1、 第六次建模作業(yè)一.logistic模型模擬【摘要】物種種群數(shù)量的變化規(guī)律一直是我們所探究的問(wèn)題，考慮到一些自然災(zāi)害和物種間的食物鏈或競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，我們可以在一定條件下模擬某一種群的變化規(guī)律。對(duì)于人口的增長(zhǎng)一直是一個(gè)熱門話題，我們通過(guò)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)和擬合可以總結(jié)出某地區(qū)的人口變化規(guī)律，并在其他地區(qū)進(jìn)行模型檢驗(yàn)，分析該動(dòng)態(tài)機(jī)理模型是否在一定程度上成立。【關(guān)鍵詞】人口增長(zhǎng) 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì) 模型檢驗(yàn) 動(dòng)態(tài)機(jī)理模型【問(wèn)題重述】美國(guó)人口數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化：1790 1800 1810 1820 1830 1840 18503.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.21860 1870 1880 1890

2、 1900 1910 1920 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.51930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000123 132 151 179 204 227 251 281【模型建立】首先我們可用微積分的思想將連續(xù)的微分方程離散化，不妨設(shè)x(n)表示第n次普查所得人口數(shù)，根據(jù)logistic模型 dy/dt=r(1-y/k)y可得： 進(jìn)一步化簡(jiǎn)有 令 ，可得： 【求解模型】現(xiàn)在我們可以用線性擬合，借助matlab來(lái)進(jìn)行運(yùn)算得到r ,k運(yùn)行程序：x=3.9 ; 5.3 ; 7.2 ; 9.6 ; 12.9; 17.1; 23.

3、2; 31.4; 38.6 ; 50.2 ; 62.9 ; 76.0 ; 92.0 ; 106.5; 123 ; 132 ; 151; 179 ; 204 ; 227 ; 251 ; 281;y=for i=1:21 y(i)=(x(i+1,:)-x(i,:)./(x(i,:); y=y,y(i)end運(yùn)行結(jié)果運(yùn)用cftool工具線性模擬:resultlinear model poly1: f(x) = p1*x + p2coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -0.0009825 (-0.001254, -0.0007108) p2 =

4、 0.3178 (0.2832, 0.3525)goodness of fit: sse: 0.05449 r-square: 0.74 adjusted r-square: 0.727 rmse: 0.0522（結(jié)果顯然是有誤差的）再用非線性擬合，已知微分方程是dy/dt=r(1-y/k)y，它的解是 y=k/1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)下面用非線性擬合來(lái)實(shí)現(xiàn)并且用最小二乘法分析，matlab程序如下：function y=fun(b,t)y=b(1)./(1+(b(1)./3.9-1).*exp(-b(2).*t)t=1:22;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9

5、17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123 132 151 179 204 227 251 281; b0=323.5,0.3178b=nlinfit(t,y,fun,b0);x1=1:22;plot(t,y,'r*',x1,fun(b , x1)er=y-fun(b , t);q=er*er'q = 771.3288b = 366.7076 0.2530運(yùn)行結(jié)果： 根據(jù)上述步驟，這就得到我們模擬的美國(guó)人口增長(zhǎng)的logistic模型的表達(dá)式:dy/dt=0.2530*(1-y/366.7066)*y【模型分析】通過(guò)

6、圖像可以看出我們的模擬很大程度上是比較近似的，符合美國(guó)人口的增長(zhǎng)模式，但是也是含有較大誤差的。我們采取模型的離散化將微分方程用差分來(lái)代替必須基于很多假設(shè)上，并且這種離散化容易產(chǎn)生離群值的點(diǎn)；再用cftool工具擬合也會(huì)存在一定程度的誤差。二. 體重與人體攝取能量及運(yùn)動(dòng)的關(guān)系【摘要】人體增重是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的人體生理學(xué)問(wèn)題，涉及的因素包括日攝入量，日運(yùn)動(dòng)量，身體是否健康等。且對(duì)于不同人，遺傳因素也占據(jù)了頗為重要的地位。本文用數(shù)學(xué)建模方法，從人體增重機(jī)理入手，抽取主要客觀因素，提出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)以回避次要因素的干擾，成功簡(jiǎn)化問(wèn)題。【關(guān)鍵詞】動(dòng)態(tài)機(jī)理模型 平衡原理 連續(xù)模型 離散模型【問(wèn)題重述】某人的食量

7、是2500 cal/d, 其中1200cal 用于基本的新陳代謝。在健身訓(xùn)練中他所消耗的大約是16 cal/kg/d乘以他的體重(kg)，假設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量是100%有效，而1kg脂肪含熱量10000 cal. 求出這個(gè)人的體重是怎樣隨時(shí)間變化的。（嘗試用matlab 求解方程，解析解與數(shù)值解。）【模型假設(shè)】1.該人的能量?jī)?chǔ)存形式僅考慮脂肪（生物學(xué)告訴我們，脂肪是人體主要儲(chǔ)能物質(zhì)）；2.攝入能量向脂肪的轉(zhuǎn)化以及脂肪向熱能的轉(zhuǎn)化率為100%；3.該人的能量消耗只有基本代謝和健身；4.將該人的體重直接與每天的脂肪增量相對(duì)應(yīng)（這條假設(shè)或許是不合理）;5.人體健康,既不影響食量與代謝量和脂肪的轉(zhuǎn)

8、化.符號(hào)說(shuō)明：1：日攝入量；2：日基本代謝消耗量；3：第n日健身消耗量；4：第n日剩余能量；5. k:能量向脂肪轉(zhuǎn)化率（kg/cal）,k為常值，此處為6. ：初始體重 7. ：第n日體重增量（簡(jiǎn)稱日增重）【模型分析及求解】首先就，從問(wèn)題的變量中尋找平衡關(guān)系：由能量守恒知：一個(gè)人每天攝入的能量是消耗量、剩余量之和，即（1）；其次，每天的剩余能量對(duì)應(yīng)于日增重,日增重即日脂肪增量，攝入能量向脂肪的轉(zhuǎn)化以及脂肪向熱能的轉(zhuǎn)化率為100%，即（2）；最后有題目條件：在健身訓(xùn)練中他所消耗的大約是16 cal/kg/d乘以他的體重(kg)，即（3）。 （1） （2） 16 cal/kg (w(n-1)+w0

9、) ( 3 )運(yùn)用離散差分的方法模擬:對(duì)時(shí)間t求導(dǎo):; e(n)正比于w(n)其比例系數(shù)為,.然后再對(duì)未來(lái)一段時(shí)間進(jìn)行模擬。分別取30天，400天，2600天，4000天。s=dsolve('dx=0.13-0.0016*x','x(0)=60');t=0:30;ss=subs(s,'t',t);subplot(2,2,1);plot(t,ss),xlabel('30ÌìÄÚÌåÖض¯Ì¬Í¼

10、9;); grids=dsolve('dx=0.13-0.0016*x','x(0)=60');t=0:400;ss=subs(s,'t',t);subplot(2,2,2);plot(t,ss),xlabel('400ÌìÄÚÌåÖض¯Ì¬Í¼');grids=dsolve('dx=0.13-0.0016*x','x(0)=60');t=0:2600;ss=

11、subs(s,'t',t);subplot(2,2,3);plot(t,ss),xlabel('2600ÌìÄÚÌåÖض¯Ì¬Í¼');grids=dsolve('dx=0.13-0.0016*x','x(0)=60');t=0:6000;ss=subs(s,'t',t);subplot(2,2,4);plot(t,ss),xlabel('6000ÌìÄÚÌåÖض¯Ì¬Í¼');grids