1、§2一個正態總體的假設檢驗一.已知方差4,檢驗假設：乩:4 =（1）提出原假設： =（。是已知數）“ 又一U 二（2）選擇統計量：戶V n（3）求出在假設“成立的條件下，確定該統計量服從的概率分布:U N（O,1）（4）選擇檢驗水平0,查正態分布表（附表1）,得臨界值'_a ,即2>匕）=£（5）根據樣本值計算統計量的觀察值應，給出拒絕或接受H。的判斷:>a時，則拒絕H。；9 a時，則接受H。. 12【例1】 某廠生產干電他，根據長期的資料知道，干電他的壽命服從正態分布，且標準差小時,規定要求平均壽命（即均 值%=200小時.今對一批產品抽杳了 10個樣

2、品.測得壽命的數 據如下（小時）:201 208 212 197 205 209 194 207 199 206問這批干電池的平均壽命是否是200小時？解:H q ； 200如果這個假設成立，那么XN（2OO,52>.考慮統計量rr N - 200已知u = x £0 Ar（oa）. 5/Z10于是X - 2005/1S現取a = 0.05 ,查得 o,5 = L 96.即P(%-2005/Vio>1.96) = 0.05對于所給的樣本值，計算得到五=203. 8,立 一 2005/To=2. 40 > 1. 96.因而，拒絕原假設，即這批干電他的平均壽命不是200

3、小時.【例2】P.191 例2.1 (a = 0.05, o.oi)P.193例2.2二,未知方差4,檢驗假設：。：二。：(1)提出原假設：。：4 = 4。(4。是已知數)t 又一兒(2)選擇統計量：T= 層y n(3)求出在假設乩成立的條件下，確定該統計量服從的概率分布:T K- 1)(4)選擇檢驗水平a,查自由度為一1的，一分布表(附表2),得臨(5)根據樣本值計算統計量的觀察值且給出拒絕或接受H。的判斷:當| ” 彳時，則拒絕IL；當L <4時，則接受H0.【例2】某糖廠用自動打包機包裝糖，每包重量服從正態分布，其標準重量4=100斤.某日開工后測得9包重量如下：993, 98.7

4、, 100.5, 101.2, 983, 99.7, 99.5, 102,1, 100.5,問：這一天打包機的工作是否正常?(檢驗水平。=5%)解：(0)計算樣本均值與樣本均方差：i 二：二 99.978,i = Ias' = ”>(羽-5)2 = 1.469,4 = 15 = 1.21(1)提出原假設：H。： =10°(2)選擇統計量:(3)求出在假設成立的條件下，確定該統計量服從的概率分布：T r(8)(4)檢驗水平a=0.05,查自由度為8的r分布表(附表2),得臨界值A = 2.36 ,即P( 20 >2.36) = 0.05(5)根據樣本值計算統計量的觀

5、察值，。=幽需期/百=-。.。55.t = 0.055 < 2.36 o故接受原假設，即所打包機重量的總體的平均重量仍為100斤，也就是說打包機工作正常.【例31用一儀器間接測量溫度5次1250, 1265, 1245, 1260, 1275（C）.而用另一種精密儀器測得該溫度為1277c（可看作真值），問用此儀器測溫度有無系統偏差（測量的溫度服從正態分布）？（參看P.187例1.2）解取以二1277.取統計量貝ijT f（4）, 自由度=1 = 5 1 = 4,取。= 0.05,查表九族4）=2776.計算得到£ = 125%夕=卒.于是T =125912777570/(4X

6、5)=3.37>2.776.從而否定認為四*4277,即該儀器測溫度有系統誤差O【例】P.200例2.3關于單側假設檢險和共仍取統計量T =X一也S/M7可類似地推導出否定域.這里不再詳述，僅舉一個例子【例4】某廠生產銀合金線，其抗拉強度的均值為10620公斤.今改進工藝后生產 批銀合金線，抽取10根，測得抗拉強度（公斤）為：10512 10623 10668 10554 1077610707 10557 10581 10666 10670認為抗拉強度服從正態分布，取。=。5,問新生產的銀合金線的抗拉強度是否 比過去生產的合金線抗拉強度要高？解： H, < 10620, 即抗拉強度

