1、 前面講過前面講過, 牛頓第二定律只適用于慣性系牛頓第二定律只適用于慣性系. 如果在非慣性系內建立動如果在非慣性系內建立動力學方程力學方程, 則質量與非慣性系下的加速度乘積的度量則質量與非慣性系下的加速度乘積的度量, 除了與真實力除了與真實力有關有關, 還與非慣性系下產生的各種慣性力有關還與非慣性系下產生的各種慣性力有關.由牛頓第二定律和運動學的加速度合成公式由牛頓第二定律和運動學的加速度合成公式, 有有:CerCreaamamFamFFaaamam :.)(上上式式可可寫寫成成力力質質點點或或平平動動剛剛體體上上的的合合在在這這里里應應理理解解為為作作用用在在)178P.(rdtrdFFFd

2、trdm:FFFamamFamF22gCge22gCgerCgCege參參見見六六版版上上冊冊的的相相對對導導數數稱稱為為相相對對矢矢徑徑寫寫成成微微分分方方程程的的形形式式有有即即有有科科氏氏慣慣性性力力牽牽連連慣慣性性力力我我們們定定義義： 1 1 非慣性系中質點動力學的基 本方程第1頁/共21頁例一例一 . (書上書上P2 例例11) 單擺的擺長為單擺的擺長為L, 小球的質量為小球的質量為m , 其懸掛點其懸掛點O以加速度以加速度 ao 向上運動向上運動. 求此單擺的微振動周期求此單擺的微振動周期.lgmgeFOF l0aononnooogeraglTlaglaglagmamgmlFgm

3、FamO 2200)(sin,sin)(sinsin:,):(:22 由由微微振振動動將將其其沿沿切切向向投投影影動動力力學學方方程程為為為為原原點點的的平平動動參參考考系系的的小小球球相相對對以以取取小小球球分分析析動動方方程程求求運運動動周周期期就就要要先先求求運運分分析析解解第2頁/共21頁例二例二. ( 參見書上參見書上 習習 1 4 ) 質點質點M其質量為其質量為m, 被限制在旋轉面容器被限制在旋轉面容器內光滑的經線內光滑的經線AOB運動運動. 旋轉面容器繞其幾何軸旋轉面容器繞其幾何軸Oz 以勻角速度以勻角速度 轉轉動動.求求: M點相對靜止處曲線的切線斜率與回轉半徑點相對靜止處曲線

4、的切線斜率與回轉半徑r 的關系的關系. 如果如果r為任意值時為任意值時M點都靜止點都靜止, 求旋轉面經線求旋轉面經線AOB的形狀的形狀.OyxzMrmgNFngeFAB)(202:.22222線為拋物線線為拋物線知知由圖示坐標系的選擇可由圖示坐標系的選擇可于是有于是有為任意值即是變量為任意值即是變量若若AOBygzCCygzygdydztgyr grtgmgrmmgFgmFFgegeN22sincossincos000 即即沿沿切切向向投投影影將將則則r ra a 若若小小球球相相對對靜靜止止, ,: :解解第3頁/共21頁習習 1 5 . 圖示一離心分離機的鼓室圖示一離心分離機的鼓室, 鼓室

5、的半徑為鼓室的半徑為R , 高為高為H . 以勻以勻角速度角速度 繞繞 Oy軸轉動軸轉動. 當鼓室無蓋時當鼓室無蓋時, 為使被分離的液體不致溢為使被分離的液體不致溢出出. 試求試求:(1) 鼓室旋轉時鼓室旋轉時, 在平面內液面所形成的曲線形狀在平面內液面所形成的曲線形狀.(2) 注入液體的最大高度注入液體的最大高度H . yngeFoyxhHoRmgFH h 222,)()1(:xgymxfy 線線方方程程為為由由上上一一題題的的解解答答可可知知曲曲進進行行受受力力分分析析意意點點對對曲曲線線上上相相對對靜靜止止的的任任設設曲曲線線方方程程為為解解第4頁/共21頁yngeFoyxhHoRmgF

6、H h 22222242224230024244,42)2(RgHyhHHRghgRyRgvyRyRxzRgdxxgxydxvvxzooooRR 由曲線方程可知由曲線方程可知由題意得由題意得面以上的液體體積為面以上的液體體積為靜止時靜止時面以上的液體體積為面以上的液體體積為設旋轉拋物面下設旋轉拋物面下第5頁/共21頁第6頁/共21頁 在非慣性系下的力學系統在非慣性系下的力學系統, 無論處于什么狀態無論處于什么狀態, ( 靜止、運動靜止、運動 ) 必存必存在著慣性力在著慣性力. 這些慣性力所產生的力學效應這些慣性力所產生的力學效應, 可以通過相關的儀器測可以通過相關的儀器測出出, 或可以通過人的

