一個無偏估計與其對應的總體參

4、數之差的絕對值。抽樣誤差 = 實踐未知8.1總體均值的區間估計大樣本n30 xxSTAT要進展區間估計，關鍵是將抽樣誤差 求解。假設 知，那么區間可表示為： 此時，可以利用樣本均值的抽樣分布對抽樣誤差的大小進展描畫。 上例中，知，樣本容量n=100,總體規范差 ，根據中心極限定理可知，此時樣本均值服從均值為 ，規范差為 的正態分布。即：xxxxxx,20210020nx)2 ,82(2NxSTAT8.1.2抽樣誤差的概率表述抽樣誤差的概率表述 由概率論可知，由概率論可知， 服從規范正態分布，即，服從規范正態分布，即，有以下關系式成立：有以下關系式成立：普通稱，普通稱， 為置信度，可靠程度等，反

5、映估計結果的可信程度。假為置信度，可靠程度等，反映估計結果的可信程度。假設事先給定一個置信度，那么可根據規范正態分布找到其對應設事先給定一個置信度，那么可根據規范正態分布找到其對應的臨界值的臨界值 。進而計算抽樣誤差。進而計算抽樣誤差)2 ,82(2NxxxZ) 1 , 0( NZ1)(2ZxPx12ZxxZx2STAT假設，那么查規范正態分布表可得，抽樣誤差 此時抽樣誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的3.92的區間包含總體均值的概率是95%，或者說，樣本均值產生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。 常用的置信度還有90%，95.45%，99.73%，他們對應的臨界值分別為1.64

6、5，2和3，可以分別反映各自的估計區間所對應的準確程度和把握程度。%95196. 12Z92. 32*96. 196. 12xxxZSTAT8.1.3計算區間估計：計算區間估計： 在在CJW公司的例子中，樣本均值產生的抽樣誤差是公司的例子中，樣本均值產生的抽樣誤差是3.92或更或更小的概率是小的概率是0.95。因此，可以構建總體均值的區間為，。因此，可以構建總體均值的區間為，由于，從一個總體中抽取到的樣本具有隨機性，在一次偶爾的由于，從一個總體中抽取到的樣本具有隨機性，在一次偶爾的抽樣中，根據樣本均值計算所的區間并不總是可以包含總體均抽樣中，根據樣本均值計算所的區間并不總是可以包含總體均值，它

7、是與一定的概率相聯絡的。如以下圖所示：值，它是與一定的概率相聯絡的。如以下圖所示：92.85,08.7892. 382,92. 382,xxxx已知時的大樣本情況STATx 的抽樣分布2x95%x的所有 的值3.923.923x1x x2 13.92x 基于的 區間23.92x 基于的 區間33.92x基于的區間(該區間不包含 )圖1 根據選擇的在 、 、 位置的樣本均值建立的區間1x x2 3xSTAT 上圖中，有95%的樣本均值落在陰影部分，這個區域的樣本均值3.92的區間可以包含總體均值。 因此，總體均值的區間的含義為，我們有95%的把握以為，以樣本均值為中心的3.92的區間可以包含總體

8、均值。 通常，稱該區間為置信區間，其對應的置信程度為 置信區間的估計包含兩個部分：點估計和描畫估計準確度的正負值。也將正負值稱為誤差邊沿或極限誤差，反映樣本估計量與總體參數之間的最大誤差范圍。總結：1已知時的大樣本下的區間估計nZx2值。的為側尾部中所提供的面積為在標準正態分布的右）為置信系數；式中，（Z212ZSTAT8.1.4計算區間估計：計算區間估計： 在大多數的情況下，總體的規范差都是未知的。根據抽樣在大多數的情況下，總體的規范差都是未知的。根據抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的規范差分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的規范差s作為總體規作為總體規范差的點估計值，依然采用上述

9、區間估計的方法進展總體參數范差的點估計值，依然采用上述區間估計的方法進展總體參數的估計。的估計。未知時的大樣本下的區間估計nZx2值。的為側尾部中所提供的面積為在標準正態分布的右）為置信系數；式中，（Z212Z未知時的大樣本情況STAT【例2】 斯泰特懷特保險公司每年都需對人壽保險單進展審查，現公司抽取36個壽保人作為一個簡單隨即樣本，得到關于、投保人年齡、保費數量、保險單的現金值、殘廢補償選擇等工程的資料。為了便于研討，某位經理要求了解壽險投保人總體平均年齡的90%的區間估計。投保人投保人年齡年齡投保人投保人年齡年齡投保人投保人年齡年齡投保人投保人年齡年齡123456789325040243

10、34445484410111213141516171847313639464539384519202122232425262727435436344823364228 2930313233343536343934354253284939STAT上表是一個由36個投保人組成的簡單隨機樣本的年齡數據。現求總體的平均年齡的區間估計。分析：區間估計包括兩個部分點估計和誤差邊沿，只需分別求出即可到的總體的區間估計。解：知1樣本的平均年齡2誤差邊沿645. 1%901362Zn，（大樣本），5 .393636405032 nxxs2樣本標準差（未知）總體標準差nZxSTAT樣本規范差誤差邊沿390%的置信