7、沒有提高.取統計量6 又一 10620當區成立時，可推得PT>£小故否定域為，其中Q =0.05.查表，5qo(9)= 1833由樣本值算得¥ = 10631, 5 = 81 ,于是所以接受為,即認為抗拉強度沒有明顯提高.三.未知期望，檢驗假設：H, : ct2 =b;：(1)提出原假設：H. ： b2 =o? (bj是己知數)2 (D 52(2)選擇統計量： Z 二”一O(3)求出在假設”成立的條件下，確定該統計量服從的概率分布：z2 ，2(拉1)，自由度為n-1A(4)選擇檢驗水平。，查自由度為-1的/T 一分布表(附表3),得臨界值4二力1_2，4=73 ,22

8、使得p(%2<4)= ; ，p(/>4)= :2(5)根據樣本值計算統計量的觀察值力。,給出拒絕或接受H。的判斷:當%2 « 4或之4時，則拒絕H。；【例】P. 202例2.4【例5】用過去的鑄造戰所造的零件的強度平均值是52. 8克重/毫米2,標準差是1. 6 克重/毫米、為了降低成本，改變了鑄造方法，抽取了 9個樣品，測其強度(克重/ 毫米2)為：51. 9, 53. 0, 52. 7, 54. 7, 53. 2, 52. 3, 52. 5, 51. 1, 54. 1. 假設強度服從正態分布，試判斷是否沒有改變強度的均值和標準差.解 我們先判斷七.6?”是否成立,然后

9、再判斷”=528” 是否成立.(1)原假設：H : / =L6?) 9 S2(2)取統計量：Z2 = 丁尸(3)假設比成立的條件下，Z2 彳2(8)，自由度為8(4)取檢驗水平。=005,查自由度為8的-分布表(附表3), 得臨界值4 =2.18, 4=17.54,使得2 (5)根據樣本值計算統計量的觀察值;L ：8s2 -9 54 / 2 - " - 3 728s - 9.54, 乂 .工2 一 162一3.72'由于218V3.72V17.54,故接受即認為a2=1.62在上述判斷的基礎上，可以認為已知b? =162 ,于是檢驗口=528.取統計量U = F-刀弓廠.仍取

10、G =0.05,查表%.05= 1,96.否定域為由樣本值9計算得到亍工5277, 0= 52；溫"8 二一。士6.因為舊1=006<1.96,未落入否定域，故也接受HZ,即認為白=528綜上所述，我們可以認為改變鑄造方法后，零件強度的均值和標準差沒有顯著變 化.注意，如果在1)中的結論是認為爐主1.6。則在2中。2是未知的,從而，應選擇統計量T =%一，利用£分布來進行撿險.四.未知期望，檢驗假設：乩:a2 < o- 2 :(1)提出原假設：乩:er2(。2是已知數)2(A7-1) 52(2)選擇統計量：Z = 一O(3)求出在假設”成立的條件下，確定該統計量

11、服從的概率分布：Z2 ，2(-1)，自由度為一1,且有(n l)S2 <51)夕所以因此叁口上媛G 1)蘊涵上袈且O娼5- D .D( ( 1)S)1 n ( ( 1)S-9 z 1、1P 51)< P-5 >%(-1)=。b(4)選擇檢驗水平二，查自由度為一1的72一分布表(附表3),得臨界值 2 = %、( 1),”,(/? -1)S2.)使得 2 >% =a,0(5)根據樣本值計算統計量的觀察值/，且當力;>2 時，則拒絕H。；當力：K幾時，貝IJ接受H。.【例6】某種導線，要求其電阻的標準差不得超過0.005Q.今在生產的一批導線中取樣品9根，測得S=0.007Q問在顯著 水平。=0.05條件下，能認為這批導線的方差顯著地偏大嗎？解此時均值未知，檢驗兒：。24(0.005y.取統計量(9-DS1杳表猊。式8)二】5,5,= 15.68 > 15,52 _ (9-l)xO.OO72XO.OO52-所以能認為這批導線的方差顯著地偏大. 五,小結：單個正態總體均值和方酸的假設檢驗原假2統計 S繚計取 分 布否定鼓1節知爐%: "%口" nN(0,1)U>Ua：戶 44U > U"GU < - &