1、第二部分第二部分 金屬塑性變形的物性方金屬塑性變形的物性方程程 5.10 金屬塑性變形過程和力學特點 5.11 塑性條件方程（屈服準則） 5.12 塑性應力應變關系（本構關系） 5.13 變形抗力曲線與加工硬化 5.14 影響變形抗力的因素第1頁/共206頁5.1 5.1 應力與一點的應力狀態應力與一點的應力狀態外力(Load)(Load)與內力(Internal force)(Internal force) 外力外力P P：指施加在變形體上的外部載荷。可以分成表面力和體積力兩大類。表面力即作用于工件表面的力 ，它有集中載荷和分布載荷之分，一般由加工設備和模具提供。體積力則是作用于工件每一質點

2、上的力， 如重力、磁力、慣性力等等。 內力內力Q Q：內力是材料內部所受的力，它的產生來自于外界作用和物體內維持自身完整性的力。 第2頁/共206頁應力S S 是內力的集度 內力和應力均為矢量 應力的單位：1Pa=1N/m1Pa=1N/m2 2=1.0197Kgf/mm=1.0197Kgf/mm2 2 1MPa=10 1MPa=106 6N/mN/m2 2應力是某點A A的坐標的函數，即受力體內不同點的應力不同。應力是某點A A在坐標系中的方向余弦的函數，即同一點不同方位的截面上的應力是不同的。應力（應力（StressStress）：應力是單位面積上的內力）：應力是單位面積上的內力 （見右圖）

3、（見右圖）。其定義式為：。其定義式為：Sn=dF/dQSn=dF/dQQFSAnlim0第3頁/共206頁00000dPPSdFF0102020coscoscoscos1sincos sinsin2PPSFFSSPP0CCQF0C1C1S0F1NQ單向均勻拉伸時任意截面上的應力第4頁/共206頁一點的應力狀態一點的應力狀態：是指通過變形體內某點的單元體所有截面上的應力的有無、大小、方向等情況。一點的應力狀態的描述一點的應力狀態的描述 數值表達： x x=50MPa=50MPa， xzxz=35MPa=35MPa 圖示表達：在單元體的三個正交面上標出 張量表達： (i,j=x,y,z)(i,j=

4、x,y,z) .xxyxzijyyzz5.1.2 5.1.2 一點的應力狀態及應力一點的應力狀態及應力張量張量第5頁/共206頁第6頁/共206頁 ijij xxxx、 xyxy、 xzxz、 yxyx、 yyyy、 yzyz、 zxzx、 zyzy、 zzzz i i應力作用面的外法線方向 jj應力分量本身作用的方向 當 i=j i=j 時為正應力 i i、j j同號為正（拉應力），異號為負（壓應力） 當 ij ij 時為剪應力 i i、j j同號為正，異號為負 第7頁/共206頁 任意面ABC其法線的方向余弦為N（l，m，n）設微分面ABC的面積為dF，則有OBC=dFx=ldFOCA=d

5、Fy=mdFOAB=dFz=ndF設：ABC上的全應力為S，其在三個坐標軸上的分量為 xyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSyNSOdFSxSz任意斜切微分面上的應力xsyszs第8頁/共206頁由靜力平衡得， 0 xP0ndFmdFldFdFSzxyxxx0yP0ndFldFmdFdFSzyxyyy0zP0ldFmdFndFdFSzxzyzzmlnSnlmSnmlSyzxzzzzyxyyyzxyxxxxyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSyNSOdFSxSz任意斜切微分面上的應力第9頁/共206頁TzyxSSSS,令Tinmll,iijjlS則2222zyxSSSSnlmnlmn

6、mlnSmSlSzxyzxyzyxzyx2222222 SxyzlxSySzSSjT=iijl剪應力外力全應力全應力求和約定正應力第10頁/共206頁在xyz中為 ijxyzjkliijlklll，k= xyzjkl為新坐標軸在原坐標系的方向余弦。3個坐軸，共9個。 ilmn元素求合約定xyzxxlXy z ),(zyxjil ljiij第11頁/共206頁5.2 5.2 點的應力狀態分析點的應力狀態分析5.2.1 5.2.1 主應力及應力張量不變量主應力及應力張量不變量5.2.2 5.2.2 主剪應力和最大剪應力主剪應力和最大剪應力5.2.3 5.2.3 八面體應力與等效應力八面體應力與等效

7、應力第12頁/共206頁5.2.1 5.2.1 主應力及應力張量不變量主應力及應力張量不變量 主應力主應力（Principal stressPrincipal stress ）：指作用面上無切應力時所對應的正應力，該作用面稱作主平面，法線方向為主軸或主方向 該面叫做主平面，法線方向為主方向第13頁/共206頁 主應力：=0的作用面上的正應力為主應力。 主平面 在任意面上 iijjlSnlmnlmnmlnSmSlSzxyzxyzyxzyx2222222 S若=0，則為主應力平面，即主平面上S= nSmSlSzzyyxxnSmSlSzyxxyxzzyyzzxyxxyzSzS= ABCxyzSxSy

