1、第四章 綜合指標(biāo)張 爽 2014.03 教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容一、總量指標(biāo)一、總量指標(biāo)二、相對(duì)指標(biāo)二、相對(duì)指標(biāo)三、平均指標(biāo)三、平均指標(biāo)四、標(biāo)志變異指標(biāo)四、標(biāo)志變異指標(biāo)五、綜合指標(biāo)的運(yùn)用五、綜合指標(biāo)的運(yùn)用1、總量指標(biāo)、總量指標(biāo)一、總量指標(biāo)的意義和種類一、總量指標(biāo)的意義和種類二、總量指標(biāo)的計(jì)量單位二、總量指標(biāo)的計(jì)量單位2、相對(duì)指標(biāo)、相對(duì)指標(biāo)反映數(shù)列的反映數(shù)列的集中趨勢(shì)集中趨勢(shì)反映數(shù)列的反映數(shù)列的離散趨勢(shì)離散趨勢(shì)第四章 綜合指標(biāo)第三章 綜合指標(biāo) 第一節(jié) 總量指標(biāo) 第二節(jié) 相對(duì)指標(biāo) 第三節(jié) 平均指標(biāo) 第四節(jié) 標(biāo)志變動(dòng)度 教教 學(xué)學(xué) 目目 的的第一節(jié)第一節(jié) 總量指標(biāo)總量指標(biāo) 總量指標(biāo)的概念、特點(diǎn)總量指標(biāo)的概念

2、、特點(diǎn) 總量指標(biāo)的種類總量指標(biāo)的種類 總量指標(biāo)的計(jì)量單位總量指標(biāo)的計(jì)量單位 總量指標(biāo)的計(jì)算總量指標(biāo)的計(jì)算總量指標(biāo)的特點(diǎn)總量指標(biāo)的種類思考題：思考題：時(shí)期指標(biāo)和時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的區(qū)別通過(guò)下表：通過(guò)下表：1、區(qū)分總體單位總量與總體標(biāo)志總量；、區(qū)分總體單位總量與總體標(biāo)志總量； 2、區(qū)分時(shí)期指標(biāo)與時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。、區(qū)分時(shí)期指標(biāo)與時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。總體標(biāo)志總量總體標(biāo)志總量時(shí)點(diǎn)時(shí)點(diǎn) 指標(biāo)指標(biāo)時(shí)期指標(biāo)時(shí)期指標(biāo) 總體單位總量總體單位總量雙重單位雙重單位拖拉機(jī)混合產(chǎn)量拖拉機(jī)混合產(chǎn)量4臺(tái)臺(tái)拖拉機(jī)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物產(chǎn)量拖拉機(jī)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物產(chǎn)量5臺(tái)臺(tái)對(duì)于同類的計(jì)算對(duì)象按對(duì)于同類的計(jì)算對(duì)象按直接加起來(lái)直接加起來(lái)對(duì)于同類的計(jì)算對(duì)象按對(duì)于同類的計(jì)算對(duì)象按相加相

3、加第二節(jié)第二節(jié) 相對(duì)指標(biāo)相對(duì)指標(biāo)無(wú)名數(shù)無(wú)名數(shù)有名數(shù)有名數(shù)用倍數(shù)、系數(shù)、成數(shù)、用倍數(shù)、系數(shù)、成數(shù)、等表示等表示（強(qiáng)度密度）（強(qiáng)度密度）用雙重計(jì)量單位表示的復(fù)用雙重計(jì)量單位表示的復(fù)名數(shù)名數(shù)相對(duì)指標(biāo)的表現(xiàn)形式相對(duì)指標(biāo)的表現(xiàn)形式成數(shù)應(yīng)當(dāng)用整數(shù)的形式來(lái)表述成數(shù)應(yīng)當(dāng)用整數(shù)的形式來(lái)表述3成、近成、近7成成8.6成成 分母分母為為1分母為分母為1.00分母分母為為10分母分母為為100分母為分母為1000結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)使用額的比例積累額占國(guó)民收入使用額的比例消費(fèi)額占國(guó)民收入3 .341001971567707 .651001971512945說(shuō)說(shuō)明明為無(wú)名數(shù)；為無(wú)名數(shù)； 同一總體各組的結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)之和為同一總體各

4、組的結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)之和為1；用來(lái)分析現(xiàn)象總體的內(nèi)部構(gòu)成狀況。用來(lái)分析現(xiàn)象總體的內(nèi)部構(gòu)成狀況。 食物支出金額食物支出金額如：恩格爾系數(shù)如：恩格爾系數(shù) 總支出金額總支出金額 它是指食品支出占居民消費(fèi)總支出的比它是指食品支出占居民消費(fèi)總支出的比重重,它是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)居民生活水平它是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)居民生活水平的重要指標(biāo)。的重要指標(biāo)。 1978年，我國(guó)農(nóng)村家庭的恩年，我國(guó)農(nóng)村家庭的恩格爾系數(shù)為格爾系數(shù)為67.7%，城市家庭為，城市家庭為57.5%，而，而2005年這一比例已經(jīng)降低至年這一比例已經(jīng)降低至36.7%和和45.5%.總體中某一部分?jǐn)?shù)值比例相對(duì)數(shù)總體中另一部分?jǐn)?shù)值比例相對(duì)指標(biāo)年年 份份居民

5、收入（元）居民收入（元）城鎮(zhèn)城鎮(zhèn)鄉(xiāng)村鄉(xiāng)村城城/鄉(xiāng)鄉(xiāng)19901510.2686.3？20016860.02366.0？1990年城鎮(zhèn)/鄉(xiāng)村=1510.2686.3=2.2002001年城鎮(zhèn)/鄉(xiāng)村=6860.02366.0=2.899比例相對(duì)指標(biāo)或的比率積累額與消費(fèi)額52.512:13317100129456770某一條件下的某類指標(biāo)數(shù)值比較相對(duì)數(shù)另一條件下的同類指標(biāo)數(shù)值比較相對(duì)指標(biāo)5 . 16 . 34 . 5與乙公司之比甲公司商品銷售額比較相對(duì)指標(biāo)報(bào)告期指標(biāo)數(shù)值動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)基期指標(biāo)數(shù)值動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)指指 標(biāo)標(biāo)總總 量量 指指 標(biāo)標(biāo) （億元）（億元）速速 度度 指指 標(biāo)（標(biāo)（%）1998199920

6、001999年年2000年年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總總 值值1429.261479.711589.34 第一產(chǎn)業(yè)第一產(chǎn)業(yè) 298.67 284.28 283.00 第二產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè) 585.38 604.39 657.51 第三產(chǎn)業(yè)第三產(chǎn)業(yè) 545.21 591.04 648.83動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)103.5395.18103.25108.41107.4199.54111.25109.78某一總體的指標(biāo)數(shù)值強(qiáng)度相對(duì)數(shù)另一有聯(lián)系的總體的指標(biāo)數(shù)值出生率人口6 . 8100010186006一般用一般用、表示。其特點(diǎn)是分子表示。其特點(diǎn)是分子來(lái)源于分母，但分母并不是分子的來(lái)源于分母，但分母并不是分子的總體，二者所