11、區間為39.5 2.13 即37.37，41.63歲。 留意1置信系數普通在抽樣之前確定，根據樣本所建立的區間能包含總體參數的概率為2置信區間的長度準確度在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動，假設要提高估計準確度，可以擴展樣本容量來到達。77. 71)(2nxxs13. 23677. 7*645. 122nsZnZxSTAT8.2總體均值的區間估計：小樣本的情況在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣分布。我們討論總體服從正態分布的情況。t分布的圖形和規范正態分布的圖形類似，如以下圖示：)(30nstxx分布服從未知總體標準差服從正態分布已知總體標準差小樣本STAT0

12、規范正態分布t分布自在度為20t分布自在度為10圖2規范正態分布與t分布的比較STAT在分布中，對于給定的置信度，同樣可以經過查表找到其對應的臨界值，利用臨界值也可計算區間估計的誤差邊沿因此，總體均值的區間估計在總體規范差未知的小樣本情況下可采用下式進展：假定總體服從正態分布；2tnst2nsZx2值。的供的面積為分布的右側尾部中所提）的自由度為（為在為樣本的標準差；）為置信系數；式中，（t2t1-n12tsSTAT【例3】謝爾工業公司擬采用一項計算機輔助程序來培訓公司的維修援助掌握及其維修的操作，以減少培訓工人所需求的時間。為了評價這種培訓方法，消費經理需求對這種程序所需求的平均時間進展估計

13、。以下是利用新方對名職員進展培訓的培訓天數資料。根據上述資料建立置信度為的總體均值的區間估計。假定培訓時間總體服從正態分布。職員時間職員時間職員時間職員時間職員時間職員時間STAT解：依題意，總體服從正態分布，小樣本，此時總體方差未知。可用自在度為n-1=14的t分布進展總體均值的區間估計。樣本平均數樣本規范差誤差邊沿95%的置信區間為87.531563554452 nxx82. 61473.6511)(2nxxs78. 31582. 6*145. 22nstx53.87 3.78 即50.09，57.65天。STAT8.3確定樣本容量誤差邊沿其計算需求知假設我們選擇了置信度由此，得到計算必要

14、樣本容量的計算公式：nZx2。和樣本容量n,2Z2,1Z就可以確定2Zn在已知 和后，我們可以求出誤差邊際為任何數值時的樣本容量等于期望的誤差邊際。令E)(222222EZnEZnnZESTAT【例4】在以前的一項研討美國租賃汽車破費的研討中發現，租賃一輛中等大小的汽車，其破費范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天36美圓到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美圓不等，并且租金的規范差為9.65美圓。假定進展該項研討的組織想進展一項新的研討，以估計美國當前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設計該項新的研討時，工程主管指定對總體平均日租賃支出的估計誤差邊沿為2美圓，置信程度為95%。解：依題

15、意，可得將以上結果取下一個整數90即為必要的樣本容量。2,65. 9,96. 1%,9512EZ43.89265. 996. 1)(2222222EZnSTAT 闡明： 由于總體規范差 在大多數情況下 是未知的，可以有以下方法獲得 的值。1運用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本規范差；2抽取一個預備樣本進展實驗性研討。用實驗性樣本的規范差作為 的估計值。3運用對 值的判別或者“最好的猜測，例如，通常可用全距的作為 的近似值。STAT8.4總體比例的區間估計8.4.1區間估計 對總體比例 的區間估計在原理上與總體均值的區間估計一樣。同樣要利用樣本比例 的抽樣分布來進展估計。假設， 那么樣本比例近

16、似服從正態分布。同樣，抽樣誤差類似的，利用抽樣分布正態分布來計算抽樣誤差pp5)1 (, 5,30pnnpnppp222(1)ppppppZZZnn STAT上式中， 是正待估計的總體參數，其值普通是未知，通常簡單的用 替代 。即用樣本方差 替代總體方差 。那么， 誤差邊沿的計算公式為：ppp)1 (pp)1 (ppnppZp)1 (2的置信區間則為：1nppZp)1 (2值。的為側尾部中所提供的面積為在標準正態分布的右）為置信系數；式中，（Z212ZSTAT【例5】1997年菲瑞卡洛通訊公司對全國范圍每內的902名女子高爾夫球手進展了調查，以了解美國女子高爾夫球手對本人如何在場上被對待的看法