8、N主平面上的應力第14頁/共206頁iilS將代入mlnSnlmSnmlSyzxzzzzyxyyyzxyxxx0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx得l=m=n=0 其一組解為 1222nml不成立條件：系數行列式的值=0 0)()()(zyzxzzyyxyzxyxx即02)()(22222223xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyx展開)(1zyxJ令)(2222zxyzxyxzzyyxJ22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ032213JJJ第15頁/共206頁例題1物體中某一點的應力張量為 解： 2100100100/10

9、010ijMN m試求主應力值及 ,(1,2,3)jJj 1()10 xyzJ2222()10 ( 10)( 10) 10 10 10 100200 xyyzzxxyyzzxJ 22232210 10 10( 10) 100 xyzxyyzzxxyzyzxzxyJ 32123320102000JJJ12320,0,10 101010-10第16頁/共206頁解方程組得 123)(3211J1332212J3213J232221nml由主應力表示的任意平面上的正應力和剪應力 2222zyxSSSS2232221223222221222)(nmlnmlSSyNxyxzzyyzzxyxxyzABCx

10、yzSOdFSxSz任意斜切微分面上的應力zxyxzzyyzzxyxxyzSzS= ABCxySxSyN主平面上的應力第17頁/共206頁nSmSlSzyx1222nml1223322222211SSS213321ss1s2s3應力橢球面第18頁/共206頁主應力圖第19頁/共206頁 討論討論： 1. 1. 可以證明，在應力空間，主應力平面是存在的；2. 2. 三個主平面是相互正交的；3. 3. 三個主應力均為實根，不可能為虛根；4. 4. 應力特征方程的解是唯一的；5. 5. 對于給定的應力狀態，應力不變量也具有唯一性; ;6. 6. 應力第一不變量I I1 1反映變形體體積變形的劇烈程

11、度，與塑性變形無關；I I3 3也與塑性變形無關；I I2 2與塑性變形無關。7. 7. 應力不變量不隨坐標而改變，是點的確定性的判據。第20頁/共206頁5.2.2 5.2.2 主剪應力和最大剪應主剪應力和最大剪應力力 剪應力取極值的面上的剪應力稱為主剪應力。 2232221223222221222)(nmlnmlS123為應力主軸 2221mln將代入上式232322312322322223212)()()()(mlml， 0l0m123123SN第21頁/共206頁02202232232231323123223131mmllml討論 一組解為l=m=0，n=1，=0； 123=若球應力狀

12、態，0 123 =若圓柱應力狀態 則由第一式得l= 21一般情況 123若若l0，m0，則上式必有 12=主平面 與前提條件不符，故這時無解 若l=0，m0，則聯解得m= 21則得此斜面的方向余弦為：l=0，m=n= 21若l 0，m=0，則聯解得l = 21則得此斜面的方向余弦為：m=0， l =n= 21則得此斜面的方向余弦為：n=0， l =m= 21第22頁/共206頁將上述方向余弦分別代入 232221nml2232221223222221222)(nmlnmlS得 222211213313223最大剪應力面上的主應力 222211213313223最大剪應力221max主剪應力01

13、222112221122121245設021第23頁/共206頁01222112221122121245設021主切應力平面上的正應力第24頁/共206頁5.2.3 5.2.3 八面體應力與等效應力及應力莫爾八面體應力與等效應力及應力莫爾園園213232221813218)()()(3131)(31I28288P 在主應力空間中，每一卦限中均有一組與三個坐標軸成等傾角的平面，八個卦限共有八組，構成正八面體面正八面體面。八面體表面上的應力為八面體應力八面體應力。正應力正應力剪應力剪應力總應力總應力 八面體上的正應力與塑性變形無關，剪應力與塑性變形有關。第25頁/共206頁u 八面體應力的求解思路

14、：88321,),(zyxjiij21,II28122(3 )3II關鍵關鍵第26頁/共206頁等效應力等效應力)()()(21213232221e82/ 32222221()()()6()2exyyzzxxyyzzx 為了使不同應力狀態具有可比性，定義了等效應力等效應力e e（Effective stress Effective stress ），也稱相當應力相當應力。應變能相同的條件下或公式：公式：第27頁/共206頁應力莫爾圓 321以應力主軸為坐標軸，作一斜微分面，其方向為l，m，n則有 232221nml232322312322322223212)()()()(mlml1222nml

15、)()()()()()(231323221232213231212322nml通過求解上述三個方程得第28頁/共206頁變換形式得到 232312122232)2()()2(l213123222213)2()()2(m2212231322221)2()()2(ml以和為軸，表示上述方程的圖形，便有三個圓。 O213PP213232221L、m、n分別為定值的斜微分面上的、 的變化規律第29頁/共206頁將l=0，m=0，n=0分別代入 232312122232)2()()2(l213123222213)2()()2(m2212231322221)2()()2(ml2322232)2()2(21

