1、第12章復數12.1復數的概念必備知識必備知識自主學習自主學習1.1.復數的概念復數的概念(1)(1)復數的定義復數的定義形如形如a+bi(a,br)a+bi(a,br)的數叫作復數的數叫作復數, ,其中其中i i叫作叫作_,_,滿足滿足i i2 2= =_;_;復數通常復數通常用字母用字母z z表示表示, ,即即z=a+bi(a,br),z=a+bi(a,br),其中其中a a與與b b分別叫作復數分別叫作復數z z的的_與與_._.(2)(2)本質本質: :虛數單位虛數單位i i與實數與實數a,ba,b運算得到的一類數運算得到的一類數, ,實數基礎上的提升實數基礎上的提升. .(3)(3)

2、應用應用: :解決實系數方程的求解問題解決實系數方程的求解問題. .導導思思1.x1.x2 2=-1=-1一定無解嗎一定無解嗎? ?2.2.數系擴充到實數后數系擴充到實數后, ,還能再擴充嗎還能再擴充嗎? ?虛數單位虛數單位-1-1實部實部虛部虛部【思考】【思考】如何理解虛數單位如何理解虛數單位i?i?提示提示: :(1)i(1)i2 2=-1.=-1.(2)i(2)i與實數之間可以運算與實數之間可以運算, ,亦適合加、減、乘的運算律亦適合加、減、乘的運算律. .(3)(3)由于由于i i2 20zz2 2. .( () )(3)(3)復數復數z=biz=bi是純虛數是純虛數. . ( ()

3、)(4)(4)實數集與復數集的交集是實數集實數集與復數集的交集是實數集. .( () )提示提示: :(1)(1). .當當b=0b=0時時,z=a+bi,z=a+bi為實數為實數. .(2)(2). .兩個虛數不能比較大小兩個虛數不能比較大小, ,只能比較是否相等只能比較是否相等. .(3)(3). .當當b=0b=0時時,z=bi,z=bi為實數為實數. .(4).(4).實數集是復數集的子集實數集是復數集的子集, ,所以實數集與復數集的交集是實數集所以實數集與復數集的交集是實數集. .2.2.復數復數i-2i-2的虛部是的虛部是( () )a.ia.ib.-2b.-2c.1c.1d.2d

4、.2【解析】【解析】選選c.i-2=-2+i,c.i-2=-2+i,因此虛部是因此虛部是1.1.3.(3.(教材二次開發教材二次開發: :例題改編例題改編) )如果如果(x+y)i=x-1,(x+y)i=x-1,則實數則實數x,yx,y的值分別為的值分別為( () )a.x=1,y=-1a.x=1,y=-1b.x=0,y=-1b.x=0,y=-1c.x=1,y=0c.x=1,y=0d.x=0,y=0d.x=0,y=0【解析解析】選選a.a.因為因為(x+y)i=x-1,(x+y)i=x-1,所以所以 所以所以x=1,y=-1.x=1,y=-1.xy0 x10 ，關鍵能力關鍵能力合作學習合作學習

5、類型一復數的概念類型一復數的概念( (數學抽象數學抽象) )【題組訓練】【題組訓練】1.(20201.(2020哈爾濱高二檢測哈爾濱高二檢測) )復數復數z=3-2iz=3-2i的虛部為的虛部為( () )a.2 a.2 b.-2 b.-2 c.-2i c.-2i d.2id.2i2.2.以以3i-3i- 的虛部為實部的虛部為實部, ,以以3i3i2 2+ + i i的實部為虛部的復數是的實部為虛部的復數是( () )a.3-3ia.3-3ib.3+ib.3+ic.-c.- + + i id.d. + + i i2222223.3.給出下列幾個命題給出下列幾個命題: :若若zc,zc,則則z

6、z2 20;0;2i-12i-1的虛部是的虛部是2i;2i;2i2i的實部是的實部是0;0;若實數若實數a a與與aiai對應對應, ,則實數集與純虛數集的元素一一對應則實數集與純虛數集的元素一一對應; ;實數集的補集是虛數集實數集的補集是虛數集. .其中真命題的個數為其中真命題的個數為( () )a.0a.0b.1b.1c.2c.2d.3d.3【解析】【解析】1.1.選選b.b.因為因為z=3-2i,z=3-2i,所以其虛部為所以其虛部為-2.-2.2.2.選選a.3i-a.3i- 的虛部為的虛部為3,3i3,3i2 2+ + i i的實部為的實部為-3,-3,所以所求復數為所以所求復數為3