7、感官感覺到或可以通過人的感官感覺到. 公共汽車在轉彎的時候對車上的物體作用有離心慣性力公共汽車在轉彎的時候對車上的物體作用有離心慣性力, 這已是這已是常識常識. 還有一些感覺是一般人體會不到的還有一些感覺是一般人體會不到的 . 飛機加速上升飛機加速上升, 使人身上的血往下流使人身上的血往下流, 腦中失血腦中失血, 眼睛失明眼睛失明 這就是這就是飛行中的飛行中的 黑暈黑暈 現象現象. 飛機加速下降飛機加速下降, 使人身上的血往上流使人身上的血往上流, 腦中充血腦中充血, 眼睛紅視眼睛紅視 這就是這就是飛行中的飛行中的 紅視紅視 現象現象. 地球本身就是一非慣性系地球本身就是一非慣性系, 而且是一

8、有轉動的非慣性系而且是一有轉動的非慣性系. 所以所以, 嚴嚴格地講格地講,以地球作為參照系的上的力學現象中以地球作為參照系的上的力學現象中, 應有牽連慣性力和科應有牽連慣性力和科氏慣性力的效應氏慣性力的效應. 如果考察地球上局部空間內的力學現象如果考察地球上局部空間內的力學現象, 把地球的這一部分運動空把地球的這一部分運動空間視為間視為 勻速直線平動勻速直線平動, 則許多力學現象的分析與計算結果是可則許多力學現象的分析與計算結果是可用的用的. 但是但是, 對于一些精確的力學問題對于一些精確的力學問題, 以及大尺度的力學問題以及大尺度的力學問題, 必須考慮必須考慮相應的慣性力相應的慣性力.對于地

9、球上的許多大尺寸的運動學問題對于地球上的許多大尺寸的運動學問題, 科氏慣性力的影響不容忽科氏慣性力的影響不容忽視視. 下面下面, 我們來研究地球上物體的運動與科氏慣性力我們來研究地球上物體的運動與科氏慣性力.第7頁/共21頁建立地面坐標系如圖示建立地面坐標系如圖示質點相對于地球的運動微分方程為質點相對于地球的運動微分方程為CgFgmrm rmkmgrm 2即為即為: Irkgr 2 kyjzxiyzyxkjir coscossin2sin2sin0cos22 Rxyzo i j k 090 3cos22cos2sin21sin2 ygzzxyyx ( I ) 式的投影方程為式的投影方程為:第8

10、頁/共21頁 3cos22cos2sin21sin2 ygzzxyyx 自由落體偏東自由落體偏東設運動初始條件設運動初始條件:0.,0000000 zyxhzyx將將( 1 ) 、( 3 ) 式分別積分式分別積分:Ayx sin2Bygtz cos2由初始條件可得由初始條件可得: A = 0, B = 0 sin2 yx cos2 ygtz 代入代入( 2 ) 式整理可得式整理可得: cos222tgyy 其解為其解為: 2cos2sin2cosgttDtCy 2cos2cos22sin2gtDtCy Rxyzo i j k 090第9頁/共21頁 2cos2sin2cosgttDtCy 2c

11、os2cos22sin2gtDtCy 2004cos000 gDCyy可得可得由由 52cos2sin4cos2tgtgy sin2 yx cos2 ygtz 代入代入可得可得tgtgx22sin2sin42sin Etgtgx 2242sin2cos82sin:積分得積分得:00得得由由 x282sin gE 442sin12cos82sin22tgtgx 同理可得同理可得: 61cos2112cos4cos2222hgttgz Rxyzo i j k 090第10頁/共21頁 442sin12cos82sin22tgtgx 61cos2112cos4cos2222hgttgz 52cos2

12、sin4cos2tgtgy 這就是考慮科氏慣性力影響的自由落這就是考慮科氏慣性力影響的自由落體公式體公式.srad /1029. 75 這里這里, 地球的自轉的角速度地球的自轉的角速度借助于冪級數借助于冪級數, 我們來分析上面的方程我們來分析上面的方程.44223332212cos3422sintttttt 取取代入代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式式 可得可得: 4222342cos6121cos312sin121tggthztgytgx Rxyzo i j k 090第11頁/共21頁4222342cos6121cos312sin121tggthztgytgx :2上上式式變