16、32213)2()2(2212221)2()2(得 第30頁/共206頁321 2 1yzx 3321231max maxO1 O2 O3 232221231O1：l=0，m，n變化（，）軌跡O2：m=0，l，n變化（，）軌跡O3：n=0，m，l變化（，）軌跡 第31頁/共206頁1. 1. 等效的實質？ n是（彈性）應變能等效（相當于）。2. 2. 什么與什么等效？ n復雜應力狀態（二維和三維）與簡單應力狀態（一維）等效。3. 3. 如何等效？ n等效公式（注意：等效應力是標量，沒有作用面）。4. 4. 等效的意義？n屈服的判別、變形能的計算、簡化問題的分析等。討論討論第32頁/共206頁5

17、.3 5.3 應力張量的分解與幾何表示應力張量的分解與幾何表示 塑性變形時體積變化為零，只有形狀變化。因此，可以把ijij（Stress tensor Stress tensor ）分解成與體積變化有關的量和形狀變化有關的量。前者稱為應力球張量應力球張量(Spherical stress (Spherical stress tensor) tensor) ，后者稱為應力偏張量應力偏張量(Deviatoric stress tensor) (Deviatoric stress tensor) 。設m m為平均應力，則有1()3mxyz按照應力疊加原理，ijij具有可分解性。因此有()ijijmi

18、jmij ijmi j ( , , )i jx y z 式中，當i ij j時，ijij1 1；當ijij時，ijij0 0第33頁/共206頁100.0 10.00 1xxyxzxxyxzyyzyyzmzz,xxmyymzzm即: : 上式第一項為應力偏張量，其主軸方向與原應力張量相同；第二項為應力球張量，其任何方向都是主方向，且主應力相同。 值得一提的是，mijmij只影響體積變化，不影響形狀變化，但它關系到材料塑性的充分發揮。三向壓應力有利于材料塑性的發揮。第34頁/共206頁 應力偏張量仍然是一個二階對稱張量，同樣有三個不變量，分別為 ， ， 。1I2I3I1xyz2222222xyy

19、zzxxyyzzx3ijI = + + =01I =( - ) +( - ) +( - ) +6( + + )6I = 10I 表明應力偏張量已不含平均應力成分；2I與屈服準則有關3I反映了變形的類型： 0 0表示廣義拉伸變形， 0 0表示廣義剪切變形，0 0表示廣義壓縮變形。3I3I3I第35頁/共206頁=+=+mmmmmmyxzyxxyxzzxzyyz123123xyzyzyxxyxzzyzxa)b)應力張量應力球張量應力偏張量應力張量的分解 任意坐標系主軸坐標系第36頁/共206頁根據應力偏張量可以判斷變形的類型 應力狀態分析a) 簡單拉伸b) 拉拔c) 擠壓=+-8-8-2-3-33

20、-6-6-6-2-2444-2-2-1-1-1222-26=+=+-2第37頁/共206頁u 討論：討論：分解的依據：靜水壓力實驗證實，靜水壓力不會引起變形體形狀的改變，只會引起體積改變，即對塑性條件無影響。為引出形狀改變的偏應力張量，為引出體積改變的球張量（靜水壓力）。第38頁/共206頁5.4 5.4 應力平衡微分方程應力平衡微分方程 應力平衡微分方程應力平衡微分方程就是物體任意無限相鄰兩點間ijij關系，可以通過微體沿坐標軸力平衡來得到，一般應力平衡方程在不同坐標系下有不同的表達式。 直角坐標下的應力平衡微分方程* * 000 xyxxzyxyyzzyzxzxyzxyzxyz簡記作0ij

21、i( , )i jx y z第39頁/共206頁 推導原理：推導原理： 靜力平衡條件：靜力平衡條件： 靜力矩平衡條件：靜力矩平衡條件： 泰勒級數展開：泰勒級數展開： 0, 0, 0ZYX0, 0, 0zyxMMM221( )1( )()( ).1!2!f xf xf xdxf xxxxxfxf)()(xxxdxx第40頁/共206頁設一點Q（x，y，z）取單元體：dx，dy，dz dzzzyzydxxxyxydyyyydzzzzdxxxxdxxxzxzdyyyxyxdyyyzyzdzzzxzxxyzyxzxzxyyzyxzyzxoQQ靜力平衡狀態下六面體上的應力Q點處的應力狀態為 ij),(z

22、yxfx如： 在dx面上 dxxdxxfdxxfzyxfzydxxfxx22221),(),(條件是應力連續，一階連續 第41頁/共206頁不計體力，在y方向上有 dzzzyzydxxxyxydyyyydzzzzdxxxxdxxxzxzdyyyxyxdyyyzyzdzzzxzxxyzyxzxzxyyzyxzyzxoQQ靜力平衡狀態下六面體上的應力0)()()(dxdydzzdydzdxxdxdzdyyzyzyzyxyxyxyyyy0zyxzyyxy同理： 0zyxzxyxx0zyxzyzxz0iijx簡化記為 應力未知量有6個，三個方程無法求確定解。 第42頁/共206頁圓柱坐標下的應力平衡微