7、反映現(xiàn)象數(shù)量的時(shí)間總體，二者所反映現(xiàn)象數(shù)量的時(shí)間狀況不同。狀況不同。無(wú)名數(shù)的無(wú)名數(shù)的強(qiáng)度相對(duì)數(shù)強(qiáng)度相對(duì)數(shù)人口數(shù)（千人）醫(yī)院床位數(shù)（張）每千人口醫(yī)院床位數(shù) 醫(yī)院床位數(shù)（張）人口數(shù)（人）數(shù)每張醫(yī)院床位負(fù)擔(dān)人口 強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)有正、逆指標(biāo)之分：強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)例題：想一想可以計(jì)算哪幾種相對(duì)指標(biāo)例題：想一想可以計(jì)算哪幾種相對(duì)指標(biāo)？ 1.計(jì)算方法：計(jì)算方法：(1) 當(dāng)計(jì)劃指標(biāo)為當(dāng)計(jì)劃指標(biāo)為時(shí)時(shí) ：計(jì)劃絕對(duì)數(shù)實(shí)際絕對(duì)數(shù)計(jì)劃完成相對(duì)數(shù) %100%100309830981100100%110%1000計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)(2) 當(dāng)計(jì)劃數(shù)是當(dāng)計(jì)劃數(shù)是相對(duì)數(shù)相對(duì)數(shù)時(shí)時(shí):100%）計(jì)劃完成數(shù)（）實(shí)際完成數(shù)（計(jì)劃完成程度相對(duì)

8、指標(biāo)%93.100%100%107%108成程度產(chǎn)品成本降低計(jì)劃的完%04.101%96%97%4%100%3%1001100%11)100%1（實(shí)際提高率）計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)（提高率）（計(jì)劃提高率）（實(shí)際降低率計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)（降低率）（計(jì)劃降低率）1 15%115%100%104.55%1 10%110%（）勞動(dòng)生產(chǎn)率計(jì)劃完成程度（）1 6%94%100%98.95%1 5%95%（）計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)（）(3) 當(dāng)計(jì)劃數(shù)為當(dāng)計(jì)劃數(shù)為平均數(shù)平均數(shù)時(shí)時(shí):100%計(jì)劃平均水平實(shí)際平均水平計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)例如：例如：2002年某企業(yè)規(guī)定甲產(chǎn)品的單位成年某企業(yè)規(guī)定甲產(chǎn)品的單位成本為本為120

9、0元元/臺(tái)，由于企業(yè)加強(qiáng)了內(nèi)部管理臺(tái)，由于企業(yè)加強(qiáng)了內(nèi)部管理，其實(shí)際單位成本為，其實(shí)際單位成本為1150元元/臺(tái)，則該產(chǎn)品臺(tái)，則該產(chǎn)品單位成本計(jì)劃完成程度為單位成本計(jì)劃完成程度為95.8%，即：，即： %8 .95%10012001150 2.計(jì)劃完成指標(biāo)的應(yīng)用：計(jì)劃完成指標(biāo)的應(yīng)用：短期計(jì)劃完成情況的檢查短期計(jì)劃完成情況的檢查計(jì)劃任務(wù)數(shù)實(shí)際完成數(shù)相對(duì)數(shù)計(jì)劃完成程度100計(jì)劃完成進(jìn)度第三季度末80100108完成程度全年計(jì)劃1101001011全期計(jì)劃任務(wù)數(shù)數(shù)累計(jì)至本期止實(shí)際完成進(jìn)度計(jì)劃完成100長(zhǎng)期計(jì)劃完成情況的檢查長(zhǎng)期計(jì)劃完成情況的檢查計(jì)劃規(guī)定的累計(jì)數(shù)數(shù)計(jì)劃期內(nèi)實(shí)際完成累計(jì)程度計(jì)劃完成100

10、年份年份1996 1997 1998 1999 2000 合計(jì)合計(jì)投資額（億元）投資額（億元） 11.411.912.512.813.161.7其中，其中，2000年各月份實(shí)際完成情況為（單位：億元）：年各月份實(shí)際完成情況為（單位：億元）：月份月份123456789101112投資額投資額 1.1 1.0 1.2 1.1 1.1 1.11.21.21.3 1.1 0.90.8程度計(jì)劃完成8 .102100607 .61提前完成計(jì)劃時(shí)間：提前完成計(jì)劃時(shí)間：因?yàn)榈揭驗(yàn)榈?000年年10月底已完成固定資產(chǎn)累計(jì)投月底已完成固定資產(chǎn)累計(jì)投資額資額60億元（億元（61.70.80.9=60），即已完成），

11、即已完成計(jì)劃任務(wù)，提前完成計(jì)劃兩個(gè)月。計(jì)劃任務(wù)，提前完成計(jì)劃兩個(gè)月。22.4100% 101.8%22該地區(qū)基本建設(shè)投資計(jì)劃完成程度 水平法水平法水平計(jì)劃規(guī)定末期應(yīng)達(dá)到的平計(jì)劃末期實(shí)際達(dá)到的水程度計(jì)劃完成100長(zhǎng)期計(jì)劃完成情況的檢查長(zhǎng)期計(jì)劃完成情況的檢查計(jì)劃期末年實(shí)際達(dá)到的水平計(jì)劃完成程度計(jì)劃期規(guī)定末年應(yīng)達(dá)到的水平220100%110%200計(jì) 劃 完 成 程 度年份年份1996 1997199819992000產(chǎn)量（萬(wàn)輛）產(chǎn)量（萬(wàn)輛）108114117119123程度計(jì)劃完成5 .102100120123甲企業(yè)甲企業(yè)乙企業(yè)乙企業(yè)比較兩廠經(jīng)濟(jì)效益比較兩廠經(jīng)濟(jì)效益不可比不可比不可比不可比可比可比

12、本單位歷史水平本單位歷史水平本行業(yè)（全國(guó)）平均本行業(yè)（全國(guó)）平均（先進(jìn)）水平（先進(jìn)）水平相對(duì)指標(biāo)應(yīng)當(dāng)結(jié)合總量指標(biāo)使用相對(duì)指標(biāo)應(yīng)當(dāng)結(jié)合總量指標(biāo)使用結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)比例相對(duì)數(shù)比例相對(duì)數(shù)比較相對(duì)數(shù)比較相對(duì)數(shù)動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)強(qiáng)度相對(duì)數(shù)強(qiáng)度相對(duì)數(shù)人口性別比人口性別比為為1.03：1男性人口的男性人口的比重為比重為50.8比比1980年末的年末的9.9億人增加億人增加了了28人口密度是人口密度是美國(guó)的美國(guó)的4.5倍倍人口密度為人口密度為130人人/平方公里平方公里人口出生率人口出生率為為15.23女性人口的女性人口的比重為比重為49.2 我國(guó)各種運(yùn)輸方式完成貨物運(yùn)輸周轉(zhuǎn)

13、量資料表我國(guó)各種運(yùn)輸方式完成貨物運(yùn)輸周轉(zhuǎn)量資料表單位：億噸公里單位：億噸公里方式方式20092009年年20102010年年貨物運(yùn)輸周轉(zhuǎn)量貨物運(yùn)輸周轉(zhuǎn)量66698666987829578295其中：鐵路其中：鐵路19289192892073120731公路公路7596759685388538水路水路38973389734805848058空運(yùn)空運(yùn)72727979管道管道7687688898891.1.根據(jù)上述資料計(jì)算結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)根據(jù)上述資料計(jì)算結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)2.2.根據(jù)上述資料計(jì)算比例相對(duì)指標(biāo)根據(jù)上述資料計(jì)算比例相對(duì)指標(biāo)3.3.根據(jù)上述資料計(jì)算動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)根據(jù)上述資料計(jì)算動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)習(xí)題習(xí)題20

