1、1第第16章章 平面體系的幾何組成分析平面體系的幾何組成分析216.1 幾何組成分析的目的幾何組成分析的目的幾何可變體系幾何可變體系：在不考慮材料應(yīng)變的條件下，形狀和位置可以改變的體系。造成幾何可變的原因是缺少約束或約束不當(dāng)。a)b)c)幾何可變體系3幾何不變體系幾何不變體系：在不考慮材料應(yīng)變的條件下，幾何形狀和位 置不能改變的體系。a)b)c)只有幾何不變體系才能作為結(jié)構(gòu)使用。4判斷體系幾何組成性質(zhì)，叫做對(duì)體系進(jìn)行幾何組成分析幾何組成分析。判斷體系幾何組成性質(zhì)其目的是：1）判定體系是否幾何不變，從而確定其能否作為結(jié)構(gòu)。2）研究幾何不變體系的組成規(guī)律，從而設(shè)計(jì)出各種合理結(jié)構(gòu)。3）判定結(jié)構(gòu)是靜定

2、的還是超靜定的，以便選擇合適的計(jì)算方法。516.2 平面體系自由度的概念平面體系自由度的概念1.剛片剛片一個(gè)梁、一個(gè)柱、一根鏈桿都可看作一個(gè)剛片；已肯定為幾何不變的部分可視為一個(gè)剛片；與結(jié)構(gòu)相連的基礎(chǔ)通常也視為剛片。a)b)c)剛片非剛片剛片62.自由度自由度一個(gè)自由點(diǎn)點(diǎn)在平面內(nèi)的自由度等于2。確定物體或體系在平面內(nèi)位置所需的獨(dú)立參變量（坐標(biāo)）數(shù)目。b) 剛片a) 點(diǎn)一個(gè)自由剛片剛片在平面內(nèi)的自由度等于3。73.約束約束1）鏈桿、可動(dòng)鉸支座使剛片減少一個(gè)自由度，為一個(gè)約束。使體系減少自由度的裝置。a)b)鏈桿可動(dòng)鉸支座8固定鉸支座2）固定鉸支座使剛片減少兩個(gè)自由度，是兩個(gè)約束，相當(dāng)于兩根鏈桿的

3、作用。a)b)c)三種畫法意義相同93）單鉸是連接兩個(gè)剛片的鉸鏈。一個(gè)單鉸減少兩個(gè)自由度一個(gè)單鉸減少兩個(gè)自由度是兩個(gè)約束是兩個(gè)約束, ,相當(dāng)于兩根相當(dāng)于兩根鏈桿的作用鏈桿的作用單鉸10兩根鏈桿也相當(dāng)于一個(gè)單鉸的作用。兩根鏈桿的實(shí)際交點(diǎn)稱為實(shí)鉸實(shí)鉸；兩根鏈桿延長(zhǎng)后的交點(diǎn)稱為虛鉸虛鉸。實(shí)鉸虛鉸11兩根平行鏈桿的虛鉸在鏈桿方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處。平行鏈桿的虛鉸124）復(fù)鉸為連接多于兩個(gè)剛片的鉸。連接n個(gè)剛片的復(fù)鉸，可以看作n-1-1個(gè)單鉸，因而相當(dāng)于 2 2（n-1-1）個(gè)約束。135）固定端支座阻止剛片在平面內(nèi)的上下、左右移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)固定端支座是3個(gè)約束，相當(dāng)于3個(gè)鏈桿支座。6）兩桿間的剛節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于3

4、個(gè)約束。147）多余約束是指不能改變體系幾何組成性質(zhì)的約束。多余約束在改變體系幾何組成性質(zhì)中是多余的，但多余約束在結(jié)構(gòu)中不是無(wú)用的約束。a)b)1516.3 幾何不變體系的組成規(guī)則幾何不變體系的組成規(guī)則3個(gè)剛片用不在一直線上的3個(gè)鉸（包括兩鏈桿形成的實(shí)鉸或虛鉸）兩兩相連組成的體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系。3個(gè)基本規(guī)則：三剛片規(guī)則：三剛片規(guī)則 二剛片規(guī)則二剛片規(guī)則 二元體規(guī)則二元體規(guī)則1. 三剛片規(guī)則三剛片規(guī)則a)b)c)16三剛片規(guī)則中的3個(gè)單鉸（包括兩鏈桿形成的實(shí)鉸或虛鉸），如果共線（圖a)，則c點(diǎn)將沿以ac、bc為半徑的兩個(gè)圓弧的正切方向作微小移動(dòng)，移動(dòng)后3個(gè)單鉸就不共線了(圖b)，又符