23、分方程圓柱坐標下的應力平衡微分方程球坐標下的應力平衡微分方程？球坐標下的應力平衡微分方程？ 010210)(11rzrrrzrrrzrrrzzzrzrzrrrzrrr第43頁/共206頁5.5 5.5 應變與位移關系方程應變與位移關系方程 物體變形時，內部各質點都在運動，質點在不同時刻所走的距離稱作位移位移(Displacement) (Displacement) 。而變形則是指兩點間距的變化。這種變化有絕對變形與相對變形之分。應變應變(Strain)(Strain)屬相對變形，它是由位移引起的。 研究變形通常從小變形著手。小變形是指數量級不超過1010-3-31010-2-2的彈塑性變形。大

24、變形可以劃分成若干小變形，由小變形疊加而來。第44頁/共206頁小變形分析理論一、小變形1、正應變2、剪應變231010rrxyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2單元體在xoy坐標平面內的應變xrrrrx1xxrrxryryr第45頁/共206頁例題第46頁/共206頁xxrryyrrzzrrxyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2單元體在xoy坐標平面內的應變xrrrrx1xxrrxryryr第47頁/共206頁工程剪應變xyyxx

25、y21剪應變xyyxxy設)(21yxxyyxxy則xyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2單元體在xoy坐標平面內的應變xrrrrx1xxrrxryryryxxyxyrrtan第48頁/共206頁xyyx這時，在和中已包含了剛體轉動。設剛體轉動為 z則有)(21xyyxzzyxyxzxyxyyxxyxyOxy=+xyyxxy21ABCPABCPPCBAzxyxyzxy2切應變和剛性轉動第49頁/共206頁同理 zyyzyzxzzxzx)(21)(21)(21xzzxxzzxzyyzzyyzyxxyyxxy剪應變

26、剛體轉動 )(21)(21)(21xyyxzzxxzyyzzyx相對位移張量 xxyxzijyxyyzzxzyze一般情況下 yxxyzyyzxzzx ijjiee111()()()222ijijjijiijjiijjieeeeeeee000 xxyxzzyijyxyyzzxzxzyzyxe變形張量 剛體轉動張量 第50頁/共206頁小變形幾何方程 位移分量和位移增量( , , )( , , )( , , )( , , )iiuu x y zvv x y zww x y zuu x y z(,)iiiijiijuu xdx ydy zdzuudxuux x0yzM(xi) uwM1)(idxx

27、Miu1Miiuuuvw變形體內無限接近兩點的位移分量及位移增量第51頁/共206頁iijjuudxxuuuudxdydzxyzvvvvdxdydzxyzwwwwdxdydzxyzuuududxdydzxyzvvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz如果MM平行于某X坐標軸uudxxvvdxxwwdxxx0yzM(xi) uwM1)(idxxMiu1Miiuuuvw第52頁/共206頁位移分量與應變分量的關系ccbbuudxxvvdxxuudyyyvdyyxy2xyyxd1dyuu+uc1db(x, y+dy)ubu+ubb1b2cC1C2+cdxu+b0 xy第53頁/共206

28、頁ccxuuuuudxdxxbbyvvvvvdydyy1 21 2tan(1)1byxbuudybbuuuyyvva bvvdyvdyyy1yvy tanyxyxuyxy2xyyxd1dyuu+uc1db(x, y+dy)ubu+ubb1b2cC1C2+cdxu+b0 xy第54頁/共206頁12jiijjiuuxx小變形幾何方程 同理得 tanxyxyvx因而工程切應變為 xyyxyxxyuvyx則切應變為 1()2xyyxuvyx同樣，單元體在可得單元體在yoz和zox 坐標平面上投影的幾何關系1()21()21()2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxziij

29、ujijiux第55頁/共206頁柱坐標系下幾何方程：rrUr1rUUrrzzUz11()2rrrUUUrrr11()2zzzUUzr1()2rzzrrzUUzr第56頁/共206頁球坐標系下幾何方程：UUUUUUUUUUUUUUUsin121ctg1sin121121cossinsin11 第57頁/共206頁 1.1.物理意義：表示位移與應變之間的關系； 2.2.位移包含變形體內質點相對位移產生的應變和變形體的剛性位移( (平動和轉動）； 3.3.工程剪應變和理論剪應變 討論討論第58頁/共206頁4.4.應變符號規定： W正應變或線應變 ( );( ); 伸長為正，縮短為負；W剪應變或切

30、應變（ ）; ; 夾角減小為正，增大為負；5.5.推導中應用到小變形假設小變形假設、連續性假設連續性假設及泰勒級數泰勒級數展開展開等。,xyyzzxn第59頁/共206頁5.5.2 5.5.2 變形連續方程變形連續方程 如已知一點的應變，要根據幾何方程確定其三個位移分量時，六個應變分量應有一定的關系，才能保證物體的連續性。這種關系為變形連續方程變形連續方程或協調方程協調方程。 從幾何方程可導出以下二組變形連續方程變形連續方程。 第60頁/共206頁yxzyxzzxyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx222222222222222222212121zxxzyzzyxyy

