1、 . 勾股定理的證明方法 一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1） 左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直 角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為 的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩 個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式 ，化簡得。 二、美國第20任總統茄菲爾德的證法（圖3） 這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直 角邊為 的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所 以可以列出等式，化簡得。 三、相似三角形的證法： 4.相似三角形的方法：在學習了相似三

2、角形以后，我們知道在直角三角 形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個三直角角形與原三A 角形相似。 如圖，RtABC中，ACB=90°。作CDAB，垂足為D。則 BCDBAC，CADBAC。 2由BCDBAC可得BC=BD × BA， D 2=AD × AB。ACBACCAD由可得 B C 1 / 5 . 我們發現，把、兩式相加可得AD+BB）+A=AAD+BD=A=A因此B+A，這就=+。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識四、古人的證法如圖，將圖中的四個直角三角形涂上深紅色，把中間小正方形涂上白色，以，他肯令出入相補，各從

3、其為邊的正方形稱為弦實，然后經過拼補搭配勾股各自乘，并之為弦實，開方了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，之，即弦為簡明、直觀五、項明達證法b>作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別a、把它們拼成如圖所示的多邊形，使E再做一個邊長為c的正方形. 斜邊長為c. . C三點在一條直線上A、P. 于點BC，交ACQP 過點Q作 ；再過點PQ，垂足為M過點B作BM N. ，垂足為PQ F作FN BC，BCA = 90°，QP MPC = 90°， ， BMPQ ，BMP = 90° . 是一個矩形，即MB

4、C = 90° BCPM QBA =90 °，QBM + MBA = MBC = 90°MBA = ABC + ， 2 / 5 . QBM = ABC， 又 BMP = 90°，BCA = 90°，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可證RtQNF RtAEF.即a2+b2=c2 六、歐幾里德射影定理證法 ： 如圖，RtABC中，ABC=90°，AD是斜邊BC上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下： 1）（BD）2;=AD·DC， （2）（AB）2;=AD·AC ， （3）（BC）2;=CD

5、·AC 。 由公式（2）+（3）得： （AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）2;， 即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2 七、楊作玫證法： 做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BPAF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF于H. BAD = 90o，PAC = 90o， DAH = BAC. 又 DHA = 90o

6、，BCA = 90o， DGaAD = AB = c， c. BCADHA Rt Rt12b9. ，AH = AC = b DH = BC = ac PBCA 是一個矩形，由作法可知， AFPRH8 即PB = BCA. APB 所以 Rt Rt . PH = baCA = b，AP= a，從而T5463BCA , RtDGT Rtbcc. BCA RtRtDHA Q. DHA Rt RtDGT 7aCBE HDA . DH = DG = a，GDT = o，o，DHF = 90又 DGT = 90 o，TDH = 90TDH = HDA+ GDH = GDT + . DGFH 是一個邊長為a

7、的正方形. a ，TF = GTGF = b GF = FH = a . TFAF .a）FP=a +a，下底BP= b，高（b是一個直角梯形， TFPB上底TF=b 為邊長的正方形的面積為用數字表示面積的編號（如圖），則以c2S?SS?S?cS 5412311?2a?a?a?S?SS?bb?b?abb? 48322= ， 3 / 5 . S?S?S， 98512?ab?S?bSS?2?S?bS 8342 = . 81把代入，得 22?S?S?SS?S?b?cS 9182812b?S?S22a?b. = = 92222a?b?c. 八、陳杰證法： 設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>

8、;a），斜邊的長為c. 做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）. B在EH = b上截取ED = a，連結DA、DC， . AD = c則 c ， EM = EH + HM = b + a , ED = a5c4?ab?b. a = bED = DM = EMFA ，CMD = 90o，CM = a又 aCG AE = b，AED = 90o， 23cb. DMCAED Rt Rtaac17. DC = AD = cEAD = MDC， 6 o，ADC+ MDC =180 ADE + aEDbMH A

9、DE + EAD = 90o，ADE + MDC = . oADC = 90. 的正方形是一個邊長為cDC，CBDA，則ABCD 作AB o，FAD = 90BAF + FAD = DAE + . DAE BAF= ADE中，連結FB，在ABF和 DAE，AB =AD = c，AE = AF = b，BAF= . ADEABF . BF = DE = a AFB = AED = 90o，. 在一條直線上F、G、H 點B、 RtABF和BCG中，在Rt AB = BC = c，BF = CG = a，. RtBCGABF Rt222SS?Sa?S?Sb?S?S?c?SS? ， ， ， 671232345 S?SS?S?S ， 7651422S?S?S?ab?S?S 63127?SS?SSS? =72631S?SSS =53242c =4 / 5 . baba222b?caA . DAD 九、辛卜松證法aaa abc c ab a aa2的正a+.作邊長設直角三角形兩直角邊的長分別為a，斜邊的長aCbBBb