1、算術平均數與幾何平均數（1）教學目的：1.學會推導并掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數這個重要定理.2.理解這個定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等.3通過掌握公式的結構特點，運用公式的適當變形，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養學生的創新精神，進一步加強學生的實踐能力.教學重點：均值定理證明教學難點：等號成立條件教學過程：一、復習引入：不等式的基本性質.二、講解新課：1重要不等式：如果2定理：如果a,b是正數，那么說明：）我們稱的算術平均數，稱的幾何平均數，因而，此定理又可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.）成立的條件

2、是不同的：前者只要求a,b都是實數，而后者要求a,b都是正數.）“當且僅當”的含義是充要條件. 3均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”.以長為a+b的線段為直徑作圓，在直徑ab上取點c，使ac=a,cb=b.過點c作垂直于直徑ab的弦dd,那么，即這個圓的半徑為，顯然，它不小于cd，即，其中當且僅當點c與圓心重合；即a=b時，等號成立.三、講解范例：例1 已知x,y都是正數，求證：（1）如果積xy是定值p,那么當x=y時，和x+y有最小值（2）如果和x+y是定值s,那么當x=y時，積xy有最大值說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：）函數式中各項必須都是正數;)函數

3、式中含變數的各項的和或積必須是常數；）等號成立條件必須存在.例2 已知：ab>0，求證：. 當且當a=b時等號成立.反思：由本例可以得出什么結論？例3 已知a,b都是正數，求證 當且當a=b時等號成立.（介紹n個正數的“調和平均數”、“幾何平均數”、“算術平均數”、“平方平均數”的概念及它們的關系）四、課堂練習：1.已知a、b、c都是正數，求證（ab）（bc）（ca）abc2.已知x、y都是正數，求證：（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.求證：（）2.五、作業：(1)“ab2”是“ar，br”的( )a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.即不充分也不必要條件

4、(2)設ba0，且ab1，則此四個數，2ab，a2b2，b中最大的是( )a.b b.a2b2 .2ab d. (3)設a，br，且ab，ab2，則必有( )a.1ab b.ab1 c.ab1d. ab1(4)已知a，br且ab4，則下列各式恒成立的是( )a. b.1 .2 d.(5)若ab0，則下面不等式正確的是( )a. b.c. d.(6)若a，br且ab，在下列式子中，恒成立的個數為（ ）a23ab2b2 aba3b2a2b3 a2b22（ab1） 2a.4 b.3.2 d.1(7)設a，b，c是區間(0，1)內的三個互不相等的實數且plogc，q，r，則p，q，r的大小關系是( )

5、a.pqr b.pqrc.rpq d.prq算術平均數與幾何平均數（2）教學目的：1.進一步掌握均值不等式定理；2.會應用此定理求某些函數的最值；3.能夠解決一些簡單的實際問題. 教學重點：均值不等式定理的應用教學難點：解題中的轉化技巧教學過程：一、復習引入：1重要不等式：（1）如果（2）如果a,b都是正數，那么 當且當a=b時等號成立.2.上課時中“例1”的條件、結論及注意事項.二、講解新課：定理：如果，那么（當且僅當a=b=c時取“=”）推論：如果，那么 （當且僅當a=b=c時取“=”）三、例題例1已知a,b,c,d都是正數，求證：例2 求下列函數的最小值，并求相應的x 值. 例3 某工廠

6、要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？四、課堂練習：1.已知x0，當x取什么值時，x2的值最小?最小值是多少?2.一段長為 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?四、作業： (1)求函數y2x2（x0）的最小值.(2)求函數yx2（x0）的最小值.(3)求函數y3x22x3（0x）的最大值.(4)求函數yx（1x2）（0x1)的最大值.(5)設a0，b0，且a21，求a的最大值.算術平均數與幾何平均數

7、（3）教學目的：1.進一步掌握均值不等式定理；2.會應用此定理求某些函數的最值；3.能夠解決一些簡單的實際問題. 教學重點：均值不等式定理的應用教學難點：解題中的轉化技巧教學過程：一、復習引入：1重要不等式：（1）如果（2）如果a,b都是正數，那么 當且當a=b時等號成立. （3）如果ab>0，那么. 當且當a=b時等號成立.（4）如果，那么（當且僅當a=b=c時取“=”）（5）如果，那么 （當且僅當a=b=c時取“=”）2. 利用“均值不等式”求最值.二、例題例1 （1）已知lgx+lgy=2,求的最小值； （2）已知x>0,y>0,且 2x+5y=20,求lgx+lgy的

8、最大值； （3）已知0<x<2,求x(8-3x)的最大值. 例2 求下列函數的最大值：例3 （1）已知a>b>0,求的最小值. （2）已知,求的最大值.例4 求函數的最小值.例5 從一塊半徑為r 的半圓鐵板上剪一塊矩形，當矩形的長和寬各取多少時矩形的面積最大，并求這個最大面積.三、作業1.填空（1）如果b>a>0,則b,2ab,a2+b2的大小順序是 .(2) 函數的最小值是 （3）當x= 時，函數取得最大值 （4）若x>0，的最大值是 （5）若ab+bc+ca=1,則當 時|a+b+c|取得最小值 （6）的最大值是 （7）的最小值是 （8）若x2+y2=1,s=(1-xy)(1+xy),則s的取值范圍是 （9）若xy>0,x2y=2,則xy+x2的最小值為 2.已知的最小值.3.如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬2米的無蓋長方體的沉淀箱，污水從a孔流入，經沉淀后從b孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質的質量份數