31、xxzzxzyyzyxxy變形連續方程：第61頁/共206頁推導過程xux)()(22222yuyxxuyyxyvy)()(22222xvyxyvxxyyxxvyuyxxvyxyuyxyxxyxy222222222)()()( 第62頁/共206頁同理得 yxyxyzzyyxyxxyxyzyyzxyxy222222222222222212121上式表示在每個坐標平面內應變分量之間的關系 不同的坐標平面中應變之間 233xuuy zx y zx y z 尋找22332111222xyuvuvx yx zxx y zx z 22223332222221212xyxux y zx zx yvwxzx

32、yvwxzyx 2222()xyyzxxzxyyzxzx yx zx yxxzyx 第63頁/共206頁22()()yyxxzxzyzxyzxzx zyxzyx yzyxz 同理得 ij自動滿足連續方程（6個） ij積分必須滿足全微分條件，變形才是協調的 第64頁/共206頁討論討論 1.1.物理意義：表示各應變分量之間的相互關系“連續協調”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積； 2.2.應變協調方程說明：同一平面上的三個應變分量中有兩個確定，則第三個也就能確定；在三維空間內三個切應變分量如果確定，則正應變分量也就可以確定； 3.3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應變分量自然滿足協調方程；

33、若是按其它方法求得的應變分量，則必須校驗其是否滿足連續性條件。 第65頁/共206頁5.6 5.6 點的應變狀態點的應變狀態xijxyyxzyzz( i, j = x, y, z ) 點的應變狀態點的應變狀態：指過某一點任意方向上的正應變與切應變的有無情況。可用該點截取的無限小單元體的各棱長及棱間夾角的變化來表示。表示成張量形式：第66頁/共206頁NMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應變第67頁/共206頁2222,dxdydzlmnrrrrdxdydz現求ab方向上的線應變

34、221222()()()()rrdrdxdudydvdzdwrdrdxdudydvdzdwrrdrdudvdwlmnrrrruuududxdydzxyzvvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyzNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應變第68頁/共206頁222222()()()2()rxyzxyyzzxuvwuvvwwulmnlmmnnlxyzyxzyxzlmnlmmnnlNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)u

35、i+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應變第69頁/共206頁下面求ab變形后的偏轉角 r222221122()irrduNbMbNMrrr22222111iNMNbMbduMb1tanrrNMNMa Mr1rdrMbrr121122jjiiijjjjiijjiijjjijiuuuududxdxxxxxuuuudxdxxxxx12jiijijjjiuududxdxxx 222()rirdu11a Ma NrNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應變第70頁/共2

36、06頁)(21)(21)(21xyyxzzxxzyyzzyxjijiux12yxzyxuuxxNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應變第71頁/共206頁塑性變形體積不變條件 0Vdxdydzdxdydz1(1)(1)(1)(1)xxyyzzxyzxyzVdddd d d變形前 變形后 100 xyzVVV體積變化率 xdx第72頁/共206頁Poissons rationWhen an object is under tensile stress, it usually get

37、s longer and thinnernhence, there is a negative strain in the direction perpendicular to the applied stresslz/2l0 xlx/2l0z xz yz if material is isotropicsince the two strains are always of opposite sign, Poissons ratio is always positive彈性變形00.5 塑性變形=0.5 第73頁/共206頁主變形，應變張量，不變量，主剪應變，最大剪應變 1、主應變 ：0iji

38、i只有 xxyxzijyxyyzzxzyz其特征方程為 321230III1123212233 122231230()()2()XyzXyyzzXXyzxyyzzxXyzyzxzxyIIIr vv 應變張量不變量 第74頁/共206頁主剪應變 1212232331311()21()21()2rrr 方向為與主應變方向成 45max12, 23, 31maxrr r r應變莫爾圓，類似應力莫爾圓 O3OO1O2123121323221232213應變莫爾圓12312331c) 伸長類變形b) 剪切(平面)類變形a) 壓縮類變形三種變形類型第75頁/共206頁應變偏量，球面張量，八面體應變，等效應

39、變 12311110333xyzIm（ ）= （ ）=塑性變形 00 xmxyxzmijyxymyzmijijmzxzyzmm 則 應變偏張量反映形狀變化 應變球張量反映體積變化 第76頁/共206頁八面體應變 123222222222122331131()()()6()31()()()3xyyzzxxyyzzx 8m8（ ）=等效應變：（廣義應變，應變強度） 22222222212233122()()()6()32()()()3xyyzzxxyyzzx8第77頁/共206頁5.7 5.7 應變增量應變增量全量應變與增量應變的概念 前面所討論的應變是反映單元體在某一變形過程終了時的變形大小，稱

40、作全量應變全量應變。而增量應變增量應變則是指變形過程中某一極短階段的無限小應變，其度量基準不是原始尺寸，而是變形過程中某一瞬間的尺寸。第78頁/共206頁速度分量和速度場簡記為 速度場即是位移的函數又是時間的函數 tttuutuuii),(),(),(tzyxtzyxtzyxuu),(tzyxuuii 第79頁/共206頁位移增量和應變增量速度分量簡記位移增量可看成小應變位移，形式上與小應變幾何方程相同xyzduu1p pp0dtuduttttuutuuiizduxdddydzdddxdyduddxzzxxyyzyzxy)()(21)()(21)()(21zddyddxdudzyx)()()(

