1、第二講 圓冪定理-作者xxxx-日期xxxx【精品文檔】【精品文檔】第三講第三講 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系1、知識(shí)掃描知識(shí)掃描（一一）、直線與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑為，圓心到直線 的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：OrOld（二二）、切線的性質(zhì)及判定、切線的性質(zhì)及判定1、切線的性質(zhì)、切線的性質(zhì)（1） 定理：定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑推論推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)推論推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心（2 2） 注意：注意：這個(gè)定理共有三個(gè)條件，即一條直線滿足：垂直于切線垂直于切線過切點(diǎn)過切點(diǎn)過過圓心圓心過圓心，過切點(diǎn)垂直于切線

2、過圓心，過切點(diǎn)，則ABABMABl過圓心，垂直于切線過切點(diǎn)過圓心，則過切點(diǎn)ABABlABM過切點(diǎn)，垂直于切線過圓心，過切點(diǎn)，則過圓心ABlABMAB2、切線的判定、切線的判定（1） 定義法：定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；（2） 距離法：距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；（3） 定理：定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線注意：注意：定理的題設(shè)是“經(jīng)過半徑外端”，“垂直于半徑”，兩個(gè)條件缺一不可；定理的結(jié)論是“直線是圓的切線”因此，證明一條直線是圓的切線有兩個(gè)思路：連接半徑，證直線與此連接半徑，證直線與此半徑垂直；半徑垂直；作垂直，證作垂直，證垂直在圓上垂

3、直在圓上OOOAAAlllMBOlA【精品文檔】【精品文檔】3、切線長和切線長定理、切線長和切線長定理（1） 切線長：切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長（2） 切線長定理：切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角2、考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)題型考點(diǎn)題型1、直線與圓位置關(guān)系的確定直線與圓位置關(guān)系的確定例例1、在中，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓Rt ABC90C12cmAC 16cmBC Cr和有怎樣的位置關(guān)系？為什么？AB1；9cmr 10cmr 9.6cmr 例例2、如圖，已知是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為

4、1的圓，點(diǎn)在數(shù)OO45AOBP軸上運(yùn)動(dòng)，若過點(diǎn)且與平行的直線與有公共點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是POAOOPxxAB0 x22x2C11Dxx2PBOA例例3、如下左圖，在直角梯形中，且，是ABCDADBC90C ABADBCAB的直徑，則直線與的位置關(guān)系為( )OCDOA相離B相切 C相交 D無法確定【精品文檔】【精品文檔】OBCDA鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，BCODDOADBADA，那么直線與以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的位置關(guān)系是 10BC 4AD CEO52考點(diǎn)題型考點(diǎn)題型2、切線的性質(zhì)與判斷、切線的性質(zhì)與判斷例例4、（1）如圖，中，以上一點(diǎn)為圓心作R

5、t ABC9043CACBC，BCO與相切，又與的另一交點(diǎn)為，則線段的長為_OABAC、OBCDBD（2）是圓的直徑，是它的弦，過作圓的切線，過作交于ABBCCCDBBECDCDE，求證：ABCEBC AOBCDE例例5、已知：如圖，在中，以為直徑的半圓與邊相交于點(diǎn)，ABCABACBCOABD【精品文檔】【精品文檔】切線，垂足為點(diǎn)求證：（1）是等邊三角形；（2）DEACEABC13AECEEACOB鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：在中，是邊上一點(diǎn)，以為直徑的與邊相切于Rt ABC90ACBDABBDOAC點(diǎn)，連結(jié)并延長，與的延長線交于點(diǎn)EDEBCF（1）求證：；BDBF（2）若，求的面積64BCAD，OO

6、FEDCBA例例6、（、（1）如圖，為等腰三角形，是底邊的中點(diǎn)，與ABCABACOBCO腰相切于點(diǎn)，求證與相切ABDACO（2）已知：如圖，內(nèi)接于，是過的一條射線，且ABCOADABCAD 求證：是的切線ADO【精品文檔】【精品文檔】（3）如下圖所示，以的直角邊為直徑作半圓，交斜邊于，Rt ABCBCOD交于，求證：是的切線；OEACABEDEO（4）如圖，已知AB為O的弦，C為O上一點(diǎn)，C=BAD，且BDAB于B求證：AD是O的切線若O的半徑為3，AB=4，求AD的長ABCDO鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：1、如圖所示在中，的平分線交于，為上一點(diǎn)Rt ABC90BABCDEAB，以為圓心，以的長為半徑