5、合三剛片規(guī)則成為不變體系。這種本來(lái)是幾何可變的，經(jīng)微小位移后又成為幾何不變的體系稱為瞬變體瞬變體系系。瞬變體系是不能作為結(jié)構(gòu)使用的。符合三剛片規(guī)則的部分稱為鉸接三角形。a)鉸接三角形b)不是鉸接三角形172. 二剛片規(guī)則二剛片規(guī)則兩個(gè)剛片用一個(gè)單鉸和一根不通過(guò)此鉸的鏈桿連接，所組成的體系是幾何不變的，且無(wú)多余約束。a)b)c)視為鏈桿18若三連桿延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)o（圖a）或不等長(zhǎng)的三鏈桿互相平行（圖b），體系在此時(shí)是幾何可變的，但經(jīng)過(guò)微小位移后，由于三鏈桿不等長(zhǎng)，各鏈桿的轉(zhuǎn)角不相等，彼此就不再相交或不再平行了，體系成為幾何不變的，可見(jiàn)它們是瞬變體系。若三鏈桿直接交于一點(diǎn)（圖c）或三鏈桿等長(zhǎng)且互相

6、平行（圖d），體系是幾何可變的，且為常變體系。193. 3. 二元體規(guī)則二元體規(guī)則一個(gè)鉸節(jié)點(diǎn)以及被鉸接在一起的兩根不共線鏈桿稱為二元體。二元體。在體系中增加或拆除二元體，不影響原體系的幾何組成性質(zhì)，稱為二元體規(guī)則二元體規(guī)則。a)b)2016.4 幾何組成分析的步驟和舉例幾何組成分析的步驟和舉例3 3. 選剛片選剛片16.4.1 幾何組成分析的一般方法幾何組成分析的一般方法1.1.化簡(jiǎn)體系化簡(jiǎn)體系（1）拆除二元體 （2）等效代換2.2.觀察約束觀察約束1）外部約束少于3個(gè)時(shí)，上部與基礎(chǔ)之間缺少必要的約束數(shù)，整 體一定是幾何可變體系。2）外部約束等于3個(gè)時(shí)，若不符合二剛片規(guī)則，整體一定是幾何 可變

7、體系；若符合二剛片規(guī)則，整體的幾何組成性質(zhì)取決于上 部，應(yīng)先從上部入手分析。3）外部約束多于3個(gè)時(shí)，一般從基礎(chǔ)入手，先把基礎(chǔ)選為一個(gè)剛 片，與上部體系一起進(jìn)行分析。2116.4.2 幾何組成分析舉例幾何組成分析舉例例例16-1 分析如圖所示體系的幾何組成（1）先依次拆除二元體，得簡(jiǎn)化后體系。（2）外部約束正好等于3個(gè)，且符合兩剛片規(guī)則，所以從內(nèi)部入手。 鉸接三角形上依次增加二元體adc和ceb 為大剛片。（3）大剛片剛片1、剛片2彼此兩兩相連接的3個(gè)鉸d、f、e在同一 直線上。解：解：a)b)所以原體系為幾何可變體系。所以原體系為幾何可變體系。22例例16-2 分析圖示體系的幾何組成。（1）用

8、連接a、c的直線代替折桿ac，簡(jiǎn)化后的體系如圖所示。（2）cdbe視為剛片1，基礎(chǔ)視為剛片2，1與2用ac、b、e既不相交于一點(diǎn)又不完全平行的3根鏈桿相連，符合二剛片規(guī)則。所以原體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系。所以原體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系。基礎(chǔ)基礎(chǔ)解：解：23例例16-3 對(duì)圖示體系作幾何組成分析。1）用連接g、h的直線代替折桿gh，即把折桿gh看成鏈桿。2）外部約束為4個(gè)，從基礎(chǔ)入手分析。ab 、dc和基礎(chǔ)分別為剛片1 、2 、3。3）剛片1 、2用bc與ef鏈桿形成的虛鉸k相連；剛片1 、3用a鉸相連；剛片2 、3由di和gh鏈桿形成的虛鉸g相連，三鉸不共線，符合三剛片規(guī)則。所以體

9、系是無(wú)多余約束的幾何不變體系。所以體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系。基礎(chǔ)解：解：基礎(chǔ)24例例16-4 對(duì)圖示體系作幾何組成分析。（1）由于外部約束正好為3個(gè)，且符合二剛片規(guī)則。所以，整體的性 質(zhì)取決于上部。應(yīng)從上部入手分析。（2）鉸接三角形abd，逐次增加7個(gè)二元體（acb 、ceb 、bge 、 dfg 、ehg、gjh、fij ），視為一個(gè)大剛片1；用同樣的方法 再將右邊部分視為一個(gè)大剛片2。1與2用一個(gè)單鉸j和不過(guò)該鉸 的鏈桿a，組成的體系是幾何不變的。所以原體系是幾何不變的，且無(wú)多余約束。所以原體系是幾何不變的，且無(wú)多余約束。a)b)解：解：25例例16-5 分析圖示體系的幾何組成。（1