17、。調查發現，397名女子高爾夫球手對得到的球座開球次數感到稱心。試在95%的置信程度下估計總體比例的區間。分解：解：依題意知，1樣本比例2誤差邊沿誤差邊際點估計區間96. 1%9519022Zn，（大樣本），44. 0902397nmp0324. 090256. 044. 096. 1)1 (2nppZpSTAT 395%的置信區間0.44 0.0324 即0.4076，0.4724。 結論：在置信程度為95%時，一切女子高爾夫球手中有40.76%到47.24%的人對得到的球座開球數感到稱心。 8.4.2 確定樣本容量 在建立總體比例的區間估計時，確定樣本容量的原理與8.3節中運用的為估計總體

18、均值時確定樣本容量的原理相類似。22222(1)E(1)(1)()ppEZnppppnZnZEE令 等于期望的誤差邊際STAT【例6】在例中，該公司想在1997年結果的根底上進展一項新的調查，以重新估計女子高爾夫球手的總體中對得到的球座開球此數感到稱心的人數所占的比例。調查主管希望這項新的調查在誤差邊沿為0.025、置信程度為95%的條件下來進展，那么，樣本容量應該為多大？解：依題意，可得將以上結果取下一個整數1515即為必要的樣本容量。025. 0,44. 0,96. 1%,9512EpZ51.1514025. 056. 044. 096. 1)1 ()(22222EppZnSTAT 闡明：

19、闡明： 由于總體比例由于總體比例 在大多數情況下是未知的，在大多數情況下是未知的，可以有以下方法獲得可以有以下方法獲得 的值。的值。1 1運用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本比例；運用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本比例；2 2抽取一個預備樣本進展實驗性研討。用實驗性樣抽取一個預備樣本進展實驗性研討。用實驗性樣本的比例作為本的比例作為 的估計值。的估計值。3 3運用對運用對 值的判別或者值的判別或者“最好的猜測；最好的猜測；4 4假設上面的方法都不適用，采假設上面的方法都不適用，采用用 。0.5p ppppSTAT8.5其他抽樣方法下總方差的計算 在第六章中學習到，除簡單隨機抽樣方法外，在

20、現實中還可運用分層抽樣、整群抽樣、系統抽樣等抽樣方法，每一次抽樣都涉及到對總體參數的估計過程。 經過前面的知識，可知對總體參數的估計過程中比較關鍵的要素是計算總體方差。假設知總體方差，總體參數區間估計的過程與前面引見的方法一樣。STAT8.5.1分層抽樣分層抽樣在簡單隨機抽樣中，我們計算總方差是采用的公式是在簡單隨機抽樣中，我們計算總方差是采用的公式是在分層抽樣中，我們事先將總體按一定的標志進展分層，所構在分層抽樣中，我們事先將總體按一定的標志進展分層，所構成的數據實踐等同于組距式數列，在組距式數列中，總方差需成的數據實踐等同于組距式數列，在組距式數列中，總方差需求運用方差加法定理來計算。求運

21、用方差加法定理來計算。22()xxn222i方差加法定理：總方差組間方差平均組內方差STAT 這就是說，假設要計算總方差，那么需分別將組間方差和平均組內方差先計算出來。在分層抽樣下，能否真的需求由組間方差和平均組內方差相加來計算總方差呢？ 我們來調查一下分層抽樣的實施過程： 層間抽樣：在每一層抽取 全面調查 層間方差 層內抽樣：抽取部分樣本單位 抽樣調查 層內方差 我們說抽樣誤差是抽樣調查這種調查方式所特有的誤差，因此上述兩部分誤差中只需由于抽樣調查所構成的層內方差才是抽樣誤差的組成部分，而由于全面調查所構成的層間方差不是抽樣誤差的組成部分。STAT因此，22i總方差平均組內方差2222:n:

22、n :iiiiiiiNs nsNniN：總體單位數；N各層的總體單位數；樣本容量；各層的樣本單位數；當總體方差未知時，用相應的樣本方差替代。22ixZn 此時，誤差邊際【例7】某廠有甲、乙兩個車間消費保溫瓶，乙車間產量是甲車間的2倍。現按產量比例共抽查了60支，結果如下。試以95.45%的可靠程度推斷該廠消費的保溫瓶的平均保溫時間的能夠范圍。車間車間代碼代碼平均保溫時間平均保溫時間標準差標準差 s s甲甲乙乙1 12 22525（小時）（小時）2828（小時）（小時）1.21.2（小時）（小時）0 0.8.8（小時）（小時）)(276040282025小時nnxxii64. 0,44. 1,2

23、8,25,40,20:22212121ssxxnn解91. 0604064. 02044. 122nnssiii222220.12()0.24()iixsZZnn小時小時)24.27,76.26(),(xxxx【例8】某地一萬住戶，按城鄉比例抽取一千戶，進展彩電擁有量調查，結果如下。試以95.45%的概率推斷該地彩電擁有戶比率的范圍。14. 0100070085. 015. 03002 . 08 . 0)1 ()1 (nnppPPiii代碼代碼抽樣戶數抽樣戶數比重比重（% %）城城鄉鄉1 12 2300300(n(n1 1) )700700(n(n2 2) ) 8080)(1p1515)(2p%5