1、勻速圓周運動知識點解析1勻速圓周運動的定義(1)軌跡是圓周的運動叫圓周運動。(2)質點沿圓周運動，如果在相同時間里通過的弧長相等，這種運動叫勻速圓周運動。(3)勻速圓周運動是最簡單的圓周運動形式，也是最基本的曲線運動之一。(4)勻速圓周運動是一種理想化的運動形式。許多物體的運動接近這種運動，具有一定的實際意義。一般圓周運動，也可以取一段較短的時間(或弧長)看成是勻速圓周運動。2周期(1)物體做勻速圓周運動時，運動一周所用的時間。(2)周期用符號t表示，單位是秒。(3)周期是反映重復性運動的運動快慢的物理量。它從另一個角度描述了物體的運動。3線速度(1)物體做勻速圓周運動時，通過的弧長s跟通過這

2、段弧長所用時間t的比值，叫運動物體線速度大小。線速度的方向為圓周上某點的切線方向。(2)線速度的計算公式： (3)線速度的意義：線速度實質上還是物體某一時刻的瞬時速度，雖然是用弧長和時間的比定義了速度大小，但當時間t趨于零時，弧長和為區別角速度而取名為線速度。4角速度轉過這些角度所用時間t的比值，叫物體做勻速圓周運動的角速度。(2)角速度計算公式： (3)角速度單位為：弧度/秒(rad/s)。(4)角速度是矢量，方向為右手螺旋法則的大拇指的指向。(5)角速度是描述轉動快慢的物理量。在描述轉動效果時，它比用線速度描述更具有代表性。5向心加速度(1)勻速圓周運動的加速度方向勻速圓周運動的速度大小不

3、變，速度的方向時刻在變，由于速度方向的變化，質點一定具有加速度，該加速度反映速度方向變化的快慢，該加速度的方向沿著半徑指向圓心。設質點沿半徑是r的圓周做勻速圓周運動，在某時刻它處于a點，速度是va，經過很短時間t后，運動到b點，速度為vb。根據矢量合成的三角形法則可知，矢量va與v之和等于vb，所以v是質點在a點時的加速度。如圖4-20。時v便垂直于va。而va是圓的切線，故v是指向圓心的。即a點加速度指向圓心，所以勻速圓周運動的加速度又叫向心加速度。(2)向心加速度的大小從圖中看出，圖乙中的矢量三角形跟圖甲中的oab是相似形。如果用v表示va、vb大小，則或 a=2r (3)勻速圓周運動的向

4、心加速度的大小不變，方向始終指向圓心，所以勻速圓周運動是變加速曲線運動。(4)上述加速度是勻速圓周運動情況下推導的，仍然適應于一般圓周運動，式中的v、必須用瞬時值。6向心力及實例分析(1)使物體產生向心加速度的力叫向心力。向心力的來源：向心力不是接力的性質命名的力，它是一種效果力。當分析做圓周運動的物體受力時，只能分析接力的性質命名的力，決不能在分析場力、彈力、摩擦力的同時，再考慮向心力。向心力是物體所受各個力的合力。向心力的作用效果：向心力產生向心加速度，即只能改變速度的方向，維持物體做勻速圓周運動。向心力大小的計算公式：由牛頓第二定律：(2)實例分析做圓周運動的物體，都需要向心力，向心力是

5、物體所受各種力的合力。例如，水平放在勻速轉動的唱片上的物體，在隨唱片一起轉動時，做勻速圓周運動。物體所受的向心力是物體和唱片之間的靜摩擦力，如圖4-21所示。自行車在水平路面上轉彎時，做圓周運動的向心力由重力及地面給自行車的作用力提供，或者說是地面給自行車的靜摩擦力提供，如圖4-22所示。7離心現象及應用(1)離心運動。物體做圓周運動需要向心力。質量為m的物體以角速度沿半徑是r的圓周運動。若向心力為m2r，則物體維持圓周運動；若向心力小于m2r，則不足以將物體拉到圓周上，物體離圓心越來越遠；若向心力突然消失，則物體由于慣性沿切線方向飛出。這種物體離圓心越來越遠的現象叫離心現象。做勻速圓周運動的

