1、第四章微分法:)?()( xF積分法:)()?(xf互逆運(yùn)算不定積分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、 基本積分表基本積分表 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì) 一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì) 第四四章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念引例引例: 一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn),的作tAFsin下沿直線運(yùn)動(dòng) ,).(tv因此問題轉(zhuǎn)化為: 已知,sin)(tmAtv求?)(tv在變力試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度根據(jù)牛頓第二定律, 加速度mFta)(tmAsin定義定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函

2、數(shù) F (x) 及 f (x)滿足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .則稱 F (x) 為f (x) 如引例中, tmAsin的原函數(shù)有 ,cos tmA, 3cos tmA目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 問題問題: 1. 在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上連續(xù)在區(qū)間若函數(shù)Ixf上在則Ixf)( 存在原函數(shù) .(下章證明下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,)()(的一個(gè)原函數(shù)是若xfxF定理定理 2. 的所有則

3、)(xf原函數(shù)都在函數(shù)族CxF)( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .證證: 1)的原函數(shù)是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函數(shù)是設(shè))()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0為某個(gè)常數(shù)C它屬于函數(shù)族.)(CxF即目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義 2. )(xf在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為Ixf在)(上的不定積分,d)(xxf其中 積分號(hào)積分號(hào);)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達(dá)式被積表達(dá)式.x 積分變量積分變量;(P185)若, )()(xfxF則CxFxxf)(d)(

4、C 為任意常數(shù) )C 稱為積分常數(shù)積分常數(shù),不可丟不可丟 !例如,xxdeCxexx d2Cx 331xxdsinCx cos記作目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義:)(xf的原函數(shù)的圖形稱為)(xfxxfd)(的圖形的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族.yxO0 x的積分曲線積分曲線 . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過(guò)點(diǎn) (1, 2) , 故有C2121C因此所求曲線為12 xyyx)2 , 1 (O目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

5、 返回 結(jié)束 例例2. 質(zhì)點(diǎn)在距地面0 x處以初速0v力, 求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解解: 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸, 原點(diǎn)在地面, 指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為,0t此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為初速為,0 x設(shè)時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)所在位置為, )(txx 則)(ddtvtx(運(yùn)動(dòng)速度)tvtxdddd22g(加速度).0v垂直上拋 , 不計(jì)阻 先由此求)(tv 再由此求)(txxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 先求. )(tv,ddgtv由知tgtvd)()(1Ctg ,)0(0vv由,01vC 得0)(vtgtv再求. )(txtvtgtxd)()(020221Ctvtg,)0(0 xx由,

6、02xC 得于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為00221)(xtvtgtx由)(ddtvtx,0vtg 知故)0(0 xx )(txx xO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本積分表基本積分表 (P188)從不定積分定義可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思維利用逆向思維xkd) 1 ( k 為常數(shù))Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時(shí)0 x) 1( )ln()ln(xxx1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xx

7、dsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxxde)12(Cxexaxd)13(Caaxln目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求求.d3xxx解解: 原式 =xxd34134Cx313例例4. 求.dcossin22xxx解解: 原式=xxdsin21Cx cos21134xC目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)xxfkd)

8、(. 1xxgxfd)()(. 2推論推論: 若, )()(1xfkxfinii則xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 求.d)5(e2xxx解解: 原式 xxxd 25e)2(e)2ln(e)2(x2ln25xCxx2ln512lne2C目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例7. 求.d)1 (122xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln目錄 上頁(yè)

9、下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 求求.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 基本積分表 (見P188)2. 直接積分法:利用恒等變形恒等變形, 及 基本積分公式基本積分公式進(jìn)行積分 .常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)積分性質(zhì)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 證明 xxxx1arctan2)21arccos(),12arcsin(和.

10、12的原函數(shù)都是xx2. 若則的原函數(shù)是,)(exfx d)(ln2xxfx(P193題7)提示提示:xe)(e)(xxfxlne)(ln xfx1Cx 221目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 若)(xf是xe的原函數(shù) , 則xxxfd)(ln提示提示: 已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則)(xf的一個(gè)原函數(shù)是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5. 求下列積分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6. 求不定積分解：解：.d1e1e3xxxxxxd1e1e3xxxd1e) 1(e) 1e(e2xxxxxd) 1ee(2Cxxxee212目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7.