7、-3i.3-3i.3.3.選選c.c.令令z=ic,z=ic,則則i i2 2=-10,=-10,故故不正確不正確. .2i-12i-1的虛部應是的虛部應是2,2,故故不正確不正確. .當當a=0a=0時時,ai=0,ai=0為實數為實數, ,故故不正確不正確, ,所以只有所以只有, ,正確正確. .22【解題策略】【解題策略】利用復數的概念時的注意點利用復數的概念時的注意點(1)(1)復數的代數形式復數的代數形式: :若若z=a+bi,z=a+bi,只有當只有當a,bra,br時時,a,a才是才是z z的實部的實部,b,b才是才是z z的虛部的虛部, ,且注意虛部不是且注意虛部不是bi,bi

8、,而是而是b.b.(2)(2)不要將復數與虛數的概念混淆不要將復數與虛數的概念混淆, ,實數也是復數實數也是復數, ,實數和虛數是復數的兩大構實數和虛數是復數的兩大構成部分成部分. .(3)(3)舉反例舉反例: :判斷一個命題為假命題判斷一個命題為假命題, ,只要舉一個反例即可只要舉一個反例即可, ,所以解答這類題時所以解答這類題時, ,可按照可按照“先特殊先特殊, ,后一般后一般, ,先否定先否定, ,后肯定后肯定”的方法進行解答的方法進行解答. .【補償訓練】【補償訓練】 (2020(2020濰坊高二檢測濰坊高二檢測) )已知命題已知命題:“:“若若x x2 2+y+y2 2=0,=0,則

9、則x=y=0”.x=y=0”.當當x,yrx,yr時時, ,該命題該命題成立成立. .當當x,ycx,yc時時, ,該結論是否成立該結論是否成立? ?【解析】【解析】當當x,ycx,yc時時, ,若若x=1,y=i,xx=1,y=i,x2 2+y+y2 2=0=0成立成立, ,所以此命題在復數范圍內是假命所以此命題在復數范圍內是假命題題, ,該結論不成立該結論不成立. .類型二復數的分類類型二復數的分類( (數學抽象、邏輯推理數學抽象、邏輯推理) )【典例】【典例】實數實數x x分別取什么值時分別取什么值時, ,復數復數z=z= +(x+(x2 2-2x-15)i-2x-15)i是是(1)(1

10、)實數實數;(2);(2)虛虛數數;(3);(3)純虛數純虛數. .2xx6x3【解題策略】【解題策略】復數分類的關鍵復數分類的關鍵(1)(1)利用復數的代數形式利用復數的代數形式, ,對復數進行分類對復數進行分類, ,關鍵是根據分類標準列出實部、虛關鍵是根據分類標準列出實部、虛部應滿足的關系式部應滿足的關系式. .求解參數時求解參數時, ,注意考慮問題要全面注意考慮問題要全面, ,當條件不滿足代數形式當條件不滿足代數形式z=a+bi(a,br)z=a+bi(a,br)時應先轉化形式時應先轉化形式. .(2)(2)注意分清復數分類中的條件注意分清復數分類中的條件設復數設復數z=a+bi(a,b

11、r),z=a+bi(a,br),則則若若z z為實數為實數b=0,b=0,若若z z為虛數為虛數b0,b0, 若若z z為純為純虛數虛數a=0,b0,a=0,b0, 若若z=0z=0a=0,a=0,且且b=0.b=0.【跟蹤訓練】【跟蹤訓練】實數實數k k為何值時為何值時, ,復數復數z=(kz=(k2 2-3k-4)+(k-3k-4)+(k2 2-5k-6)i-5k-6)i分別是分別是實數實數; ;虛數虛數; ;純虛數純虛數; ;零零. .【解析】【解析】當當k k2 2-5k-6=0,kr,-5k-6=0,kr,即即k=6k=6或或k=-1k=-1時時,z,z是實數是實數. .當當k k2

12、 2-5k-60,-5k-60,即即k6k6且且k-1k-1時時, z, z是虛數是虛數. .當當 時時,z,z是純虛數是純虛數, ,解得解得k=4.k=4.當當 時時,z =0,z =0,解得解得k=-1.k=-1.22k3k40,k5k6022k3k40,k5k60類型三復數相等及應用類型三復數相等及應用( (邏輯推理、數學運算邏輯推理、數學運算) ) 角度角度1 1復數的相等復數的相等【典例】【典例】若若(x+y)+yi=(x+1)i,(x+y)+yi=(x+1)i,求實數求實數x,yx,y的值的值. .【思路導引】【思路導引】復數相等復數相等, ,則復數的實部與實部相等則復數的實部與實

13、部相等, ,虛部與虛部相等虛部與虛部相等. .【解析】【解析】因為因為(x+y)+yi=(x+1)i,(x+y)+yi=(x+1)i,所以所以 解得解得 xy0yx1，1x21y.2 ，【變式探究】【變式探究】本例的條件若改為本例的條件若改為“(1+i)m(1+i)m2 2+(7-5i)m+10-14i=0”,+(7-5i)m+10-14i=0”,求實數求實數m m的取值范圍的取值范圍. .【解析】【解析】把原式整理得把原式整理得(m(m2 2+7m+10)+(m+7m+10)+(m2 2-5m-14)i=0,-5m-14)i=0,所以所以 解得解得m=-2.m=-2.22m7m100m5m