41、第80頁/共206頁簡記應變增量場d表示應變增量，不是微分號 無限小變形 123123122331,ddddI dIdI dddijjiijxudxudd)()(21xxyxzijyyzxddddddd第81頁/共206頁單位時間的應變 應變速度（1/s） 11()()211()()212ijijijjiijjijijiddududtxxdtu dtu dtxxdtuuxx5.8 5.8 應變速度應變速度第82頁/共206頁ijijddtzduxdddydzdddxdyduddxzzxxyyzyzxy)()(21)()(21)()(21zddyddxdudzyx)()()(ijijdtdxxy

42、xzijyyzz第83頁/共206頁例題h=100mm01/umm s 2110 xs 錘鍛050009000/umm s 1(5090)xs 單向均勻壓縮時的位移速度hx00u uhuxuxx0 xhuux0 第84頁/共206頁5.9 5.9 主應變圖與變形程度表主應變圖與變形程度表示示 主變形圖主變形圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主變形圖只可能有三種形式：第85頁/共206頁 變形體內一點的主應力圖與主應變圖結合構成變形力變形力學圖學圖。它形象地反映了該點主應力、主應變有無和方向。主應力圖有9 9種可能，塑性變形主應變有3 3種可能，二者組合，則有2727種可能的變形力學圖。但單拉

43、、單壓應力狀態只可能分別對應一種變形圖，所以實際變形力學圖應該只有2323種組合方式種組合方式。 變形力學圖變形力學圖第86頁/共206頁第87頁/共206頁注意：變形程度表注意：變形程度表示示絕對變形量絕對變形量 指工件變形前后主軸方向上尺寸的變化量相對變形相對變形 指絕對變形量與原始尺寸的比值，常稱為形變率真實變形量真實變形量 即變形前后尺寸比值的自然對數第88頁/共206頁注意：應力應變分析的相似性與差異性注意：應力應變分析的相似性與差異性mijijIIIzyxji,), (88max321321mijijJJJzyxji,), (88max321321相似性：張量表示、張量分析、張量關

44、系相似第89頁/共206頁v概概 念：念：應力 研究面元dsds上力的集度 應變 研究線元dldl的變化情況v內部關系：內部關系：應力應力平衡微分方程 應變應變連續（協調）方程 彈性變形：相容方程 塑性變形：體積不變條件 差異性：差異性：第90頁/共206頁（ 泊松比）等效應力等效應力彈性變形和塑性變形表達式相同等效應變等效應變彈性變形和塑性變形表達式不相同 對于彈性變形： 對于塑性變形：213232221)()()()1 ( 22e213232221)()()(32e等效關系：等效關系：第91頁/共206頁1 1應力分析應力分析 外力、內力、應力概念； 點的應力狀態概念、描述方法與性質；斜面

45、應力的確定；應力張量定義；應力不變量；主應力圖；應力張量分解； 應力平衡微分方程。第92頁/共206頁2 2應變分析應變分析 位移、位移增量、應變、幾何方程； 點的應變狀態概念、描述方法；任意方向上應變的確定；應變張量與不變量；特殊應變；應變張量分解； 應變協調方程概念與意義，塑性變形體積不變，變形力學圖； 應變速度張量定義、意義； 應變增量定義、意義，全量應變與增量應變關系。第93頁/共206頁討論：平面變形問題的分析！第94頁/共206頁1、平面變形問題某一方向上沒有應變，稱為平面變形。 設z方向上無應變則=0 0zzxyzxux1()2xyyxvuxyyvy0 xyzxy 1221OL(

46、0,1)M(0,-1)0 xy1112純切應力狀態及其應力莫爾圓第95頁/共206頁在z方向上， 0zz方向上有無應力？ 0zxzy平面變形時，與z軸垂直的平面始終不會傾斜和扭曲 1()2z2xymz方向必為主方向 01()21()2xyxxyzyyxzdddddd證明 平面塑性變形時 1()2zxy,zxy與不獨立1()2mxyzz平面應變只有三個獨立應變分量 00 xyxyxyxyyy平面塑性變形時平衡方程 第96頁/共206頁2 2、平面應力狀態),(yxfij3zxzy當=0 ，i，j=x，y Yyxxyx=xy x xy yO y xy x xyOn2212221)2()2(根據應力

47、莫爾圓得第97頁/共206頁yxJ2112212xyyxJ由于則有： 2222)2()2(xyyxyx2212221)2()2(21221max maxO221第98頁/共206頁切應力順時針為正，逆時針為負xyE(y, yx )0N(0, )22yB(x , xy)x2D12yx設xy0 xyACyxxyyxN0 xySxSSyxyyx yx 第99頁/共206頁222112)2(2xyyxyxxy2arctan212221)2(2xyyxyx2cos222121x2cos222121yAB=R=max=12OD+R=12OD-R=22)2(xyyxR=22)(BCDC=xyE(y, yx