6、物體，在合外力突然消失或者合外力不足以提供所需的向心力時將做逐漸遠離圓心的運動，這種運動叫離心運動。(2)離心現象的應用利用物體做圓周運動所需向心力不足時，做離心運動的現象，可以做成離心機械，如脫水器，分離器等。【例1】機械手表中的分針與秒針可視為勻速轉動，分針與秒針從重合至第二次重合，中間經歷的時間為a1分鐘 b59/60分 c60/59分 d61/60分【分析思路】 解該題時，不少同學簡單認為只要秒針轉一圈，則分針與秒針就第二次重合，而忽視了在這段時間分針也要轉過一個角度。考慮到分針和秒針的同時運動，當第二次重合時，它們轉過的角度應相差2k。【解題方法】 由公式=t求出時間t內分針和秒針轉

7、過的角度，令兩角度之差為2，求解時間t。【解題】 由于秒針每轉一周所用時間為1分鐘；分針轉一周所用時間為60分鐘。所以角速度分別為：設經過時間t兩針再次重合，則1t-2t2選答案c。【例2】 在水平放置的可旋轉的平臺上面放一勁度系數為k，質量可忽略不計的輕彈簧。它的一端固定在軸上，另一端拴一質量為m的小物體a，這時彈簧沒有形變，長為l0，如圖所示。a與盤面間的動摩擦因數為，且設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。盤由靜止起轉動，角速度逐漸增大。(1)當盤以某角速度0旋轉時，a相對盤面滑動，求0。(2)當角速度為1時，求a隨盤作圓周運動的最大半徑l1。(3)當角速度由1減小時，物體能在半徑為l1的原軌道

8、上作圓周運動，求這時角速度2。【分析思路】如圖所示。物體a隨盤一起轉動做圓周運動時，向心力由彈簧和靜摩擦力提供。靜摩擦力的大小隨著外界條件的變化而發生變化，方向隨著運動趨勢的不同而不同。當較小時僅靜摩擦力足以提供向心力；隨著增大，向心力不足，則物體做離心運動，彈簧伸長，產生彈力，合力提供向心力；當再次減小時，首先由靜摩擦力減少，當靜摩擦方向改變時，彈力才能再次發生變化。【解題方法】對作勻速圓周運動的物體a按照不同情況，分析它所受的提供向心力的彈力和靜摩擦力的大小和方向。根據牛頓第二定律列出物體做圓周運動對應的方程。【解題】(1)當盤以0旋轉時，a則要滑動，彈簧沒有發生形變，向心力由靜摩擦力提供

9、，在a相對盤面將滑動時為最大靜摩擦力fmax。在rl0處，a與盤相對靜止，隨盤一起轉動的角速度范圍為0(2)當0時，a作圓周運動的向心力增加，僅最大靜摩擦力已不夠，a沿半徑向外滑動，使彈簧伸長而產生彈力，彈力隨半徑的增大而增大。到1時，a增大到最大半徑l1隨盤一起轉動。由牛頓第二定律可列出：(3)在半徑為l1，角速度減小時，靜摩擦力由最大值減為一般值。到=時，f=0，僅彈力提供向心力。由牛頓第二定律：k(l1-l0)=m2l1當角速度再繼續減小時，彈力提供向心力已超過向心力，a有向圓心滑動的趨勢，因而造成靜摩擦力的方向變成沿半徑向外。當減小到最小時，靜摩擦力又達到最大值。記這時的=。由牛頓第二