7、畫圓求證：（1）是的切DEDCDDBACD線；（2）ABEBAC2、如圖，是的直徑，點(diǎn)在圓上，于在延長線上，ABOCCDABDPBA且求證：是的切線PCAACD PCOODCBAP3、如圖，是的外接圓，點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，切于ORt ABC90ABCPPAO點(diǎn)，且APAPB（1）求證：是的切線PBO（2）已知，求的半徑31PABC，O【精品文檔】【精品文檔】考點(diǎn)題型考點(diǎn)題型3、切線長定理、切線長定理例例7、（1）如圖，已知以直角梯形的腰為直徑的半圓與梯形ABCDCDO上底、下底以及腰均相切，切點(diǎn)分別是若半圓ADBCABDCE，O的半徑為，梯形的腰為，則該梯形的周長是_2AB5（2）如圖，分別切于，若

8、，周長為，求PAPBDE、OABC、10PO PDE16O的半徑（3）如圖，是的內(nèi)切圓，是切點(diǎn)，OABCDEF，又直線切于，交于，則18cm20cm12cmABBCAC，MNOGABAC、MN的周長為_BMN鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：1、等腰梯形外切于圓，且中位線的長為，那么這個(gè)等腰梯形的周長是_ABCDMN10_2、如圖，切于，切于，交于兩點(diǎn)，已知PAPB，OAB，MNOCPAPB，MN，求的周長8PA PMN【精品文檔】【精品文檔】例例8、（、（1）如圖，以正方形的邊為直徑作半圓, ABCDBCO過點(diǎn)作直線切半圓于點(diǎn), 交邊于點(diǎn). DFABE則三角形和直角梯形周長之比為_ADEEBCD（2）梯形

9、中，是上一點(diǎn)，以為圓心的半圓與都ABCD/ /,ABCD OABO,AD CD BC相切。已知，求的長。6,4ADBCAB例例9、（、（1）如圖, 是直徑, 于,交于,切于,交ABOCBABBACODDEOD于.求證 BECE; BCE214DECD CA【精品文檔】【精品文檔】（2）（2012岳陽）如圖，為半圓的直徑，分別切O于兩點(diǎn)，ABO,AD BC,A BCD切O于點(diǎn)與相交于與相交于，連接，對(duì)于下列結(jié)論：,E ADCD,D BCCDC,OD OC；2ODDE CDADBCCDODOC12ABCDSCD OA梯形，其中正確的是_90DOC綜合提升綜合提升例例10、如圖，為的直徑，是的中點(diǎn)，

10、交的延長線于，的ABODBCDEACACEO切線交的延長線于點(diǎn)BFADF（1）求證：是的切線；DEO（2）若，的半徑為，求的長3DE O5BFOCDFABE【精品文檔】【精品文檔】例例11、已知，如圖在矩形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，以長為半徑的圓與ABCDOACOAO分別交于點(diǎn)，ADAC、EF、ACBDCE （1）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；CEO（2）若，求的半徑2tan22ACBBC，O例例12、已知：在中，是直徑，是弦，于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使OABACOEACECFC，交的延長線于點(diǎn)FCAAOE ABD（1）求證：是的切線；FDO（2）設(shè)與相交于點(diǎn)，若，求半徑的長；OCBEG2OG O（

11、3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求圖中陰影部分的面積3OE 例例1313、如圖，已知是的直徑，點(diǎn)在上，過點(diǎn)的直線與的延長線交于ABOCOCAB點(diǎn)，PACPC2COBPCB （1）求證：是的切線；PCO（2）求證：；12BCAB（3）點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求的值MABCMABN4AB MC【精品文檔】【精品文檔】對(duì)應(yīng)練習(xí)：對(duì)應(yīng)練習(xí)：1、如圖，已知是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以為圓心、長為半徑的與OABCDOOAOBC相切于，與、分別相交于、MABADEF（1）求證：與相切CDO（2）若正方形的邊長為 ，求的半徑ABCD1O2、如圖，是的的直徑，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，弦ABOBCABBOCOEADOC，弦于

12、點(diǎn)DFABG（1）求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；EBD（2）求證：是的切線；CDO（3）若，的半徑為，求的長4sin5BADO5DF3、如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，過作的垂線交于ABO30BACMOAMABAC點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，且NBCECFENFECFE （1）證明是的切線；CFO（2）設(shè)的半徑為 ，且，求的長O1ACCEMO【精品文檔】【精品文檔】第四講第四講 圓冪定理圓冪定理一、知識(shí)掃描一、知識(shí)掃描1、弦切角定理弦切角定理定義：定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。如圖，PA是O的切線，A是切點(diǎn)，AB是弦，則