14、102010年湖北湖南省主要農(nóng)產(chǎn)品資料年湖北湖南省主要農(nóng)產(chǎn)品資料單位：億噸單位：億噸項(xiàng)目項(xiàng)目湖北省湖北省湖南省湖南省糧食糧食2177.382177.382856.552856.55油料油料293.9293.9140.98140.98棉花棉花37.537.518.4918.49煙葉煙葉11.1411.1420.2920.29水果水果260.79260.79538.93538.93蔬菜蔬菜2916.912916.912391.632391.63注：注：20102010年湖北省人口年湖北省人口60316031萬(wàn)人湖南省人口萬(wàn)人湖南省人口67326732萬(wàn)人萬(wàn)人1.1.計(jì)算比較相對(duì)指標(biāo)計(jì)算比較相對(duì)指標(biāo)

15、2.2.計(jì)算強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)計(jì)算強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)思考題思考題第四章第四章 綜合指標(biāo)綜合指標(biāo)平均指標(biāo)平均指標(biāo)位置平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)眾眾數(shù)數(shù)中中位位數(shù)數(shù)幾幾何何平平均均數(shù)數(shù)算算術(shù)術(shù)平平均均數(shù)數(shù)調(diào)調(diào)和和平平均均數(shù)數(shù)總體單位總量總體標(biāo)志總量職工人數(shù)工資總額平均工資xnxxnxxxn212、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算形式、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算形式 （適用于未分組資料適用于未分組資料） nxxi)(886590011001050780600元nxxi57790738562nxx554321xxxxx5387（分）4 .779 .2620538nxx75.31450302522【例】9 .26205381510

16、41505301025422xx x= =xfxfff（2 2）加權(quán)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù): (: (適用于分組資料適用于分組資料) ) “X” “X” 代表各組變量值，代表各組變量值，“f ” f ” 代表各組代表各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)或頻數(shù)變量值出現(xiàn)的次數(shù)或頻數(shù). . 因?yàn)楦鹘M變量值出現(xiàn)次數(shù)的多少對(duì)平均數(shù)的形因?yàn)楦鹘M變量值出現(xiàn)次數(shù)的多少對(duì)平均數(shù)的形成產(chǎn)生權(quán)衡輕重的作用，所以將成產(chǎn)生權(quán)衡輕重的作用，所以將“f”f”稱為稱為權(quán)數(shù)權(quán)數(shù)。權(quán)。權(quán)數(shù)既可以表現(xiàn)為數(shù)既可以表現(xiàn)為“次數(shù)次數(shù)”的形式，也可以表現(xiàn)為的形式，也可以表現(xiàn)為“比重比重”的形式的形式 。用用“比重比重”權(quán)數(shù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)的公式為：權(quán)數(shù)

17、計(jì)算算術(shù)平均數(shù)的公式為： fxfxffx各組單位數(shù)（權(quán)數(shù)）各組單位數(shù)（權(quán)數(shù)）根據(jù)分組資料計(jì)算根據(jù)分組資料計(jì)算A、根據(jù)單項(xiàng)式數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù) 要求：根據(jù)資料計(jì)算工人的平均日產(chǎn)量。要求：根據(jù)資料計(jì)算工人的平均日產(chǎn)量。 日產(chǎn)量（件）日產(chǎn)量（件） （x） 工人數(shù)（工人數(shù)（ f） 權(quán)權(quán)(f/f)% 15 10 7 16 20 13 17 30 20 18 50 33 19 40 27 合計(jì)合計(jì) 150 100)(176 .17150264015040195018301720161015件fxfx)(176 .17%2719%3318%2017%1316%715件ffxx解解:按第一個(gè)公式計(jì)算按第一個(gè)公

18、式計(jì)算解解:按第二個(gè)公式計(jì)算按第二個(gè)公式計(jì)算:日產(chǎn)量總數(shù)日產(chǎn)量總數(shù)工人總數(shù)工人總數(shù)B、根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù) 工工 資資 （元）（元） 職工人數(shù)（人）職工人數(shù)（人） x f f/f 400 500 50 16.7 500 600 70 23.3 600 700 120 40.0 700 800 60 20.0 合合 計(jì)計(jì) 300 100解：計(jì)算過(guò)程如下：解：計(jì)算過(guò)程如下：)(33.613300184000元fxfx)( 3 .613元ffxx權(quán) 一班一班 二班二班日產(chǎn)量日產(chǎn)量 工人數(shù)工人數(shù) 比重比重 日產(chǎn)量日產(chǎn)量 工人數(shù)工人數(shù) 比重比重（件）（件） （人）（人） （%） （件）（件） （人

19、）（人） （%） 20 16 80 20 1 5 21 1 5 21 1 5 22 1 5 22 1 5 23 1 5 23 1 5 24 1 5 24 16 80 合計(jì)合計(jì) 20 100 合計(jì)合計(jì) 20 100一班工人平均日產(chǎn)量一班工人平均日產(chǎn)量 二班工人平均日產(chǎn)量二班工人平均日產(chǎn)量 計(jì)算得到：計(jì)算得到：fxfx = 20.5(件件)fxfx = 23.5(件件)C、權(quán)數(shù)在平均數(shù)形成中起的作用D、權(quán)數(shù)的選擇 當(dāng)分組的標(biāo)志為相對(duì)數(shù)或平均數(shù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)當(dāng)分組的標(biāo)志為相對(duì)數(shù)或平均數(shù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到選擇哪一個(gè)條件為權(quán)數(shù)的問(wèn)題。如下例：遇到選擇哪一個(gè)條件為權(quán)數(shù)的問(wèn)題。如下例：要求：計(jì)算全部企業(yè)的平均計(jì)劃完

20、成程度。要求：計(jì)算全部企業(yè)的平均計(jì)劃完成程度。 計(jì)劃完成程度計(jì)劃完成程度 企業(yè)數(shù)企業(yè)數(shù) 計(jì)劃計(jì)劃 產(chǎn)值產(chǎn)值 (%) (個(gè)個(gè)) (萬(wàn)元萬(wàn)元) 80 90 5 50 90 100 10 80100 110 120 200110 120 30 70 合合 計(jì)計(jì) 165 400選擇權(quán)數(shù)的原則選擇權(quán)數(shù)的原則:1 1、變量與權(quán)數(shù)的乘積必須有、變量與權(quán)數(shù)的乘積必須有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義。2 2、各組標(biāo)志值（或組中值）和權(quán)數(shù)的乘積等于、各組標(biāo)志值（或組中值）和權(quán)數(shù)的乘積等于各組標(biāo)志總量。各組標(biāo)志總量。根據(jù)根據(jù)原則本題應(yīng)選原則本題應(yīng)選計(jì)劃產(chǎn)值為權(quán)數(shù)計(jì)劃產(chǎn)值為權(quán)數(shù)，計(jì)算如下：，計(jì)算如下：平均計(jì)劃完成程度：平均