13、變為為項項如如果果略略去去 2321cos310gthztgyx 如果不考慮地球的角速度如果不考慮地球的角速度, 即是略去即是略去 、 項項, 則有則有:22100gthzyx 從這幾組方程可明確得知從這幾組方程可明確得知: 自由落體運動自由落體運動, 在考慮地球在考慮地球的自轉效應時的自轉效應時, 落到地面后落到地面后位置偏東位置偏東, 若在精確一點講若在精確一點講, 還有一點偏南還有一點偏南(北半球北半球) 或偏或偏北北( 南半球南半球) . ( 只有兩極處無此現象只有兩極處無此現象 ) Rxyzo i j k 090第12頁/共21頁 豎直上拋物體落點偏西豎直上拋物體落點偏西 3cos2

14、2cos2sin21sin2 ygzzxyyx 由初始條件由初始條件: 000000000vzyxzyx 重復前面的解題過程可得重復前面的解題過程可得: 2200t42sing1t2cos82singt22sinvt2sin42sinvx tgtgtvy 2cos2sin4cos12cos2cos20 12cos4cos2sin2cos21sin2220202 tgtvgttvz44223332212cos3422sintttttt 取取代入代入 上上 式式 可得可得: Rxyzo i j k 090第13頁/共21頁 24223202043032042320cos61cos3221cos31

15、cos31cos2sin342sin31tgtvgttvztvtgtvytgtvx若去掉若去掉 以上的項則有以上的項則有:2032021cos31cos0gttvztgtvyx gvtz020 時時設設( 物體返回地面物體返回地面 ) cos4cos831cos42303302200gvgvggvvy( 落地偏西落地偏西 ) Rxyzo i j k 090第14頁/共21頁1 2 非慣性系中的動能定理前面我們使用的動能定理是在慣性參考系下成立的前面我們使用的動能定理是在慣性參考系下成立的, 它只適合于慣它只適合于慣性系性系. 對于在非慣性系下運動的物體對于在非慣性系下運動的物體, 質點在此參考

16、系下的動能的變質點在此參考系下的動能的變化化, 除與真實力的功有關除與真實力的功有關, 還與慣性力的功有關還與慣性力的功有關.質點的相對運動的動力學方程可以寫為質點的相對運動的動力學方程可以寫為: AFFFdtVdmCeggr 注意注意: rdVdr ,表示相對矢量在動系表示相對矢量在動系( 這里指非慣性參考系這里指非慣性參考系)內的改內的改變量變量. ( 這種記法詣在與第八章的記法一致這種記法詣在與第八章的記法一致, 想必不難想必不難理解理解.)rd 顯然顯然, 就是質點的相對位移就是質點的相對位移.將將(A)式兩端同乘式兩端同乘rd dtrdVr BrdFrdFrdFrddtVdmCegg

17、r 注意注意: rgVFC 0 rdFrdFCCgg第15頁/共21頁 CrdFrdFVdVmegrr 41212 CgFrWWmVd兩端積分可得兩端積分可得: 5121212212 egFrrWWmVmV質點在非慣性系中的動能的微分, 等于作用于質點上的真實力與牽連慣性力在相對運動中的元功之和.質點在非慣性系中的相對動能的改變量, 等于作用于質點上的真實力與牽連慣性力在相對運動的路程上所作的功之和.第16頁/共21頁例14 一平板與水面成角, 板上有一質量為 m 的小球, 如圖示. 若不計摩擦等阻力, 問平板以多大的加速度向右平移時, 小球能保持相對靜止? 若平板又以這個速度的兩倍向右平移時

18、, 小球沿板向上運動. 問小球沿板走了l 距離后, 小球的相對速度是多少? xyo x y o ?ae NFegFgm解解: (1) 令板向右平移令板向右平移, 則無科氏慣則無科氏慣 性力性力.若相對靜止若相對靜止, 則受力如圖則受力如圖由幾何法可得由幾何法可得: tgmgFeg tggatgmgmaee第17頁/共21頁( 2 ) 若板的平移加速度若板的平移加速度 tggae2而小球沿板走了而小球沿板走了l 距離距離 x y o ? eaNFegF gml則牽連慣性力則牽連慣性力 tgmgFeg2由相對運動的動能定理由相對運動的動能定理: sin2cossin0212glVlFlmgmVrgre第18頁/共21頁例例 1 5 半徑為半徑為 R 的環形管的環形管, 繞鉛垂軸繞鉛垂軸 z 以勻角速度以勻角速度 轉動轉動. 管內有管內有一質量為一質量為 m 的小球的小球, 原在最低處平衡原在最低處平衡. 小球受微小干擾而沿圓管上小球受微小干擾而沿圓管上升升, 忽略管壁的摩擦忽略管壁的摩擦, 求小球能達到的最大偏角求小球能達到的最大偏角.解解: 設小球能達到的最大偏角為設小球能達到的最大偏角為max R 由相對運動的動能定理由相對運動的動能定理 sinsincos10sincos100maxmax02max0maxRdRmmgRRdFmgReg小球受力如圖示小球受力