1、課時作業梯級練課時作業梯級練三十九三十九 等比數列及其前等比數列及其前 n n 項和項和 一、選擇題(每小題 5 分，共 25 分) 1音樂與數學有著密切的聯系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音， “宮”經過一次“損”，頻率變為原來的32 ，得到“微” ， “微”經過一次“益” ，頻率變為 原 來 的34 ， 得 到 “ 商 ” ， ， 依 此 規 律 損 益 交 替 變 化 ， 獲 得 了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階據此可推得( ) a “商、羽、角”的頻率成公比為34 的等比數列 b “宮、微、商”的頻率成公比為32 的等比數列 c “宮、商、角”的頻率成公

2、比為98 的等比數列 d “角、商、宮”的頻率成公比為12 的等比數列 【解析】選 c.以“宮”為基本音， “宮”經過一次“損”，頻率變為原來的32 ，得到“微”，“微”經過一次“益”，頻率變為原來的34 ，得到“商”， 所以 q32 34 98 . 2.(2021大理模擬)已知在等比數列an中,若 a1=2,且 4a1,a3,2a2成等差數列,則 a5= ( ) a.2 b.2 或 32 c.2 或-32 d.-1 【解析】 選 b.設等比數列an的公比為 q(q0),因為 4a1,a3,2a2成等差數列,所以 2a3=2a2+4a1,因為 a10,所以 q2-q-2=0,解得:q=2 或

3、q=-1,所以 a5=a1q4,a5=32 或 2. 3(2020 張家口模擬)已知數列 an 的前 n 項和為 sn，a12，sn14ansn，則 an( ) a24n3 b22n1 c22n1 d24n 【解析】選 b.因為 sn14ansn， 所以 sn1sn4an， 即 an14an，且 a12， 所以數列an是以 2 為首項，4 為公比的等比數列，所以 an24n122n1. 4 已知等比數列 an 的首項為 1， 若 4a1， 2a2， a3成等差數列， 則數列1an 的前 5 項和為( ) a3116 b2 c3316 d1633 【解析】選 a.設 an 的公比為 q，因為 4

4、a1，2a2，a3成等差數列，所以 4a24a1a3，即 4q4q2， 所以 q2，所以 an2n1. 所以1an 12 n1， 數列1an 是首項為 1， 公比為12 的等比數列， 所以 s511125112 3116 . 5已知等比數列an的前 n 項和 sna 3n1b，則ab ( ) a3 b1 c1 d3 【解析】選 a.因為等比數列an的前 n 項和 sna 3n1b，所以 a1s1ab，a2s2s13abab2a，a3s3s29ab3ab6a， 因為等比數列an中，a22 a1a3， 所以(2a)2(ab)6a，解得ab 3. 二、填空題(每小題 5 分，共 15 分) 6(20

5、21 長春模擬)若數列 an 滿足 a11，an12an，n1，2，3，則 a1a2an_ 【解析】由已知得an1an 2，所以數列an是 a11，q2 的等比數列，故 sn1（12n）12 2n1. 答案：2n1 7在等比數列 an 中，若 a7a125，則 a8a9a10a11_ 【解析】由 a7a125 得，a1q6a1q11a21 q175， 故 a8a9a10a11a1q7a1q8a1q9a1q10a41 q34(a21 q17)25225. 答案：25 【一題多解】由等比數列的性質知 a8a11a9a10a7a125， 所以 a8a9a10a1125. 答案：25 8.設等比數列a

6、n滿足 a1+a3=20,a2+a4=10,則 a1a2a3an的最大值為 . 【解析】因為等比數列an滿足 a1+a3=20,a2+a4=10,所以 a1=16,公比 q= , 所以 a1a2a3an=,當 n=4 或 5 時取最大值為 210,故 a1a2a3an的最大值為 1 024. 答案:1 024 三、解答題(每小題 10 分，共 20 分) 9(2020 全國卷)設 an 是公比不為 1 的等比數列，a1為 a2，a3的等差中項 (1)求 an 的公比； (2)若 a11，求數列nan的前 n 項和 【解析】(1)設 an 的公比為 q， 由題設得 2a1a2a3，即 2a1a1

7、qa1q2. 因為 a10， 所以 q2q20，解得 q1(舍去)，q2. 故 an 的公比為2. (2)設 sn為nan的前 n 項和 由(1)及題設可得，an(2)n1. 所以 sn12(2)n(2)n1， 2sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n. 可得 3sn1(2)(2)2(2)n1n(2)n1（2）n3 n(2)n. 所以 sn19 （3n1）（2）n9 . 10已知等比數列an的公比 q0，其前 n 項和為 sn，且 s562，a4，a5的等差中項為 3a3. (1)求數列an的通項公式 (2)設 bn1（log2an）（log2an2） ，求數列bn的前 n 項和 tn.