21、計(jì)劃完成程度：%25.102%10040040970200805070%115200%10580%9550%85x簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系權(quán)數(shù)起作用必須有兩個(gè)條件：權(quán)數(shù)起作用必須有兩個(gè)條件：(一一)：各組標(biāo)志值必須有差異各組標(biāo)志值必須有差異。如果各組標(biāo)。如果各組標(biāo)志值沒(méi)有差異標(biāo)志值成為常數(shù)，也就不存在志值沒(méi)有差異標(biāo)志值成為常數(shù)，也就不存在權(quán)數(shù)了。權(quán)數(shù)了。(二二)：各組的次數(shù)或比重必須有差異各組的次數(shù)或比重必須有差異。如果各。如果各組次數(shù)或比重沒(méi)有差異，意味著各組權(quán)數(shù)相組次數(shù)或比重沒(méi)有差異，意味著各組權(quán)數(shù)相等，權(quán)數(shù)成為常數(shù)，則不能起到權(quán)衡輕重的等，

22、權(quán)數(shù)成為常數(shù)，則不能起到權(quán)衡輕重的作用，這時(shí)加權(quán)算數(shù)平均數(shù)就等于簡(jiǎn)單算數(shù)作用，這時(shí)加權(quán)算數(shù)平均數(shù)就等于簡(jiǎn)單算數(shù)平均數(shù)。平均數(shù)。用公式表示二者的關(guān)系：用公式表示二者的關(guān)系：當(dāng)：當(dāng)： :321時(shí)nffffnxnfxffxfx加加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因素的影響：權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因素的影響： -變量值大小的影響。變量值大小的影響。X X-相對(duì)次數(shù)多少的影響。相對(duì)次數(shù)多少的影響。 簡(jiǎn)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)只受變量值單算術(shù)平均數(shù)只受變量值x x大小這一個(gè)因素的影響。大小這一個(gè)因素的影響。簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)與加加權(quán)權(quán)算術(shù)平均數(shù)不同在于：算術(shù)平均數(shù)不同在于： ff（3 3）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)：）算術(shù)平均數(shù)的

23、數(shù)學(xué)性質(zhì)：第一、變量數(shù)列中各個(gè)標(biāo)志值與算術(shù)平均第一、變量數(shù)列中各個(gè)標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零數(shù)的離差之和等于零 第二、變量數(shù)列中各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)第二、變量數(shù)列中各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方和最小的離差平方和最小 0)(0)(fxxxx最小值最小值fxxxx22)()(某生產(chǎn)車間某生產(chǎn)車間20名工人日產(chǎn)量資料見(jiàn)下名工人日產(chǎn)量資料見(jiàn)下表，試計(jì)算表，試計(jì)算20名工人平均日產(chǎn)量。名工人平均日產(chǎn)量。日產(chǎn)量（件）日產(chǎn)量（件） 工人數(shù)（人）工人數(shù)（人）101112131415134642合計(jì)合計(jì)20 各組產(chǎn)量各組產(chǎn)量 （件）（件）103348785630255fxxf75.1220255yxy

24、x日產(chǎn)量（件）日產(chǎn)量（件） 人數(shù)比重人數(shù)比重（）（）101112131415 51520302010合計(jì)合計(jì)100某車間工人按日產(chǎn)量分組資料見(jiàn)下表，試某車間工人按日產(chǎn)量分組資料見(jiàn)下表，試計(jì)算工人平均日產(chǎn)量。計(jì)算工人平均日產(chǎn)量。xff 0.50 1.65 2.40 3.90 2.80 1.5012.75ffx（件）75.12ffxx某鎮(zhèn)企業(yè)職工按月工資分組資料見(jiàn)下表，某鎮(zhèn)企業(yè)職工按月工資分組資料見(jiàn)下表，試計(jì)算職工平均月工資。試計(jì)算職工平均月工資。月工資月工資（元）（元）企業(yè)數(shù)企業(yè)數(shù)人數(shù)比重人數(shù)比重（）（）800以下以下800100010001200120014001400以上以上10253018

25、121420401610合計(jì)合計(jì)95100組中值組中值（元）（元）700 900110013001500 xff（元）1076ffxx 98180440208150 1076ffx51iiix f51iiifxxf（百噸）平均每鄉(xiāng)棉產(chǎn)量26.2118016900413164254450133501625042150550fxf日產(chǎn)零件日產(chǎn)零件（件）（件）x x人（人人（人) )f f1515202020202525252530303 35 54 4合計(jì)合計(jì)1212組中值組中值x x17.517.522.522.527.527.5人數(shù)比重人數(shù)比重（% %）f f121225.00 25.00 4

26、1.67 41.67 33.33 33.33 100.00 100.00 x fx f52.552.5115115110110275275x x* *f/12f/124.38 4.38 9.38 9.38 9.17 9.17 22.92 22.92 fxfxffx件）(92.2212275x件）(92.22 1. 1.定義：用數(shù)量值的倒數(shù)作為新變量計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)定義：用數(shù)量值的倒數(shù)作為新變量計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。的倒數(shù)。 在實(shí)際應(yīng)用中，更多地是做為算術(shù)平均數(shù)的變形來(lái)應(yīng)用在實(shí)際應(yīng)用中，更多地是做為算術(shù)平均數(shù)的變形來(lái)應(yīng)用的。的。 2.2.計(jì)算公式：計(jì)算公式： （1 1）簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：各組標(biāo)志

27、總量相等時(shí)，可采用）簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：各組標(biāo)志總量相等時(shí)，可采用簡(jiǎn)單式。其計(jì)算公式：簡(jiǎn)單式。其計(jì)算公式： xnxxxnxnH111121調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)組數(shù)組數(shù)各變量值各變量值 市場(chǎng)上某種蔬菜的價(jià)格是早市每公斤市場(chǎng)上某種蔬菜的價(jià)格是早市每公斤1.251.25元，午市每公斤元，午市每公斤1.201.20元，晚市每公斤元，晚市每公斤1.101.10元，元，若某飯店早、中、晚各買若某飯店早、中、晚各買1010元錢的蔬菜，問(wèn)所元錢的蔬菜，問(wèn)所購(gòu)蔬菜的平均價(jià)格是多少？購(gòu)蔬菜的平均價(jià)格是多少？ 購(gòu)買蔬菜的金額是標(biāo)志總量，且三組均為購(gòu)買蔬菜的金額是標(biāo)志總量，且三組均為1010元元 該飯店購(gòu)買的這種蔬菜價(jià)格

28、為該飯店購(gòu)買的這種蔬菜價(jià)格為1.181.18元元xnxh1元）(18. 11 . 112 . 1125. 113當(dāng)各組標(biāo)志總量不相同時(shí)。應(yīng)采用加權(quán)調(diào)和平當(dāng)各組標(biāo)志總量不相同時(shí)。應(yīng)采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。其計(jì)算公式為：均數(shù)。其計(jì)算公式為： 在這個(gè)公式中，各組的標(biāo)志總量是不相等在這個(gè)公式中，各組的標(biāo)志總量是不相等的，如果相等了，就等于簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)了。的，如果相等了，就等于簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)了。 調(diào)和平均數(shù)，通常是做為算術(shù)平均數(shù)的變調(diào)和平均數(shù)，通常是做為算術(shù)平均數(shù)的變型來(lái)應(yīng)用的在不同的情況下，有的時(shí)候采用算術(shù)平型來(lái)應(yīng)用的在不同的情況下，有的時(shí)候采用算術(shù)平均數(shù)，有的時(shí)候采用調(diào)和平均數(shù)。均數(shù)，有的時(shí)候采用調(diào)和

