1、China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists1China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists專題一:最優化問題Topic1: Optimum Problem2;.China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists3基本概念設函數 f ：Rn R, 稱向量x Rn為工具向量S R

2、n為可行的備擇集合，稱S為機會集合函數 f 稱為目標函數。一般形式： s.t. xS Rn瓦爾拉定理:緊集上的連續函數有最大值和最小值)(maxxfxChina Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists兩個變量的極值問題4;.China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists5如果函數 z= f (x,y) 二次連續可導，則函數取得極值的一階必要條件是：二階充分條件是： ，取得極大值 ，取得

3、極小值0yxff2, 0, 0 xyyyxxyyxxfffff2, 0, 0 xyyyxxyyxxfffff兩個變量的極值問題China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists6一個企業生產兩種產品，收入函數假設企業的成本函數：求該企業利潤最大時兩種產量的產量2211QPQPR兩個變量的極值問題：練習22212122QQQQCChina Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists7222121

4、221122QQQQQPQPCR兩個變量的極值問題：練習0421111QQPQ0421222QQPQ154154122211PPQPPQ4, 11, 422211211可以驗證達到效用最大China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists8如果函數 z= f (x1, x2, x3) 二次連續可導，則函數取得極值的一階必要條件是：二階充分條件是： 海森矩陣負定，取得極大值 海森矩陣正定，取得極小值0321fff三個變量的極值問題China Agri. Univ.College of Econ

5、omics and MangementMathematics for Economists9333231232221131211fffffffffH111fH222112112ffffHHH 3海森矩陣負定，取得極大值:海森矩陣正定，取得極小值0, 0, 0321HHH0, 0, 0321HHH三個變量的極值問題China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists10求函數的極值一階條件：唯一解：2422331222121xxxxxxxf例題：02)(08)(04)(3132123211xxf

6、xxfxxxf0321xxxChina Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists11201081114333231232221131211fffffffffH04111 fH031222112112ffffH543 HH 海森矩陣正定，取得極小值China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists12求函數的極值232223131323xxxxxxf練習：China Agri. Univ.Co

7、llege of Economics and MangementMathematics for Economists13求函數的極值一階條件：解：232223131323xxxxxxf練習：063)(22)(033)(313223211xxfxfxxf)41, 1 ,21()0 , 1 , 0(),(321xxx極大值不是極值China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists14局部最大值 Local Maximum如果函數為 f (x) 二次連續可微，則：如果在x*取得極大值，則令h= x

8、， x為任意小的非零向量，則 hxHfhhxfxfhxfT)(21)( grad)()(0)(21)( grad)()(hxHfhhxfxfhxfT0)(21)( grad)()(2xxHfxxxfxfxxfTChina Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists15局部最大值 Local Maximum令h= x，x為任意小的非零向量，則 如果0, 上式兩邊都除以 并令 0，則： grad f (x*)x 0 如果0, grad f (x*)x 0 所以grad f (x*) x0 ， gra

9、d f (x*) 0 所以 ，即海森矩陣半負定。0)(21)( grad)()(2xxHfxxxfxfxxfT0)( xxHfxTChina Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists16局部最小值 Local Minimum如果在x*取得極小值， grad f (x*) 0 即海森矩陣半正定。極大值和極小值的充分條件極大值的充分條件是海森矩陣負定極小值的充分條件是海森矩陣正定0)( xxHfxTChina Agri. Univ.College of Economics and Mangemen

10、tMathematics for Economists專題二:經典規劃Topic 2：Classical Programming17;.China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists18經典規劃設函數 f ：Rn R, 經典規劃的一般形式 s.t. g(x)=c, 或者 其中 xRn g: Rn R方法：建立拉格朗日函數 L(x,y)=f (x) + (c-g(x) 得到 grad f (x)- grad g (x) 0 g (x) c ),()(max21nxxxxfxfcxxxgxg

11、n),()(21China Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists19經典規劃要判斷最大值還是最小值，還要驗證拉格朗日函數的海森矩陣。拉格朗日函數的海森矩陣稱為加邊海森矩陣。nnnnnnnnLLLgLLLgLLLgggg21222212112111210HChina Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists20充分條件最大值:最小值:0) 1( , 0, 0032221212111212nn

12、LLgLLgggHHH0,32nHHHChina Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists21經典規劃設函數 f ：Rn R, 經典規劃的一般形式 s.t. g(x)=c, 其中 xRn g: Rn Rm 方法：建立拉格朗日函數 L(x,y)=f (x) + (c-g(x) 得到 grad f (x) grad g (x) 0 g (x) c )(maxxfxChina Agri. Univ.College of Economics and MangementMathematics for Economists22經典規劃要判斷最大值還是最小值，還要驗證拉格朗日函數的海森矩陣。拉格朗日函數的海森矩陣稱為加邊海森矩陣。222222),(xLxL