1、第1頁 共 34 頁第三章第三章 數系的擴充與復數的引入數系的擴充與復數的引入3.1 數系的擴充和復數的概念數系的擴充和復數的概念3.1.1 數系的擴充和復數的概念數系的擴充和復數的概念第2頁 共 34 頁自學導引自學導引 (學生用書學生用書p69)1.理解虛數單位的概念理解虛數單位的概念.2.理解復數及其有關的概念理解復數及其有關的概念.3.理解兩個復數相等的條件及其在解題中的應用理解兩個復數相等的條件及其在解題中的應用.第3頁 共 34 頁課前熱身課前熱身 (學生用書學生用書p69)1.復數的概念復數的概念(1)復數與復數集復數與復數集形如形如_的數叫做復數的數叫做復數,其中其中i叫做叫做

2、_,全體復數所成的集合叫做全體復數所成的集合叫做_,用字母用字母_表示表示. (2)復數的代數形式復數的代數形式復數通常用復數通常用z表示表示,z=_叫做復數的代數形式叫做復數的代數形式,其中其中a叫做復數叫做復數z的的_,b叫做復數叫做復數z的的_.a+bi(a,br)虛數單位虛數單位復數集復數集ca+bi(a,br)實部實部虛部虛部第4頁 共 34 頁2.復數的分類復數的分類(1)設設z=a+bi(a,br),當且僅當當且僅當_時時,z為實數為實數.當當_時時,z為虛數為虛數,當當_時時,z為純虛數為純虛數.b=0b0a=0且且b0第5頁 共 34 頁(2)復數集內的包含關系復數集內的包含

3、關系第6頁 共 34 頁 3.復數相等的充要條件復數相等的充要條件a+bi=c+di(a、b、c、dr)的充要條件是的充要條件是_且且_.a=cb=d 第7頁 共 34 頁名師講解名師講解 (學生用書學生用書p69) 1.數系的擴充數系的擴充(1)為了解決方程為了解決方程x2+1=0在實數集內無解的問題在實數集內無解的問題,人們引進了人們引進了一個新數一個新數i,叫做虛數單位叫做虛數單位,并且規定并且規定i2=-1,這樣方程這樣方程x2+1=0,就有解為就有解為x=i.(2)規定規定i與實數可以進行四則運算與實數可以進行四則運算,在進行四則運算時在進行四則運算時,原有的原有的加加 乘運算律仍然

4、成立乘運算律仍然成立.這樣運算的結果就產生了形如這樣運算的結果就產生了形如a+bi(a,br)的新數的新數,人們把它叫做復數人們把它叫做復數.第8頁 共 34 頁 (3)數集擴充后有數集擴充后有第9頁 共 34 頁2.復數的代數形式復數的代數形式復數復數a+bi(a,br)中應注意以下幾點中應注意以下幾點:(1)a,br必須注明必須注明,否則不是代數形式否則不是代數形式. (2)z是實數是實數b=0.(3)z為純虛數為純虛數z=bi(b0,br).(4)z為虛數為虛數z=a+bi(b0,br).(5)z為復數為復數z=a+bi(a,br).第10頁 共 34 頁3.兩個復數相等的充要條件兩個復

5、數相等的充要條件若若z1=a+bi,z2=c+di(a b c dr)則則z1=z2c=a且且b=d.利用這一結論利用這一結論,可以把復數問題轉化為實數進行解決可以把復數問題轉化為實數進行解決,并且一并且一個復數等式可以轉化為兩個實數等式個復數等式可以轉化為兩個實數等式,通過解方程組得到通過解方程組得到解決解決.4.兩個虛數不能比較大小兩個虛數不能比較大小兩個復數除都是實數外兩個復數除都是實數外,不能比較大小不能比較大小,只有相等關系只有相等關系.第11頁 共 34 頁典例剖析典例剖析 (學生用書學生用書p70)題型一題型一 復數的概念復數的概念例例1:判斷下列命題的真假判斷下列命題的真假.(

