1、一 彈性力學(xué)的作用1. 彈性力學(xué)與材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的綜合應(yīng)用，推動了工程問題的解決。彈性力學(xué)又稱為彈性理論，是指被研究的彈性體由于受外力作用或由于溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。彈性力學(xué)的任務(wù)與材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣，是分析各種結(jié)構(gòu)物或其構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位移，校核它們是否具有所需的強(qiáng)度和剛度，并尋求或改進(jìn)它們的計(jì)算方法。然而，這三門學(xué)科的研究對象上有所分工，研究方法也有所不同。彈性力學(xué)具體的研究對象主要為梁、柱、壩體、無限彈性體等實(shí)體結(jié)構(gòu)以及板、殼等受力體。在材料力學(xué)課程中，基本上只研究所謂桿狀構(gòu)件，也就是長度遠(yuǎn)大于高度和寬度的構(gòu)件。這種構(gòu)件在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)作用下

2、的應(yīng)力和位移，是材料力學(xué)的主要研究內(nèi)容。在結(jié)構(gòu)力學(xué)課程中，主要是在材料力學(xué)的基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，也就是所謂桿件系統(tǒng)，例如桁架、剛架等。至于非桿狀的結(jié)構(gòu)，例如板和殼以及擋土墻、堤壩、地基等實(shí)體結(jié)構(gòu)，則在彈性力學(xué)課程中加以研究。如果要對于桿狀構(gòu)件進(jìn)行深入的、較精確的分析，也必須用到彈性力學(xué)的知識。雖然在材料力學(xué)和彈性力學(xué)課程中都研究桿狀構(gòu)件，然而研究的方法卻不完全相同。在材料力學(xué)中研究桿狀構(gòu)件、除從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面進(jìn)行分析以外，大都還要引用一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假設(shè)，這就大大簡化了數(shù)學(xué)推演，但是，得出的解答有時只是近似的。在彈性力學(xué)中研究桿狀構(gòu)件，一般都不必引用

3、那些假定，因而得出的結(jié)果就比較精確，并且可以用來校核材料力學(xué)中得出的近似解答。雖然，彈性力學(xué)中通常是不研究桿件系統(tǒng)的，然而近幾十年來，不少人曾經(jīng)致力于彈性力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的綜合應(yīng)用，使得這兩門學(xué)科越來越密切地結(jié)合。彈性力學(xué)吸收了結(jié)構(gòu)力學(xué)中超靜定結(jié)構(gòu)分析方法后，大大擴(kuò)展了它的應(yīng)用范圍，使得某些比較復(fù)雜的本來無法求解的問題，得到了解答。這些解答雖然在理論上具有一定的近似性，但應(yīng)用在工程上，通常是足夠精確的。在近二十幾年間發(fā)展起來的有限元法，把連續(xù)彈性體劃分成有限個有限大小的單元，然后，用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法、力法或混合法求解，更加顯示了彈性力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)綜合應(yīng)用的良好效果。此外，對同一結(jié)構(gòu)的各個構(gòu)件，

4、甚至對同一構(gòu)件的不同部分，分別用彈性力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)或材料力學(xué)進(jìn)行計(jì)算，常常可以節(jié)省很多的工作量，并且能得到令人滿意的結(jié)果。總之，材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)和彈性力學(xué)這三門學(xué)科之間的界限不是很明顯，更不是一成不變的。我們不應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)它們之間的區(qū)別，而應(yīng)當(dāng)更多地發(fā)揮它們綜合應(yīng)用的威力，才能使它們更好地為我國的社會主義建設(shè)事業(yè)服務(wù)。2. 彈性力學(xué)在工程上的應(yīng)用越來越深入，越來越廣泛。在工程中出現(xiàn)的問題習(xí)慣上有如下的一些提法，如強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性、應(yīng)力集中，波的傳播、振動、響應(yīng)、熱應(yīng)力等問題，這些都是彈性力學(xué)應(yīng)用研究的對象。強(qiáng)度問題是研究受載荷物體中的應(yīng)力分布和應(yīng)力水平，研究在怎樣的載荷下不發(fā)生永久變形。剛度問

5、題是研究受載荷物體在怎樣的載荷下應(yīng)變或位移達(dá)到規(guī)定允許的限度。穩(wěn)定性問題是研究彈性結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)元件在靜力或動力平衡時發(fā)生不穩(wěn)定情況的條件。應(yīng)力集中問題是研究當(dāng)物體中有孔口或缺口存在時，在其附近發(fā)生應(yīng)力增高現(xiàn)象。彈性動力學(xué)有波的傳播、振動和響應(yīng)等問題，由于考察的物體大小、形狀，邊界條件及其固有性質(zhì)不同，以及所考察問題的外載荷和時間段的不同，故有上述問題的提法和分類，但本質(zhì)上都和波的傳播有關(guān)。在近代航天、航空、航海、海洋、機(jī)械、土木、化工等工程領(lǐng)域中不斷地提出上述各種問題需要解決，在設(shè)計(jì)時要求高度的準(zhǔn)確性，這都離不開彈性力學(xué)的應(yīng)用，也在促進(jìn)彈性力學(xué)的發(fā)展。3. 彈性力學(xué)的基礎(chǔ)知識是正確利用有限元的基