29、平均數(shù)。nnnHxmxmxmmmmx221121xmm（2 2）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)權(quán)數(shù)的選擇原則權(quán)數(shù)的選擇原則: : M M和和X X相除有意義相除有意義 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)作為加權(quán)算術(shù)平均加權(quán)調(diào)和平均數(shù)作為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形使用，仍然依據(jù)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)的變形使用，仍然依據(jù)算術(shù)平均數(shù)的基本公式計(jì)算。基本公式計(jì)算。xmmxfxfxfxxf1某企業(yè)本月購(gòu)進(jìn)某種材料三批，毎批價(jià)格和采購(gòu)某企業(yè)本月購(gòu)進(jìn)某種材料三批，毎批價(jià)格和采購(gòu)金額見(jiàn)下表，試計(jì)算這三批材料的平均價(jià)格。金額見(jiàn)下表，試計(jì)算這三批材料的平均價(jià)格。xmxm平均價(jià)格平均價(jià)格千克）（元/85.43130057000 xmmx3、調(diào)和平均

30、數(shù)的應(yīng)用、調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用 在計(jì)算絕對(duì)數(shù)的平均數(shù)時(shí)，通常采用加權(quán)算術(shù)平均在計(jì)算絕對(duì)數(shù)的平均數(shù)時(shí)，通常采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就可以了，當(dāng)計(jì)算相對(duì)數(shù)或平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，就需數(shù)就可以了，當(dāng)計(jì)算相對(duì)數(shù)或平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，就需要進(jìn)行判斷，是采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)還是調(diào)和平均數(shù)。要進(jìn)行判斷，是采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)還是調(diào)和平均數(shù)。 相對(duì)數(shù)或平均數(shù)都是由兩個(gè)數(shù)值比對(duì)形成的，我們相對(duì)數(shù)或平均數(shù)都是由兩個(gè)數(shù)值比對(duì)形成的，我們可以稱之為比值變量。可以稱之為比值變量。 當(dāng)知道比值變量及其分子時(shí)，我們應(yīng)該以分子做為當(dāng)知道比值變量及其分子時(shí)，我們應(yīng)該以分子做為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式，如果知道比值權(quán)數(shù)，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)

31、的計(jì)算公式，如果知道比值變量及其分母時(shí)，我們應(yīng)該以分母做為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)變量及其分母時(shí)，我們應(yīng)該以分母做為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式。 分母分子比值變量加權(quán)加權(quán)算術(shù)算術(shù)加權(quán)加權(quán)調(diào)和調(diào)和 某公司所屬三個(gè)部門資金利潤(rùn)率及平均占用資金資料如下某公司所屬三個(gè)部門資金利潤(rùn)率及平均占用資金資料如下： 在這個(gè)例子中，利潤(rùn)率是個(gè)相對(duì)數(shù)，是個(gè)比值變量。如在這個(gè)例子中，利潤(rùn)率是個(gè)相對(duì)數(shù)，是個(gè)比值變量。如果我們知道了利潤(rùn)率和利潤(rùn)率的分母平均資金占用時(shí)，我們果我們知道了利潤(rùn)率和利潤(rùn)率的分母平均資金占用時(shí)，我們可以采用以平均資金占用為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式可以采用以平均資金占用為權(quán)數(shù)

32、的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式部門部門甲甲乙乙丙丙合計(jì)合計(jì)平均占用資金平均占用資金f f（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）50508080150150280280資金利潤(rùn)率資金利潤(rùn)率x x （% %）121215152424fxfx利潤(rùn)總額利潤(rùn)總額m m（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）xfxf6 6121236365454%3 .1928054如果將上例條件變換如下：如果將上例條件變換如下： 在這個(gè)例子中，我們知道了比例變量利潤(rùn)率和分子在這個(gè)例子中，我們知道了比例變量利潤(rùn)率和分子利潤(rùn)額，所以應(yīng)該利用以分子利潤(rùn)額為權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和利潤(rùn)額，所以應(yīng)該利用以分子利潤(rùn)額為權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計(jì)算分式：平均數(shù)計(jì)算分式：部門部門甲甲乙乙丙丙合計(jì)合計(jì)

33、資金利潤(rùn)率資金利潤(rùn)率x x （% %）121215152424平均占用資金平均占用資金（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）m/xm/x50508080150150280280利潤(rùn)總額（萬(wàn)元）利潤(rùn)總額（萬(wàn)元）m m6 6121236365454nnnhmmxmxmmmmx221121xmm%3 .1928054產(chǎn)值利產(chǎn)值利潤(rùn)率潤(rùn)率（%）組中值組中值X一季度一季度二季度二季度企業(yè)數(shù)企業(yè)數(shù)（個(gè)）（個(gè)）實(shí)際產(chǎn)值實(shí)際產(chǎn)值（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）企業(yè)數(shù)企業(yè)數(shù)（個(gè)）（個(gè)）實(shí)際利潤(rùn)實(shí)際利潤(rùn)（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）5107.53057005071010201570205008035142030255022500202250合計(jì)合計(jì)15048700

34、1506474要求：計(jì)算一季度、二季度的平均產(chǎn)值利潤(rùn)率。要求：計(jì)算一季度、二季度的平均產(chǎn)值利潤(rùn)率。某行業(yè)產(chǎn)值和利潤(rùn)情況表某行業(yè)產(chǎn)值和利潤(rùn)情況表由相對(duì)指標(biāo)計(jì)算平均數(shù)【例】某行業(yè)產(chǎn)值和利潤(rùn)情況表100%實(shí)際利潤(rùn)產(chǎn)值利潤(rùn)率實(shí)際產(chǎn)值0.075 57000.15 205000.25 22500570020500225009127.54870018.74%xff第一季度實(shí)際利潤(rùn)第一季度平均產(chǎn)值利潤(rùn)率第一季度實(shí)際產(chǎn)值利潤(rùn)率（ ） 實(shí)際產(chǎn)值（ ）實(shí)際產(chǎn)值（ ）一季度一季度產(chǎn)值利潤(rùn)產(chǎn)值利潤(rùn)率組中值率組中值X （%）實(shí)際產(chǎn)值實(shí)際產(chǎn)值（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）7.557001520500252250048700由相對(duì)指標(biāo)計(jì)算

35、平均數(shù)【例】某行業(yè)產(chǎn)值和利潤(rùn)情況表100%實(shí)際利潤(rùn)產(chǎn)值利潤(rùn)率實(shí)際產(chǎn)值710351422500.0750.150.2571035142250647441893.315.45%mxm實(shí)際利潤(rùn)（ ）利潤(rùn)率（ ）第二季度實(shí)際利潤(rùn)第二季度平均產(chǎn)值利潤(rùn)率第二季度實(shí)際產(chǎn)值實(shí)際利潤(rùn)（ ）64742250253514157107.5實(shí)際利潤(rùn)實(shí)際利潤(rùn)（萬(wàn)元（萬(wàn)元）產(chǎn)值利潤(rùn)率產(chǎn)值利潤(rùn)率組中值組中值X （%）二季度二季度nxX斤）（元/523. 034 . 05 . 067. 0ffxX平均價(jià)格平均價(jià)格斤）（元/478. 032134 . 025 . 0167. 05 . 167. 01時(shí)間時(shí)間價(jià)格價(jià)格（元（元/斤）

36、斤）花費(fèi)花費(fèi)（元（元)數(shù)量數(shù)量（斤）（斤）早早0.671中中0.501晚晚0.41合計(jì)合計(jì)3625 . 015 . 24 . 015 . 167. 01平均價(jià)格平均價(jià)格4 . 015 . 0167. 01111總數(shù)量總花費(fèi)= 0.5= 0.5（元（元/ /斤）斤）上述計(jì)算平均價(jià)格的過(guò)程可以用公式表示為上述計(jì)算平均價(jià)格的過(guò)程可以用公式表示為xnxxxnXn111121時(shí)間時(shí)間價(jià)格價(jià)格（元（元/斤）斤）花費(fèi)花費(fèi)（元）（元）數(shù)量數(shù)量（斤）（斤）早早0.671中中0.502晚晚0.43合計(jì)合計(jì)6135 . 167. 0145 . 025 . 74 . 03蔬菜平均價(jià)格蔬菜平均價(jià)格)/(46. 04 .