8、 【解析】(1)因為 a4a56a3，所以 a1q3a1q46a1q2，即 q2q60， 解得 q2 或 q3(舍去). 所以 s5a1（125）12 31a162，a12， 所以 an2 2n12n. (2)因為 bn1（log2an）（log2an2） 1n（n2） 12 1n1n2 ， 所以 tnb1b2bn 12 11312141315 1n21n1n11n11n1n2 12 1121n11n2 12 322n3n23n2 34 2n32n26n4 . 1 (2020 全國卷)記 sn為等比數列an的前 n 項和 若 a5a312， a6a424， 則snan ( ) a2n1 b22

9、1n c22n1 d21n1 【解析】選 b.設等比數列的公比為 q， 由 a5a312，a6a424 可得： a1q4a1q212a1q5a1q324 q2a11 ， 所以 ana1qn12n1， sna1（1qn）1q 12n12 2n1， 因此snan 2n12n1 221n. 2若數列an滿足1an1 3an 0(nn)，則稱an為“夢想數列”，已知數列1bn 為“夢想數列”，且 b1b2b32，則 b3b4b5( ) a18 b16 c32 d36 【解析】選 a.根據題意， “夢想數列”an滿足 1an1 3an 0(nn)， 即 an3an1，數列an為公比為13 的等比數列，若

10、數列1bn 為“夢想數列”， 則1bn 31bn1 ，變形可得 bn13bn， 即數列bn為公比為 3 的等比數列， 若 b1b2b32， 則 b3b4b59(b1b2b3)18. 3數列 an 中，已知對任意正整數 n，有 a1a2a3an2n1，則 a21 a22 a2n ( ) a(2n1)2 b13 (4n1) c13 (2n1) d4n1 【解析】選 b.因為 a1a2a3an2n1， 所以 a1a2a3an12n11，n2， 得 an2n1，n2. 當 n1 時，a12111 滿足 an2n1， 所以 an2n1(nn*)，所以 a2n 22n2， 所以數列a2n 是以 1 為首項

11、，4 為公比的等比數列， 所以 a21 a22 a23 a2n 14n14 13 (4n1). 4(2020 新高考全國卷)已知公比大于 1 的等比數列an滿足 a2a420，a38. (1)求an的通項公式； (2)記 bm為an在區間(0，m(mn*)中的項的個數，求數列bm的前 100 項和 s100. 【解析】(1)設an的公比為 q. 由題設得 a1qa1q320，a1q28. 解得 q12 (舍去)，或 q2，a12. 所以an的通項公式為 an2n. (2)由題設及(1)知 b10，且當 2nm2n1時，bmn. 所以 s100b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b32b33b

12、63)(b64b65b100)0122223234245256(10063)480. 5已知首項為32 的等比數列an的前 n 項和為 sn(nn*)，且2s2，s3，4s4成等差數列 (1)求數列an的通項公式 (2)證明：sn1sn 136 (nn*). 【解析】(1)設等比數列an的公比為 q， 因為2s2，s3，4s4成等差數列，所以 2s34s42s2，即 s32s4s2，即 s4s3s2s4， 可得 2a4a3，于是 qa4a3 12 . 又 a132 ，所以等比數列an的通項公式為 an32 12 n1 (1)n132n . (2)由(1)知，sn112 n ， sn1sn 11

13、2 n 1112n 212n（2n1），n為奇數，212n（2n1），n為偶數 當 n 為奇數時，sn1sn 隨 n 的增大而減小， 所以 sn1sn s11s1 136 . 當 n 為偶數時，sn1sn 隨 n 的增大而減小， 所以 sn1sn s21s2 2512 . 故對于 nn*，有 sn1sn 136 . 1在數列 an 中，a11，a23，且an2an 2(1)n(nn*)，sn為數列 an 的前 n 項和，則 s100( ) a35012 50 b3（1350）2 50 c3（3501）2 50 d3（31001）2 50 【解析】選 c.由題意an2an 2(1)n(nn*)， 當 n 為偶數時，可得an2an 3； 當 n 為奇數時，可得an2an 1，即數列的偶數項成公比為 3 的等比數列，奇數項都為 1，由求和公式可得 s1003（3501）31 503（3501）2 50. 2 設首項為 1 的數列an的前 n 項和為 sn， 且 anan11，n2k，kn*，2an11，n2k1，kn*. 若 sm2 020，則正整數 m 的最小值為( ) a15 b16 c17 d18 【解析】選 c.由題意知 a2ka2k11，a2k12a2k1， 所以 a2k12(a2k11)12a2k