48、)0N(0, )22yB(x , xy)x2D12yx第100頁/共206頁 x xy yxyOn O A( x , xy)B( y , yx)2 nD(, xC第101頁/共206頁平面應力狀態下的平衡方程為 00yxyxyxyyxxxy x xy yO y xy x xyOn第102頁/共206頁5.10 5.10 金屬塑性變形過程和力學特點金屬塑性變形過程和力學特點變形過程與特點變形過程與特點 以單向拉伸為例說明塑性變形過程與特點，如圖2-1所示。金屬變形分為彈性、均勻塑性變形、破裂三個階段。 時， 。 sE 當 以后，變形視作塑性階段。 是非線性關系。當應力達到 之后，變形轉為不均勻塑

49、性變形，呈不穩定狀態。經短暫的不穩定變形，試樣以斷裂告終。sb 若在均勻塑性變形階段出現卸載現象，一部分變形得以恢復，另一部分則成為永久變形。卸載階段 呈線性關系。這說明了塑性變形時，彈性變形依然存在。彈塑性共存彈塑性共存與加載卸載過程不同的加載卸載過程不同的 關系關系是塑性變形的兩個基本特征。 第103頁/共206頁 由于加載、卸載規律不同，導致 關系不唯一。只有知道變形歷史，才能得到一一對應的 關系，即塑性變形與變形歷史或路徑有關。這是第第3 3個重要特征個重要特征。 事實上， 以后的點都可以看成是重新加載時的屈服點。以g點為例，若卸載則 關系為彈性。卸載后再加載，只要 點， 關系仍為彈性

50、。一旦超過g點， 呈非線性關系，即g點也是彈塑性變形的交界點，視作繼續屈服點。一般有 ，這一現象為硬化或強化，是塑性變形的第第4 4個顯著特點個顯著特點。sgsg 在簡單壓縮下，忽略摩擦影響，得到的壓縮 與拉伸 基本相同。但是若將拉伸屈服后的試樣經卸載并反向加載至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先壓后拉也有類似現象。這種正向變形強化導致后繼反向變形軟化的現象稱作Bauschinger效應。這是金屬微觀組織變化所致。一般塑性理論分析不考慮Bauschinger效應。 Bridgman等人在不同的靜水壓力容器中做單向拉伸試驗。結果表明：靜水壓力只引起物體的體積彈性變形，在靜水壓力不很大的情況

51、下（與屈服極限同數量級）所得拉伸曲線與簡單拉伸幾乎一致，說明靜水壓力對塑性變形的影響可以忽略。 ss第104頁/共206頁基基 本本 假假 設設材料為均勻連續，且各向同性；體積變化為彈性的，塑性變形時體積不變；靜水壓力不影響塑性變形，只引起體積彈性變化；不考慮時間因素，認為變形為準靜態；不考慮BauschingerBauschinger效應。第105頁/共206頁 單向拉伸時，材料由彈性狀態進入塑單向拉伸時，材料由彈性狀態進入塑性狀態時的應力值稱為屈服應力或屈服極限，性狀態時的應力值稱為屈服應力或屈服極限，它是初始彈塑性狀態的分界點。它是初始彈塑性狀態的分界點。復雜應力狀復雜應力狀態下的屈服怎

52、樣表示？態下的屈服怎樣表示？5.11 5.11 塑性條件方程塑性條件方程第106頁/共206頁2.11.2 2.11.2 基本概念基本概念 （關心關心: :多向應力狀態下材料何時開始進入塑性多向應力狀態下材料何時開始進入塑性）ijf()=C式中C C是與材料性質有關而與應力狀態無關的常數第107頁/共206頁123,f()=C （2-35a）討論：討論： ijf()Cijf()Cijf()C質點處于彈性狀態 質點處于塑性狀態 在實際變形中不存在 第108頁/共206頁質點屈服部分區域屈服整體屈服 第109頁/共206頁2.11.3 Tresca2.11.3 Tresca屈服準則屈服準則1864

53、年，法國工程師屈雷斯加提出數學表達式：m xaK第110頁/共206頁用主應力表示時，則有：k2 , ,max133221 k231321當有約定時，則有：第111頁/共206頁第112頁/共206頁 1s230m xaK第113頁/共206頁 第114頁/共206頁思考：思考：第115頁/共206頁2.11.4 Mises2.11.4 Mises屈服準屈服準則則 19131913年，德國力學家米塞斯=C 第116頁/共206頁 1s230C=s第117頁/共206頁第118頁/共206頁例題 根據Tresca屈服準則，為了保證薄壁圓筒處于彈性變形狀態，筒壁最小厚度為多少？ P2rtzpzP第

54、119頁/共206頁第120頁/共206頁321 2 1yzx 3321231max maxO1 O2 O3 232221231第121頁/共206頁思考的取值范圍？321 第122頁/共206頁第123頁/共206頁22212233122213133122213312213s()(1)(1)22121321313222代入Mises表達式s2s22s313234所以第124頁/共206頁223第125頁/共206頁第126頁/共206頁2.11.6 2.11.6 屈服準則的幾何表達屈服準則的幾何表達.平面應力狀態的屈服軌跡 用主應力表示平面應力狀態（用主應力表示平面應力狀態（3=03=0）M