13、PABACB。 證明：證明：2、相交弦定理相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。 即：PA PBPC PD證明：證明：【精品文檔】【精品文檔】3、切割線定理：切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。4、割線定理：割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。如圖，PT是O的切線，T是切點(diǎn)，PAB、PCD是割線，則PT2PAPB，PAPBPCPD。 證明：證明：小結(jié)：（圓冪定理）小結(jié)：（圓冪定理）過圓所在平面內(nèi)任一點(diǎn)作直線，與圓交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)與圓上兩點(diǎn)的距離之乘積等于點(diǎn)心距過圓所在平面內(nèi)

14、任一點(diǎn)作直線，與圓交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)與圓上兩點(diǎn)的距離之乘積等于點(diǎn)心距與半徑的平方差的絕對(duì)值與半徑的平方差的絕對(duì)值. .即即 22AP BPOPR( (因因叫做叫做點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)對(duì)于O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理) ) 22OPRP二、方法技能平臺(tái)二、方法技能平臺(tái)例例1 1、（1）已知：如圖 ，、切于兩點(diǎn)，為直徑，則圖中與相等的角的個(gè)數(shù)為 PAPBO,A BACPAB（2）已知：如圖，直線切于點(diǎn)，那么 BCOBABACADBDA（3）如圖，為直徑，切于點(diǎn)，為垂足，ABOCEOCABCD D，則_;_.3012BcmAB，ECBCD（4）已知：如圖，三角形的ABC90

15、C，內(nèi)切圓與的三邊分別切于，三點(diǎn)，那么 OABCDEF56DEFB【精品文檔】【精品文檔】對(duì)應(yīng)練習(xí)對(duì)應(yīng)練習(xí)： ：如圖，內(nèi)接于O，BC是直徑，B35，MN是過A點(diǎn)的切線，則C_，CAABCM 。例例2、(1)如圖，已知AB是O的直徑，直線MN切O于點(diǎn)C，ADMN于D，AD交O于E，AB的延長線交MN于點(diǎn)P，求證：。2ACAE AP(2)已知：內(nèi)接于O， ABCAE切O于A，BD平分ABC交O于D，交AE于E，DFAE于F，求證：;ABAEADDE.2ACAF【精品文檔】【精品文檔】(3)如圖，、切于、，為割線。求證：PAPCOACPDBAD BCCD AB 拔高訓(xùn)習(xí)：拔高訓(xùn)習(xí)：如圖，為圓的切線，

16、為切點(diǎn)，為割線，的平分線交于點(diǎn)，PAAPBCAPCPFABE交于點(diǎn)ACF求證：（1）；（2）；（3）若是上AEAFAB AFAC BE:1:2,PB PAMBC的點(diǎn)，交于，且，試確定點(diǎn)在上的位置，并證明你的結(jié)論AMBCDPDDCMBC例例3、 、（1）如圖，O的弦AB與CD相交于點(diǎn)P，PA3cm，PB4cm，PC2cm，那么PD_cm。（2）如圖，在O中，弦AB與半徑OC相交于點(diǎn)M，且OMMC，若AM1.5，BM4，則OC的長為_。【精品文檔】【精品文檔】如圖，在O中，P為弦AB上一點(diǎn)，POPC，PC交O于C，那么( )A B C D2OPPA PB2PCPA PB2PAPB PC2PBPA

17、PC（4）如圖，在直徑為的半圓上有兩動(dòng)點(diǎn)，弦相交于點(diǎn)，則6AB,M N,AM BNP AP AMBP BN例例4、 、如圖，和是的半徑，并且是上任一點(diǎn)，的延長線交OAOBO,OAOB POABP于點(diǎn)，過點(diǎn)的的切線交延長線于點(diǎn)OQQOOAR（）求證：；RPRQ（）若，試求的長1OPPAPQ對(duì)應(yīng)練習(xí)對(duì)應(yīng)練習(xí)： ：如圖，內(nèi)接于O，的延長線與過點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)與相交ABCABCGC,D BEAC于點(diǎn)，且FCBCE求證：（1）； （2）/ /BEDG22CBCFBF FE【精品文檔】【精品文檔】例例5、（1）如圖，點(diǎn)是O的直徑延長線上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，PBAPCOC，垂足為，連接，那么下列結(jié)論中：ABCD DOCBCAC、；2PCPA PBPO OCPC CD2OAOD OP正確的有_ （2）已知如圖，的內(nèi)接四邊形，、的延長線交于點(diǎn)，切OABCDADBCPPTO于點(diǎn)，則_;_.T946ADPCPT，BCABCD（3）如圖，兩圓相交于C、D，AB為公切線，AB12，CD9，則MD_.例例6、如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為E，P是BA延長線上的點(diǎn)，連結(jié)PC交O于F，如果PF7，F(xiàn)C13，且PAAEEB241，那么CD的長是_。例例7、如圖，AC是O的直徑，OB