6、1)兩個復數不能比較大小兩個復數不能比較大小;(2)若若x,yc,則則x+yi=1+2i的充要條件是的充要條件是x=1,y=2;(3)若實數若實數a與與ai對應對應,則實數集與純虛數集一一對應則實數集與純虛數集一一對應;(4)實數集的補集是虛數集實數集的補集是虛數集.第12頁 共 34 頁解析解析:(1)中當兩個復數都是實數時中當兩個復數都是實數時,可以比較大小可以比較大小,所以所以(1)為假為假命題命題.(2)由于由于x,y都是復數都是復數,故故x+yi不一定是代數形式不一定是代數形式,因此不符合兩因此不符合兩個復數相等的充要條件個復數相等的充要條件,故故(2)是假命題是假命題.(3)當當a

7、=0時時,ai=0為實數為實數,故故(3)為假命題為假命題.(4)由復數集的分類知由復數集的分類知,(4)正確正確.規律技巧規律技巧:判斷一個假命題判斷一個假命題,只要舉一個反例即可只要舉一個反例即可,所以解答這所以解答這類型題時類型題時,可按照可按照“先特殊先特殊,后一般后一般,先否定先否定,后肯定后肯定”的方法的方法進行解答進行解答.第13頁 共 34 頁變式訓練變式訓練1:下列命題中下列命題中:若若ar,則則(a+1)i是純虛數是純虛數;若若a,br,且且ab,則則a+ib+i;若若(x2-1)+(x2+3x+2)i是純虛數是純虛數,則實數則實數x=1;兩個虛數不能比較大小兩個虛數不能比

8、較大小.其中其中,正確命題的序號是正確命題的序號是( )a. b.c. d.第14頁 共 34 頁解析解析:對于復數對于復數a+bi(a,br),當當a=0,b0時為純虛數時為純虛數.在在中中,a=-1,則則(a+1)i不是純虛數不是純虛數,故故錯錯;在在中中,兩個虛數不能比較大小兩個虛數不能比較大小,故故錯錯;在在中中,x=-1,不成立不成立,故故錯錯;正確正確.答案答案:d第15頁 共 34 頁題型二題型二 利用復數的概念解題利用復數的概念解題例例2:設設mr,復數復數z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i).(1)若若z為實數為實數,則則m=_;(2)若若z為純虛數為純虛數,則則

9、m=_.1或或2 12分析分析:先把復數先把復數z寫成代數形式寫成代數形式,根據根據a+bi(a,br)是實數是實數,是純是純虛數的充要條件解之虛數的充要條件解之.第16頁 共 34 頁解解:(1)z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i由題意由題意m2-3m+2=0解得解得m=1或或m=2. 2223203201.22mmmmm 依題意解得第17頁 共 34 頁 222:x,6(211; 2; 3.5)3xxzxxix變式訓練實數 分別取什么值時 復數是實數虛數純虛數 222230,2150,30,2150,60,3: 1z,5. 2z,x

10、3x5.3z,x321520,x.xxxxxxxxxxx 解要使 是實數 必須且只須解得x要使 為虛數 必須且只須解得且要使 為純虛數 必須且只須解得或第18頁 共 34 頁題型三題型三 復數相等的充要條件的應用復數相等的充要條件的應用例例3:若實數若實數x y滿足滿足(1+i)x+(1-i)y=2,求求x y的值的值.分析分析:由實部由實部 虛部分別對應相等虛部分別對應相等,列出關于列出關于x、y的方程組的方程組,解解方程組得解方程組得解. :1 i x1 i y2xyxy i2,x1,y1.2,1,0,1.xyxxyy解 由得依復數相等的充要條件有解得實數第19頁 共 34 頁規律技巧規律