10、）由于外部約束正好為3個(gè)，且符合二剛片規(guī)則。所以，整體的性質(zhì) 取決于上部，應(yīng)從上部入手分析。（2）將左右兩個(gè)基本三角形和dg桿分別視為剛片1 、2 、3。（3）剛片1 、2用兩根水平鏈桿（be和cf）相連，相當(dāng)于在水平方向的 無(wú)窮遠(yuǎn)處一個(gè)虛鉸 ；剛片2 、3用兩根平行鏈桿（df和gh）相 連，相當(dāng)于在鏈桿方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處一個(gè)虛鉸 ；同理1 、3之間 用兩根平行鏈桿（ad和cg）相連，相當(dāng)于在鏈桿方向的無(wú)窮遠(yuǎn)一 個(gè)虛鉸 ，由于原體系是對(duì)稱的，無(wú)窮遠(yuǎn)處的 與 的連線應(yīng) 是水平的，所以3個(gè)虛鉸處于同一水平線上。不符合三剛片規(guī)則。12j23j13j23j13j 所以原體系是幾何可變的。所以原體系是幾何可

11、變的。a)b)解：解：26例例16-6 分析圖示體系的幾何組成。（1）由于外部約束正好為3個(gè)，且符合二剛片規(guī)則。所以，整體的性 質(zhì)取決于上部，應(yīng)從上部入手分析。（2）僅對(duì)如圖b所示體系分析。由上而下和由下而上分別逐步去掉二 元體，最后留下abc部分。ab和bc兩剛片如圖c所示，只有一鉸 b相連為常變體系。所以原體系是幾何可變的。所以原體系是幾何可變的。a)基本體系b)上部體系c)最終間化體系解：解：2716.5 靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)的未知量數(shù)目多于平衡方程數(shù)目。幾何不變體系才是結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)又分為靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)。1.靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)凡可以用靜力

12、平衡方程確定全部反力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)都是靜定結(jié)構(gòu)。靜定結(jié)構(gòu)。靜定結(jié)構(gòu)的未知量數(shù)目與獨(dú)立平衡方程數(shù)目相同。靜定結(jié)構(gòu)是無(wú)多余約束的幾何不變體系。2.超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)（幾何不變體系）28幾何可變體系和幾何瞬變體系沒(méi)有靜力解答，或者產(chǎn)生無(wú)窮大的反力和內(nèi)力，因而不能承受荷載，不能作為工程結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)（幾何不變體系）3.超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)超靜定結(jié)構(gòu)中未知量數(shù)目與獨(dú)立平衡方程數(shù)目之差叫做超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)。超靜定次數(shù)等于多余約束數(shù)目。超靜定次數(shù)應(yīng)是要列出的補(bǔ)充方程數(shù)目。29例例16-7 分析圖示結(jié)構(gòu)的幾何組成，如果是超靜定的，判定其超靜定次數(shù)。將基礎(chǔ)和剛架視為剛片1、2，它們之間若用一個(gè)單鉸

13、和一根不通過(guò)此鉸的鏈桿連接就是無(wú)多余約束的幾何不變體系。但本例中剛片1、2由4根鏈桿連接，多1個(gè)約束，故為1次超靜定的。a)b)解：解：30例例16-8 分析圖示結(jié)構(gòu)的幾何組成，如果是超靜定的，判定其超靜定次數(shù)。（1）由于上部體系用3根鏈桿與基礎(chǔ)連接，且符合二剛片規(guī)則，只需 對(duì)上部體系進(jìn)行分析。（2）左邊鉸接三角形為剛片1，右邊鏈接三角形為剛片2。（3）1與2用上方一個(gè)鉸及下方不通過(guò)此鉸的一根水平鏈桿相連接，符 合二剛片規(guī)則，但左右各多余了一根鏈桿。所以此結(jié)構(gòu)有所以此結(jié)構(gòu)有2個(gè)多余約束，是個(gè)多余約束，是2 次超靜定的。次超靜定的。a)b)解：解：31小結(jié)小結(jié) 體系的幾何組成分類 約束 無(wú)多余約束的幾何不變體系的組成規(guī)則 幾何組成分析4）連接n個(gè)剛片的復(fù)鉸