55、isesMises屈屈方程為方程為:的其中是0201145sin45cos第127頁/共206頁0102245cos45sin的的)(21211)(21212第128頁/共206頁第129頁/共206頁圖2-38 兩向應力狀態下的屈服軌跡 這一橢圓（圖這一橢圓（圖2-382-38）就是平面應力狀態的就是平面應力狀態的MisesMises屈服軌跡，稱為屈服軌跡，稱為MisesMises橢圓橢圓。第130頁/共206頁同樣（同樣（3=03=0），對于），對于TresaTresa屈服準則：屈服準則：這一六邊形（圖2-38）就是平面應力狀態的Tresca屈服軌跡，稱為Tresca六邊形。 第131頁/

56、共206頁由屈服軌跡可以得出： 應力狀態是否處于塑性狀態；應力狀態是否處于塑性狀態； 接觸點兩個屈服準則相同，即兩個主應力接觸點兩個屈服準則相同，即兩個主應力相等時；相等時； 兩個屈服準則相差數大的點為一個主應力兩個屈服準則相差數大的點為一個主應力等于另外兩個主應力和的一半。等于另外兩個主應力和的一半。 第132頁/共206頁2. 三向應力狀態的屈服表面：123(,)P 一種應力狀態一種應力狀態引等傾線引等傾線ONON，13lmn在在ONON上任一點，上任一點，123m第133頁/共206頁過過P P點引直線，點引直線，OMOM表示應力球張量，表示應力球張量，MPMP表示應力偏張量表示應力偏張

57、量 矢量矢量PMON第134頁/共206頁第135頁/共206頁1231231()3OMlmn投影和由此得1第136頁/共206頁s= 根據Mises屈服準則 23sMPP P點屈服時1 1 靜水應力不影響屈服，所以，以靜水應力不影響屈服，所以，以ONON為軸線為軸線, ,以以 為半徑作一圓柱面，則此圓柱面上的點都滿足米塞為半徑作一圓柱面，則此圓柱面上的點都滿足米塞斯屈服準則，這個圓柱面就稱為主應力空間中的米斯屈服準則，這個圓柱面就稱為主應力空間中的米塞斯屈服表面。塞斯屈服表面。 23s第137頁/共206頁圖圖2-37 2-37 主應力空間的屈服準則主應力空間的屈服準則 第138頁/共206

58、頁由屈服表面可知：屈服表面的幾何意義：屈服表面的幾何意義： 若主應力空間中的一點應力狀態矢量的端點位于屈服表面，若主應力空間中的一點應力狀態矢量的端點位于屈服表面，則該點處于塑性狀態；若位于屈服表面內部，則該點處于彈則該點處于塑性狀態；若位于屈服表面內部，則該點處于彈性狀態。性狀態。同一母線上應力偏數量都相等；同一母線上應力偏數量都相等； 與母線相垂直斜截面上的應力球張量相等。與母線相垂直斜截面上的應力球張量相等。 第139頁/共206頁在主應力光向，通過圓點并垂直于等傾線在主應力光向，通過圓點并垂直于等傾線ONON的平面稱為的平面稱為平面平面， 第140頁/共206頁第141頁/共206頁2

59、.11.7 兩種屈服準則的比較 1.相同點 （1 1）都是與應力狀態無關；）都是與應力狀態無關； （2 2）都與靜水壓力無關；）都與靜水壓力無關； （3 3）進入塑性狀態，都為一固定常數。）進入塑性狀態，都為一固定常數。2. 不同點 Mises考慮中間主應力的影響 Tresca屈服準則不考慮中間主應力的影響 第142頁/共206頁3. 3. 屈服軌跡的比較屈服軌跡的比較（1 1）兩個屈服軌跡有六個交點，說明在這六個點上，兩）兩個屈服軌跡有六個交點，說明在這六個點上，兩 個屈服準則是一致的。個屈服準則是一致的。（2 2）兩個軌跡不相交的部分，）兩個軌跡不相交的部分，MisesMises橢圓上的點

60、均在橢圓上的點均在TrescaTresca六邊形之外，這表明按六邊形之外，這表明按MisesMises屈服準則需要較大的屈服準則需要較大的應力才能使材料屈服。應力才能使材料屈服。（3 3）兩個屈服軌跡差別最大的有六個點。）兩個屈服軌跡差別最大的有六個點。第143頁/共206頁2.11.8、硬化材料的屈服準則 以上所討論的屈服準則只適用于各向同性的理想塑性材以上所討論的屈服準則只適用于各向同性的理想塑性材料。對于應變硬化材料，可以認為初始屈服仍然服從前述料。對于應變硬化材料，可以認為初始屈服仍然服從前述的準則，產生硬化后，屈服準則將發生變化，在變形過程的準則，產生硬化后，屈服準則將發生變化，在變