6、礎(chǔ)。目前，有限單元法已經(jīng)在航空、造船、機(jī)械、冶金、建筑等工程部門廣泛應(yīng)用，并取得顯著效果，它是一種行之有效的偏微分方程數(shù)值解的計(jì)算方法。現(xiàn)在各行各業(yè)都已經(jīng)擁有了一定數(shù)量的商業(yè)有限元程序。如何使這些程序?yàn)楦嗟娜苏莆蘸蛻?yīng)用，極大限度地發(fā)揮和應(yīng)用這些程序解決工程問題，是非常重要的。但是有限元商業(yè)程序不是一個“傻瓜”式的應(yīng)用程序，它是基于一定的基礎(chǔ)理論知識，如用有限元求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變問題就是基于彈性力學(xué)的知識建立起來的，對彈性力學(xué)知識的掌握和理解程度直接關(guān)系到有限元程序應(yīng)用的效果。二彈性力學(xué)在常用坐標(biāo)系下的基本方程歸納從靜力平衡，變形幾何，應(yīng)力應(yīng)變?nèi)齻€方面的條件求得的基本方程有：2.1直角坐標(biāo)系

7、中的基本方程：2.1.1平衡微分方程： 其中，作用于物體體積上的應(yīng)力為： A=， ， ， ，作用于微元體上的體力三個分量為：，。 本式表示了應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系，稱為平衡微分方程，又成納維葉（Navier）方程。2.1.2幾何方程： 其中， 為6個應(yīng)變分量； ，為3個位移分量。2.1.3物理方程： ，以上公式就是各向同性材料的廣義Hooke定律，表示了線性彈性應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系。為橫向變形系數(shù)（泊松比），E為拉壓彈性模量，為剪切彈性模量，且。2.2極坐標(biāo)系中的基本方程：2.2.1平衡微分方程： 圖中所示即為極坐標(biāo)系下扇形微單元體PACB的應(yīng)力及應(yīng)變分析，得到以下的平衡微分方程： 2.2

8、.2幾何方程： 在極坐標(biāo)系中，通過對物體內(nèi)一點(diǎn)P的兩個正交線元（PA=dr,PB=）的變形幾何分析，得到相應(yīng)的幾何方程。用和分別表示線元PA和PB的相對伸長，即正向和切向正應(yīng)變，用表示該兩個正交線元直角的變化，即剪應(yīng)變。用，分別表示P點(diǎn)的徑向和環(huán)向位移。它的平面問題幾何方程如下： 2.2.3本構(gòu)方程: 只需將直角坐標(biāo)系下本構(gòu)方程的x,y用r, 替換即可得到極坐標(biāo)系的本構(gòu)方程，如下： 2.2.4邊界條件： 力的邊界條件：這里的外法向方向余弦（l，m）是對局部標(biāo)架定義的，表示沿著r和方向的給定面力分量。 位移邊界條件：。三彈性力學(xué)解題的主要方法3.1位移解法 以位移作為基本未知量，將基本方程化為用

9、位移表示的控制方程，邊界條件也化為用位移表示；在給定的邊界條件下求解控制方程，從而求得位移解，然后將位移代入幾何方程求導(dǎo)得到應(yīng)變，再將應(yīng)變代入本構(gòu)方程得到應(yīng)力解。此法的關(guān)鍵在于導(dǎo)出位移表示的控制方程，其方程如下： 通常稱為拉姆（Lame）方程,即位移法求解的控制方程。 位移邊界條件：。3.2應(yīng)力解法以應(yīng)力為基本未知量，將基本方程化為用應(yīng)力表示的控制方程，邊界條件也用應(yīng)力表示，在給定的邊界條件下求解控制方程得到應(yīng)力解，將應(yīng)力解代入本構(gòu)方程得到應(yīng)變解，再運(yùn)用幾何方程積分可以求得位移解。應(yīng)力法的控制方程如下：（1）平衡方程 （2）相容方程 應(yīng)力法的邊界條件如下： 由上面的公式可以看出：如果問題是常體

10、力，單連通，應(yīng)力邊值問題，由于在控制方程和邊界條件中都不含材料常數(shù)，因此應(yīng)力解與材料無關(guān)。四例題4.1如圖所示單位厚度平板，兩端受均布壓力P作用下，上，下邊界剛性約束，不考慮摩擦，不計(jì)體力，用位移法求解板的應(yīng)力和位移。 解：由對稱性及上，下邊界的剛性約束條件可設(shè)： u=u(x),v=0 （a）代入拉姆方程式，第2式稱為恒等式，第1式成為 （b）解之得: u=ax+b (c)位移邊界條件：已自動滿足。由對稱性 （d）將（c）式代入（d）式得： b=0從而有 u=ax (e)待定系數(shù)a可以由位移表示的應(yīng)力邊界條件確定，為此將(e)式代入邊界條件式得： (f)右邊界：，代入(f)式的第1式得 (g)

11、第二個方程式為恒等式。 左邊界結(jié)果相同。上，下邊界，第一個方程式為恒等式；因?yàn)閥方向已提位移邊界條件，故第二個方程不能作為邊界條件引入。 將(g)式代回（e）式得位移 （h）再將（h）式及v=0代入以下方程： 得到應(yīng)力分量：。4.2 用應(yīng)力法求解例4.1給出問題的應(yīng)力和位移。 解：根據(jù)邊界上的受力情況，我們試取 （a）顯然，對于解(a)式，（1）已滿足左右兩側(cè)的邊界條件及上，下兩側(cè)無摩擦的已知條件；（2）滿足了平衡方程式和相容方程式。本體為混合邊值問題，待定常數(shù)A只能由位移邊界條件（b）式確定。 （b）為此，必須由解（a）式解出相應(yīng)的應(yīng)變和位移。 將（a）式代入本構(gòu)方程式得： （c）利用幾何方程式得第1,2式積分 （d）代入幾何方程的第3式，并注意到（c）式得第3式，得 所以， 其解為 （e）于是 （f）利用對稱性條件和可得 再利用邊界條件（b）式可解得 （g）從而有應(yīng)力和位移解： 4.3寫出圖中所示懸臂梁