14、140，角度角度2 2復數相等的應用復數相等的應用【典例】【典例】(2020(2020北京高二檢測北京高二檢測) )關于關于x x的方程的方程3x3x2 2- - x-1=(10-x-2xx-1=(10-x-2x2 2)i)i有實數根有實數根, ,求實數求實數a a的值和這個實數根的值和這個實數根. .【思路導引】【思路導引】設實數根為設實數根為m,m,代入方程代入方程, ,根據復數相等可構造方程組求得根據復數相等可構造方程組求得a a和和m,m,從從而得到結果而得到結果. .a2【解析】【解析】設方程的實數根為設方程的實數根為x=m,x=m,則則3m3m2 2- - m-1=m-1= , ,

15、根據復數相等的充要條件得根據復數相等的充要條件得: : 解得解得 或或 所以當實數所以當實數a=11a=11時實數根為時實數根為2;2;當實數當實數a= a= 時實數根為時實數根為 . .a22(10m2m )i 22a3mm 10210m2m0， ，m2a11，5m271a5 ，71552【解題策略】【解題策略】兩個復數相等的判斷兩個復數相等的判斷如果兩個復數如果兩個復數a+bi(a,br)a+bi(a,br)與與c+di(c,dr)c+di(c,dr)相等相等, ,則它們的實部與虛部對應相則它們的實部與虛部對應相等等, ,即即a+bi=c+dia+bi=c+dia=ca=c且且b=d.b=

16、d.特別地特別地,a+bi=0,a+bi=0a=b=0.a=b=0.利用復數的代數形式和復利用復數的代數形式和復數相等數相等, ,可以化可以化“虛虛”為為“實實”, ,實現化歸和轉化實現化歸和轉化, ,從而利用列方程從而利用列方程( (組組) )的方法的方法解決復數問題解決復數問題. .【題組訓練】【題組訓練】1.(20201.(2020海原高二檢測海原高二檢測) )若若1+xi=y+2i,x,yr,1+xi=y+2i,x,yr,則復數則復數x+yi=(x+yi=() )a.-2+ia.-2+ib.2+ib.2+ic.1-2ic.1-2id.1+2id.1+2i【解析】【解析】選選b.b.因為

17、因為1+xi=y+2i,1+xi=y+2i,所以所以y=1,x=2,y=1,x=2,所以所以x+yi=2+i.x+yi=2+i.2.(20202.(2020定遠高二檢測定遠高二檢測)z)z1 1=m=m2 2-3m+m-3m+m2 2i,zi,z2 2=4+(5m+6)i,m=4+(5m+6)i,m為實數為實數, ,若若z z1 1-z-z2 2=0,=0,則則m m的值為的值為( () )a.4 a.4 b.-1 b.-1 c.6 c.6 d.0d.0【解析】【解析】選選b.b.由題意得由題意得z z1 1=z=z2 2, ,則則 解得解得m=-1.m=-1.22m3m4m5m6，3.3.若

18、復數若復數4-3a-a4-3a-a2 2i i與復數與復數a a2 2+4ai+4ai相等相等, ,則實數則實數a a的值為的值為( () )a.1a.1b.1b.1或或-4-4c.-4c.-4d.0d.0或或-4-4【解析】【解析】選選c.c.由復數相等的條件得由復數相等的條件得 解得解得a=-4.a=-4.2243aaa4a ，1.(20201.(2020浙江高考浙江高考) )已知已知ar,ar,若若a-1+(a-2)i(ia-1+(a-2)i(i為虛數單位為虛數單位) )是實數是實數, ,則則a=a=( () )a.1a.1b.-1b.-1c.2c.2d.-2d.-2【解析】【解析】選選

19、c.c.因為因為a-1+(a-2)ia-1+(a-2)i為實數為實數, ,所以所以a-2=0,a=2.a-2=0,a=2.課堂檢測課堂檢測素養達標素養達標2.2.已知復數已知復數z=az=a2 2-(2-b)i-(2-b)i的實部和虛部分別是的實部和虛部分別是2 2和和3,3,則實數則實數a,ba,b的值分別是的值分別是 ( () )a.a. ,1,1b.b. ,5,5c.c. ,5,5d.d. ,1,1【解析】【解析】選選c.c.由題意得由題意得 得得a=a= ,b=5.,b=5.22222a2,2b3 ，23.(3.(教材二次開發教材二次開發: :練習改編練習改編) )如果如果x-1+yix-1+yi與與i-3xi-3x為相等復數為相等復數,x,y,x,y為實數為實數, ,則則x=_,y=_.x=_,y=_.【解析】【解析】由復數相等可知由復數相等可知 所以所以 答案答案: : 1 1x13