10、定律：k(l1-l0)-mgm2l1把已求出的l1代入上式得：本題所求2。【例3】 質量為m的小球，系在細棍的一端，手握細棍的另一端使小球在豎直平面內作勻速圓周運動，如圖4-25所示。圓半徑30厘米，線速度為2.1米/秒，比較小球通過最高點和最低點時細棍對球的拉力。(不計細棍質量)【分析思路】由于桿作用于球上，所以球可以勻速轉動，分析清球在最高點及最低點受力，應用向心力公式即可求解。應當泣意桿能提供各種方向的力。【解題方法】對球在最高點和最低點受力進行分析，假定桿給球的力的方向，按指向圓心方向為正，列牛頓第二定律方程求解。【解題】小球經過最高點a時，向心加速度向下，所以棍對小球的拉力ta和小球

11、受的重力mg的合力方向向下，有：ta+mg=mv2/r小球經最低點b時，向心加速度的方向向上，所以棍對小球的拉力tb和小球受的重力的合力方向向上。由牛頓第二定律tb-mgmv2/r則ta/tb=4.9m/24.5m1/5下面對進行討論：當小球運動的線速度增大時，由(1)(2)二式可知，tb、ta都要增大。在最低點b，當小球線速度減小時，由式知tb減小，當v接近于零時，棍在b點對小球的拉力接近于小球的重力。在最高點a點，當v減小時，力提供向心力)，若小球運動的線速度繼續減小，由(2)式知ta為負值，這時棍給小球的力是向上的支持力。當v減小到零時ta=-mg，即對細棍上的物體在豎直面內做圓運動，運

12、動的速率是沒有要求的，可人為控制。而若用繩子代替細棍，繩對小球只能提供拉力，在小球運動到最高點時不可能給小球向上的力。這就是說用繩子維持小球做圓周運動，經過最內除最高點和最低點合力方向沿繩指向圓心外，其余位置合力方向不是沿繩即沿半徑指向圓心，如圖4-26所示，合力的作用效果即改變速度的方向，又改變速度的大小，所以繩子維持小球在豎直平面內做圓周運動一定是變速圓周運動。【例4】一光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線間的夾角為=30，如圖4-27所示，一條長度為l的繩(質量不計)，一端固定在圓錐體的頂點o處，另一端拴著一個質量為m的小物體(物體可視為質點)，物體以速率v繞圓錐體

13、的軸線做水平面內的勻【分析思路】物體在水平面內做勻速圓周運動，由重力g、拉力t、支持力n提供向心力，當角速度很小時，物體在圓錐體上運動。當增大，t、n都發生變化，且t增大，n減少，當大到一定值時，物體將離開錐面做圓錐擺運動。顯然當n=0時的線速度值為物體的臨界速度。通過比較已知速度與臨界速度的關系討論出物體所處的狀態，由物體的受力列出相應的牛頓方程求解。【解題方法】由物體的受力分析，令n0求出物體的臨界速度，比較臨界速度與v1、v2的關系，分清物體在不同情況下的受力，然后應用牛頓定律求解。【解題】如圖所示，設物體在圓錐體上做勻速圓周運動，物體受繩對它的拉力t，重力為g，錐面的支持力n。因為物體

14、做勻速圓周運動，所以三個力的合力必沿半徑指向圓心，是物體做圓運動的向心力。將三為沿水平方向與豎直方向分解，據牛頓第二定律：由式知，當v增大時，所需的向心力fx要增大，式中，m，r一定，只能使t增大，因同時要保證式成立，n將減小，當v增大到某一值時，n減小為0，當v繼續增大時，物體將離開錐面，r都變大，此時物體做圓錐擺運動。先求物體能在圓錐體上做水平勻速圓周運動的最大速度vm，此時由兩式得：(1)因v1vm，物體在圓錐體上做圓運動滿足方程聯立得：(2)因v2vm，此時物體離開了圓錐體，擺線與軸線的夾角30，n=0。受力分析如圖4-29所示，滿足下列方程：將式代入得 t2mg【說明】此題第二問中學