11、技巧:本題的解題關鍵是兩個復數相等的充要條件本題的解題關鍵是兩個復數相等的充要條件,要注要注意等號兩邊均為代數形式意等號兩邊均為代數形式,同時體現了復數問題實數化的同時體現了復數問題實數化的思想思想,特別地特別地:a+bi=0(a,br),則則a=b=0.第20頁 共 34 頁變式訓練變式訓練3:已知實數已知實數a,x,y滿足滿足a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,則點則點(x,y)的軌跡方程是的軌跡方程是_.2222222:,a,xy2x2y0,x1y.010,2.aaxyaxy解析 由復數相等的充要條件知消去得即答案答案:(x-1)2+(y+1)2=2第21頁 共 34 頁 4:xy

12、x3 ix,y.32,a bxyiadbccdyi例定義運算如果求實數的值分析分析:理解運算的定義理解運算的定義,利用運算的定義轉化為兩個復數相等利用運算的定義轉化為兩個復數相等求解求解.第22頁 共 34 頁 :,xyx3 i3x2yyi,x,y,x1,y2.32(32 ),132 ,1,3.2.xy ixyyiyxyxyxxyy 解 由運算的定義知為實數由復數相等得解得第23頁 共 34 頁(21)(3) ,(2)(4:x,y,a b8,.4)9xiyy ixayxyb ii 變式訓練已知關于的方程組有實數解 求實數的值21,1(3),29,(4):a18.5,24,b2.xyyxayxy

13、bxy 解 由已知及復數相等的條件得由解得代入得第24頁 共 34 頁技能演練技能演練(學生用書學生用書p71)基礎強化基礎強化1.設設c=復數復數 a=實數實數 b=純虛數純虛數,全集全集u=c,那么下列那么下列結論正確的是結論正確的是( )a.ab=c b.ua=bc.aub= d.bub=c答案答案:d第25頁 共 34 頁2.已知復數已知復數z=a+bi(a,br),則則zr的充要條件是的充要條件是( )a.a+bi=a-bi b.a+bi=-a+bic.ab=0 d.a=b=0答案答案:a第26頁 共 34 頁3.若若(x2-x)+(x-1)i是純虛數是純虛數,則實數則實數x的值為的

14、值為( )a.1或或0 b.1c.0 d.以上都不對以上都不對答案答案:c第27頁 共 34 頁4.如果如果(x+y)i=x-1,則實數則實數x,y的值為的值為( )a.x=1,y=-1 b.x=0,y=-1c.x=1,y=0 d.x=0,y=0答案答案:a第28頁 共 34 頁5.()( 31). 3.1. 1.0iabcd的實部是答案答案:d6.若若x,yr,且且z=x+yi是虛數是虛數,則有則有( )a.x=0,yr b.x0,yrc.xr,y=0 d.xr,y0答案答案:d第29頁 共 34 頁7.下列命題下列命題:ab=0,則則a=0或或b=0;a2+b2=0,則則a=0且且b=0;

15、z=a+bi(a,br),z為純虛數的充要條件是為純虛數的充要條件是a=0;z=a+bi(a,br),若若z0,則則a0,b=0.其中正確命題的序號是其中正確命題的序號是_.答案答案:第30頁 共 34 頁8.復數復數4-3a-a2i與復數與復數a2+4ai相等相等,則實數則實數a的值為的值為_.2222:43aa ia4ai434 ,a,4.aaaa 解析 由得解得答案答案:-4第31頁 共 34 頁能力提升能力提升9.若若log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)為純虛數為純虛數,求實數求實數m的值的值.2222(33)0,(2)0,331,20,21,:m4.logmmlogmmmmm解 由題意得解得第32頁 共 34 頁10.求適合方程求適合方程xy-(x2+y2)i=2-5i的實數的實數x,y的值的值.222,5,1122,22:11.xyxyxxxxyyyy 解 由復數相等的充要條件得解得或或或第33頁 共 34 頁11.已知關于已