37、 035 . 0267. 01321斤元總數(shù)量總花費(fèi)X設(shè)早、中、晚購(gòu)買蔬菜的價(jià)格分別為設(shè)早、中、晚購(gòu)買蔬菜的價(jià)格分別為x x1 1、x x2 2和和x x3 3，購(gòu)買蔬菜的花費(fèi)分別為購(gòu)買蔬菜的花費(fèi)分別為m m1 1、m m2 2和和m m3 3，則早、中、晚購(gòu)買，則早、中、晚購(gòu)買蔬菜的數(shù)量分別為：蔬菜的數(shù)量分別為：。和332211,xmxmxmmxmxmxmxmmmmXnnn1221121則蔬菜的平均價(jià)格 某工業(yè)局下屬各企業(yè)按產(chǎn)值計(jì)劃完成程度分組資料某工業(yè)局下屬各企業(yè)按產(chǎn)值計(jì)劃完成程度分組資料如下，根據(jù)資料計(jì)算該工業(yè)局產(chǎn)值平均計(jì)劃完成程度：如下，根據(jù)資料計(jì)算該工業(yè)局產(chǎn)值平均計(jì)劃完成程度：計(jì)劃完

38、成程度計(jì)劃完成程度 企業(yè)數(shù)企業(yè)數(shù) 實(shí)際產(chǎn)值實(shí)際產(chǎn)值 (%) (個(gè)個(gè)) (萬(wàn)元萬(wàn)元) 80 90 5 50 90 100 10 80 100 110 120 200 110 120 30 70 合合 計(jì)計(jì) 165 400組中值組中值 m (%) x x 85 59 95 84 105 190 115 61 394m計(jì)劃產(chǎn)值計(jì)劃產(chǎn)值 權(quán)權(quán)有意義有意義 xxmm =400394= 101.52%說(shuō)明：說(shuō)明：該工業(yè)局實(shí)際比計(jì)劃多完成該工業(yè)局實(shí)際比計(jì)劃多完成6萬(wàn)元，超額萬(wàn)元，超額1.52%完成產(chǎn)值計(jì)劃任務(wù)。完成產(chǎn)值計(jì)劃任務(wù)。要求：計(jì)算五個(gè)班組工人的平均勞動(dòng)生產(chǎn)率。要求：計(jì)算五個(gè)班組工人的平均勞動(dòng)生產(chǎn)率。

39、xm班組班組 勞動(dòng)生產(chǎn)率勞動(dòng)生產(chǎn)率 實(shí)際產(chǎn)實(shí)際產(chǎn) 量量 (件件 工時(shí)工時(shí)) (件件) 一一 10 1000 二二 12 2400 三三 15 4500 四四 20 6000 五五 30 6000合計(jì)合計(jì) 19900mx1002003003002001100（總工時(shí)）（總工時(shí)） )/時(shí)件xmmx（三）幾何平均數(shù)（三）幾何平均數(shù) 1.定義：幾何平均數(shù)是定義：幾何平均數(shù)是n個(gè)標(biāo)志值的連乘積后的個(gè)標(biāo)志值的連乘積后的n次方根。通常是計(jì)算次方根。通常是計(jì)算平均比率平均比率或或平均速度平均速度。 2.計(jì)算公式：計(jì)算公式： （1）簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)）簡(jiǎn)單幾何平均數(shù) （2）加權(quán)幾何平均數(shù)）

40、加權(quán)幾何平均數(shù)nnxxxxxxnG321資料未分組資料未分組fffifffGxxxxx321321資料已經(jīng)分組資料已經(jīng)分組 某機(jī)械廠五個(gè)流水作業(yè)車間的合格率分別為某機(jī)械廠五個(gè)流水作業(yè)車間的合格率分別為96%、94%、95%、95%、96%，則五個(gè)車間的產(chǎn)品平均合，則五個(gè)車間的產(chǎn)品平均合格率為？格率為？ 5%96%95%95%94%96nnGxxxxx321%20.95例：曙光公司例：曙光公司19981998年年3 3月月1 1日向金融機(jī)構(gòu)貸款日向金融機(jī)構(gòu)貸款200200萬(wàn)萬(wàn)元，期限為元，期限為5 5年，以復(fù)利形式計(jì)算利息，年，以復(fù)利形式計(jì)算利息，5 5年及年及5 5年以上年以上貸款利率為：貸款

41、利率為：19981998年年3 3月月1 1日日19981998年年6 6月月3030日為日為10.35%10.35%，19981998年年7 7月月1 1日日19981998年年1111月月3030日為日為8.01%8.01%、19981998年年1212月月1 1日日19991999年年5 5月月3131日為日為7.56%7.56%、19991999年年6 6月月1 1日到日到20022002年年2 2月月2828日為日為6.21%6.21%、20022002年年3 3月月1 1日日20032003年年2 2月月2828日日5.76%5.76%，求這，求這5 5年貸款的平均年利率。年貸款的

42、平均年利率。利息以復(fù)利計(jì)算，就是每一時(shí)間段的利息是在上一利息以復(fù)利計(jì)算，就是每一時(shí)間段的利息是在上一時(shí)間段實(shí)際貸款金額加上利息基礎(chǔ)上計(jì)算的，因此時(shí)間段實(shí)際貸款金額加上利息基礎(chǔ)上計(jì)算的，因此，要計(jì)算平均年利率，必須先將年利率換算成本利，要計(jì)算平均年利率，必須先將年利率換算成本利率，再以本利率相乘，得到總本利率，然后采用加率，再以本利率相乘，得到總本利率，然后采用加權(quán)幾何平均的方法進(jìn)行計(jì)算。權(quán)幾何平均的方法進(jìn)行計(jì)算。5年貸款的平均年利率年貸款的平均年利率為：為：10576. 10621. 10756. 10801. 11035. 1512121233126125124G%67. 6【例例】某人在銀

43、行存入本金某人在銀行存入本金1000元，存期元，存期10年。其中，年。其中，有有4年存款利率為年存款利率為10，有，有3年存款利率為年存款利率為15，有，有3年年存款利率為存款利率為20，計(jì)算平均利率（按復(fù)利計(jì)算）。，計(jì)算平均利率（按復(fù)利計(jì)算）。%92.12320. 115. 110. 110334321321ffnfffnxxxxG則：平均利息率=123.92%-100%=23.92%解：小知識(shí)：切尾均值小知識(shí)：切尾均值 例如，某次比賽共有例如，某次比賽共有11名評(píng)委，對(duì)某位歌手的給分名評(píng)委，對(duì)某位歌手的給分分別是：分別是：9.22，9.25，9.12，9.30，9.65，9.30，9.27