15、生最易出現的錯誤是角度仍然使用，或半徑記為 rlsin。這點要引起注意。【例5】 一根長為l的均勻細桿可以繞通過其一端的水平軸o在豎直平面內轉動，桿最初處于水平位置，桿上距o為a處放有小物體(可視為質點)，桿與其上小物體最初均處于靜止狀態，如圖4-30所示，若此桿突然以角速度繞o軸轉動，問當取什么值時，小物體與桿可能相碰？【分析思路】物體相遇的條件是在相同的時間內物體的路程或位移相等。本題中是物體自由下落的位移與由于桿的轉動而引起的相同時間內的桿的兩位置與b所在豎直線交點間的距離相等，從圖)中看出，此最大距離為bd長，即atg1。物體做自由落體，起始速度較小，速度逐漸變大。而桿在勻速轉動，在相

16、同時間內，bc大于自由落體高度，當兩者相等時則相遇，相遇的最大距離為bd，即為的最大值。若再增大時，當物體落至d點時，桿已轉過od位置。則此時不可能相碰，但當再增大時，即在物體沒有到達d之前桿可能再次轉入aod區域。這種情況物體與桿也能相碰，這種情況相遇的最長時間是在d點相遇，此時的為這種情況的最小值，只要大于該值均能在aod區域內相碰。如圖。【解題方法】應用自由落體求出物體下落到d點所用的時間，再由圓周運動求解出桿到od所用的時間。相遇具有距離相等，同時還具有等時性。【解題】小物體作自由落體運動，在時間t里下落bc=atg=此時a點轉過角度=t，可見在不同的角度時相遇要有不同的值，小物體追上

17、桿的臨界情況是在d點相碰，所以有：消去時間t有：若很大時，即轉一圈后追上小物體并與小物體相碰，如圖4-31(b)所示。此為第二種情況相遇的最小角速度。故物體與桿相遇的條件是：1或2例6在一個水平轉臺上放有a、b、c三個物體，它們跟臺面間的摩擦因數相同a的質量為2m，b、c各為ma、b離轉軸均為r，c為2r則 a若a、b、c三物體隨轉臺一起轉動未發生滑動，a、c的向心加速度比b大b若a、b、c三物體隨轉臺一起轉動未發生滑動，b所受的靜摩擦力最小c當轉臺轉速增加時，c最先發生滑動d當轉臺轉速繼續增加時，a比b先滑動分析 a、b、c三物體隨轉臺一起轉動時，它們的角速度都等于轉臺的角速度，設為根據向心

18、加速度的公式an=2r，已知ra=rbrc，所以三物體向心加速度的大小關系為aa=abaca錯三物體隨轉臺一起轉動時，由轉臺的靜摩擦力提供向心力，即f=fn=m2r，所以三物體受到的靜摩擦力的大小分別為fa=ma2ra=2m2r，fb=mb2rb=m2r，fc=mc2rc=m22r=2m2r即物體b所受靜摩擦力最小b正確由于轉臺對物體的靜摩擦力有一個最大值，設相互間摩擦因數為，靜摩擦力的最大值可認為是fm=mg由fm=fn，即 mg=m2mr，得不發生滑動的最大角速度為 即離轉臺中心越遠的物體，使它不發生滑動時轉臺的最大角速度越小由于rcra=rb，所以當轉臺的轉速逐漸增加時，物體c最先發生滑動轉速繼續增加時，物體a、b將同時發生滑動c正確，d錯答 b、c例7如圖4-14光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘a、b，相距l0=0.1m長l=1m的柔軟細線一端拴在a上，另一端拴住一個質量為500g的小球小球的初始位置在ab連線上a的一側把細線拉直，給小球以2m/s的垂直細線方向的水平速度，使它做圓周運動由于釘子b的存在，使細線逐步纏在a、b上若細線能承受的最大張力tm=7n，則從開始運動到細線斷裂歷時多長？分析 小球轉動時，由于細線逐步繞在a、b兩釘上，小球的轉動半徑逐漸變小，但小球轉動的線速度大