44、，9.20，9.28，9.25，9.24。經(jīng)過(guò)整理，得到。經(jīng)過(guò)整理，得到其順序值為：此時(shí)，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最其順序值為：此時(shí)，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最9.12，9.20，9.22，9.24，9.25，9.25，9.27，9.28，9.30，9.30，9.65。低分，計(jì)算切尾均值，就避免。低分，計(jì)算切尾均值，就避免了了9.12分和分和9.65分這兩個(gè)極端數(shù)值的影響，中間數(shù)分這兩個(gè)極端數(shù)值的影響，中間數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)9.27分就反映了該位歌手的真正水分就反映了該位歌手的真正水平。平。 平均指標(biāo)平均指標(biāo)位置平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)眾眾數(shù)數(shù)中中位位數(shù)數(shù)幾幾何何平平均均數(shù)數(shù)算

45、算術(shù)術(shù)平平均均數(shù)數(shù)調(diào)調(diào)和和平平均均數(shù)數(shù)（一）（一）一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多次數(shù)最多的的變量值，是一種位置平均數(shù)。變量值，是一種位置平均數(shù)。用用表示。表示。 比如服裝、鞋、襪、帽的尺碼，集貿(mào)市場(chǎng)上某比如服裝、鞋、襪、帽的尺碼，集貿(mào)市場(chǎng)上某種商品的價(jià)格等等，都存在眾數(shù)。種商品的價(jià)格等等，都存在眾數(shù)。說(shuō)明：眾數(shù)的穩(wěn)健性說(shuō)明：眾數(shù)的穩(wěn)健性 602.401403.00300合計(jì) 804.00 202.00銷售數(shù)量 (千克)價(jià)格 (元)M0=3.00(元)下限公式：下限公式： dLM3212120)f-(f)f-(ff-f上限公式：上限公式： 企業(yè)按工業(yè)增加企業(yè)按工業(yè)增加值分組（萬(wàn)元）值分組（

46、萬(wàn)元）企業(yè)數(shù)（企業(yè)數(shù)（f）企業(yè)數(shù)比重（企業(yè)數(shù)比重（%）（f/f）10以下以下1012.510202531.2520302025.030401518.754050810.050以上以上22.5合計(jì)合計(jì)80100【例】由組距式數(shù)列確定眾數(shù):第一步：找出頻數(shù)(頻率)最大的組,即“眾數(shù)組”企業(yè)按工業(yè)增加企業(yè)按工業(yè)增加值分組（萬(wàn)元）值分組（萬(wàn)元）企業(yè)數(shù)（企業(yè)數(shù)（f）企業(yè)數(shù)比重（企業(yè)數(shù)比重（%）（f/f）10以下以下1012.510202531.2520302025.030401518.754050810.050以上以上22.5合計(jì)合計(jì)80100眾數(shù)的計(jì)算方法1121212231232012oOMLdML

47、dfffffffMUdU 下 限 公 式 ： 眾 數(shù)： 眾 數(shù) 所 在 組 的 下 限： 眾 數(shù) 所 在 組 的 組 距： 眾 數(shù) 組 前 一 組 的 次 數(shù)： 眾 數(shù) 組 的 次 數(shù)： 眾 數(shù) 組 后 一 組 的 次 數(shù)上 限 公 式 ： 眾 數(shù) 所 在 組 的 上 限12122300102510152520520101015101017.5(155205201017.5155LffffdMUM（ 萬(wàn) 元 ）下 限 公 式 ）（ 萬(wàn) 元 ） （ 上 限 公 式 ）12122300102510152520520101015101017.5(155205201017.5155LffffdMUM（

48、 萬(wàn) 元 ）下 限 公 式 ）（ 萬(wàn) 元 ） （ 上 限 公 式 ）12122300102510152520520101015101017.5(155205201017.5155LffffdMUM（ 萬(wàn) 元 ）下 限 公 式 ）（ 萬(wàn) 元 ） （ 上 限 公 式 ）12122300102510152520520101015101017.5(155205201017.5155LffffdMUM（ 萬(wàn) 元 ）下 限 公 式 ）（ 萬(wàn) 元 ） （ 上 限 公 式 ）12122300102510152520520101015101017.5(155205201017.5155LffffdMUM（ 萬(wàn)

49、元 ）下 限 公 式 ）（ 萬(wàn) 元 ） （ 上 限 公 式 ）企業(yè)按工業(yè)增加企業(yè)按工業(yè)增加值分組（萬(wàn)元）值分組（萬(wàn)元）企業(yè)數(shù)（企業(yè)數(shù)（f）企業(yè)數(shù)比重（企業(yè)數(shù)比重（%）（f/f）10以下以下1012.510202531.2520302025.030401518.754050810.050以上以上22.5合計(jì)合計(jì)80100眾數(shù)的計(jì)算方法1121212231232012oOMLdMLdfffffffMUdU 下限公式：眾數(shù)：眾數(shù)所在組的下限：眾數(shù)所在組的組距：眾數(shù)組前一組的次數(shù)：眾數(shù)組的次數(shù)：眾數(shù)組后一組的次數(shù)上限公式：眾數(shù)所在組的上限12122300102510152520520101015101

50、017.5(155205201017.5155LffffdMUM （萬(wàn)元）下限公式）（萬(wàn)元）（上限公式）12122300102510152520520101015101017.5(155205201017.5155LffffdMUM （萬(wàn)元）下限公式）（萬(wàn)元）（上限公式）12122300102510152520520101015101017.5(155205201017.5155LffffdMUM （萬(wàn)元）下限公式）（萬(wàn)元）（上限公式）12122300102510152520520101015101017.5(155205201017.5155LffffdMUM（ 萬(wàn) 元 ）下 限 公 式 ）

51、（ 萬(wàn) 元 ） （ 上 限 公 式 ）121223001025 10152520520101015101017.5(155205201017.5155LffffdMUM （萬(wàn)元）下限公式）（萬(wàn)元）（上限公式）dLM3212120)f-(f)f-(ff-f月產(chǎn)量（件）月產(chǎn)量（件） 工人人數(shù)（人）工人人數(shù)（人）200以下以下200400400600600以上以上37328合計(jì)合計(jì)50Xf件502200242525400oM日產(chǎn)量（件）日產(chǎn)量（件） 工人數(shù)（人）工人數(shù)（人）800800以下以下800800900900900900100010001000100011001100110011001200

52、1200120012001300130013001300以上以上404048485959206206828256564343合合 計(jì)計(jì)534534iLMo211件）(24.1054100)82206()59206(592061000 例：例：某生產(chǎn)小組某生產(chǎn)小組7個(gè)工人的日產(chǎn)量（件）分別為：個(gè)工人的日產(chǎn)量（件）分別為：32 35 36 40 41 43 46則中位數(shù)的位置是：則中位數(shù)的位置是：即排在第四位工人的日產(chǎn)量即排在第四位工人的日產(chǎn)量40件為中位數(shù)。件為中位數(shù)。例：例：某生產(chǎn)小組某生產(chǎn)小組8個(gè)工人的日產(chǎn)量（件）分別為：個(gè)工人的日產(chǎn)量（件）分別為：30 31 34 36 42 43 45

53、48則中位數(shù)的位置是：則中位數(shù)的位置是：將排在第四、第五位的工人的產(chǎn)量進(jìn)行簡(jiǎn)單算術(shù)平均，將排在第四、第五位的工人的產(chǎn)量進(jìn)行簡(jiǎn)單算術(shù)平均，即：即：421721n5 . 421821n（件）3924236 根據(jù)單項(xiàng)式數(shù)列計(jì)算：根據(jù)單項(xiàng)式數(shù)列計(jì)算： 步驟：第一，確定中位數(shù)位置：步驟：第一，確定中位數(shù)位置： 第二，對(duì)數(shù)列中各組的頻數(shù)進(jìn)行向上累計(jì)或第二，對(duì)數(shù)列中各組的頻數(shù)進(jìn)行向上累計(jì)或向下累計(jì)向下累計(jì) 第三，確定中位數(shù)：當(dāng)某一組的累計(jì)頻數(shù)大第三，確定中位數(shù)：當(dāng)某一組的累計(jì)頻數(shù)大于或等于于或等于 時(shí)，該組的變量值就是中位數(shù)。時(shí)，該組的變量值就是中位數(shù)。 中位數(shù)為中位數(shù)為3.3. 2f2f家庭人家庭人口數(shù)（

54、人口數(shù)（人 ）家庭數(shù)家庭數(shù)（戶）（戶）1 12 23 34 45 52 28 8535312124 4合計(jì)合計(jì)79795 .392792f累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)向上累計(jì)向上累計(jì)向下累計(jì)向下累計(jì)2 2101063637575797979797777696916164 4例：某企業(yè)工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品所需要的時(shí)間統(tǒng)計(jì)資料見(jiàn)下表：例：某企業(yè)工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品所需要的時(shí)間統(tǒng)計(jì)資料見(jiàn)下表： 某企業(yè)工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品所需時(shí)間分布數(shù)列某企業(yè)工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品所需時(shí)間分布數(shù)列因?yàn)槔塾?jì)次數(shù)，所以中位數(shù)的位置是：因?yàn)槔塾?jì)次數(shù)，所以中位數(shù)的位置是：從上表可以看出，第從上表可以看出，第27.5位次落在第四組內(nèi)，所以第四組的標(biāo)位次落在

55、第四組內(nèi)，所以第四組的標(biāo)志值志值18分即為中位數(shù)。分即為中位數(shù)。5 .272552 f單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算中位數(shù)單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算中位數(shù) 根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算 步驟：第一，確定中位數(shù)所在位置；步驟：第一，確定中位數(shù)所在位置； 第二，對(duì)數(shù)列的各組頻數(shù)進(jìn)行向上累計(jì)或向下累計(jì)；第二，對(duì)數(shù)列的各組頻數(shù)進(jìn)行向上累計(jì)或向下累計(jì)； 第三，確定中位數(shù)所在組；第三，確定中位數(shù)所在組； 第四，根據(jù)下面的比例插值法公式確定中位數(shù)；第四，根據(jù)下面的比例插值法公式確定中位數(shù)； 下限公式：下限公式： 上限公式：上限公式：2fifsfUMmme12ifsflMmme12中位數(shù)所在組下限中位數(shù)所在組下限中位數(shù)所在組頻數(shù)中位數(shù)所

56、在組頻數(shù)中位數(shù)所在組組距中位數(shù)所在組組距中位數(shù)組以前各組累計(jì)次數(shù)中位數(shù)組以前各組累計(jì)次數(shù)中位數(shù)組以后各組累計(jì)次數(shù)中位數(shù)組以后各組累計(jì)次數(shù)中位數(shù)所在組上限中位數(shù)所在組上限（萬(wàn)元）6 . 35 . 018282645 . 321dfSfxMmmLe（萬(wàn)元）6 . 35 . 01818264421dfSfxMmmue例如，某電子元件廠工人日產(chǎn)量資料如下：例如，某電子元件廠工人日產(chǎn)量資料如下：中位數(shù)所在組為：中位數(shù)所在組為：10001100件這一組。然后根據(jù)下限公式計(jì)算中位件這一組。然后根據(jù)下限公式計(jì)算中位數(shù)為：數(shù)為：日產(chǎn)量（件）日產(chǎn)量（件）工人數(shù)（人）工人數(shù)（人）累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)向上累計(jì)向上累計(jì)向下

57、累計(jì)向下累計(jì)800800以下以下404040405345348008009009004848888849449490090010001000595914714744644610001000110011002062063533533873871100110012001200828243543518118112001200130013005656491491999913001300以上以上43435345344343合合 計(jì)計(jì)534534ifsfLMmme12）件(25.105810020614725341000某市某市700700戶城鎮(zhèn)家庭按戶戶城鎮(zhèn)家庭按戶人均人均每月可支配收入分組資料每月可支

58、配收入分組資料計(jì)算中位數(shù)時(shí)，也可根據(jù)各組次數(shù)占總次數(shù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，也可根據(jù)各組次數(shù)占總次數(shù)的比重資料計(jì)算，結(jié)果和次數(shù)資料的相同。的比重資料計(jì)算，結(jié)果和次數(shù)資料的相同。人均收入中位數(shù)的位次為：人均收入中位數(shù)的位次為： 1090221802fdfSfLMmme12（元）15.50020068574722180400月產(chǎn)量（件）月產(chǎn)量（件） 工人人數(shù)（人）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)向上累計(jì)次數(shù)（人）（人）200以下以下200400400600600以上以上373283104250合計(jì)合計(jì)50【例例】某車間某車間5050名工人月產(chǎn)量的資料如下：名工人月產(chǎn)量的資料如下：XfdfSfLMmme12件75.

59、4934006003210250400eM中位數(shù)計(jì)算示意圖中位數(shù)計(jì)算示意圖個(gè)單位共2f個(gè)單位共1mSLU組距組距dmf中位數(shù)組次數(shù)：個(gè)單位共12mSfLMsfdfemm12dfSfLMmme12下限公式算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的比較算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的比較 2、如果一組數(shù)據(jù)具有單一眾數(shù)，但呈偏態(tài)、如果一組數(shù)據(jù)具有單一眾數(shù)，但呈偏態(tài)分布形狀，此時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和分布形狀，此時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)就不再是同一數(shù)值了。在尾巴拖在右眾數(shù)就不再是同一數(shù)值了。在尾巴拖在右邊的正偏態(tài)（或稱右偏態(tài)）分布中，眾數(shù)邊的正偏態(tài)（或稱右偏態(tài)）分布中，眾數(shù)最小，中位數(shù)居中，算術(shù)平均數(shù)最大；而最小，中位

60、數(shù)居中，算術(shù)平均數(shù)最大；而在尾巴拖在左邊的負(fù)偏態(tài)（或稱左偏態(tài)）在尾巴拖在左邊的負(fù)偏態(tài)（或稱左偏態(tài)）分布中，眾數(shù)最大，中位數(shù)居中，算術(shù)平分布中，眾數(shù)最大，中位數(shù)居中，算術(shù)平均數(shù)最小。上述關(guān)系如圖所示。均數(shù)最小。上述關(guān)系如圖所示。0_MMxe對(duì)稱分布對(duì)稱分布 均值均值 = 中位數(shù)中位數(shù) = 眾數(shù)眾數(shù)左偏分布左偏分布均值均值 中位數(shù)中位數(shù) 眾數(shù)眾數(shù)0_MMxe右偏分布右偏分布眾數(shù)眾數(shù) 中位數(shù)中位數(shù)均值均值_0 xMMe完全正態(tài)分布完全正態(tài)分布（有極大值）（有極大值）（有極小值）（有極小值）所以所以0 (X-M ) 0 ()如如果果，則則說(shuō)說(shuō)明明分分布布右右偏偏或或上上偏偏 0 (X-M ) 0 ()