1、., 6 . 0, 7 . 0率率少有一次命中目標的概少有一次命中目標的概試求兩次獨立射擊至試求兩次獨立射擊至射擊命中目標的概率為射擊命中目標的概率為這時這時內的概率為內的概率為假設目標出現在射程之假設目標出現在射程之思路思路 引進事件引進事件 ;目標進入射程目標進入射程 a. 2 , 1, iibi次射擊命中目標次射擊命中目標第第.,21用全概率公式來求解用全概率公式來求解可利可利因此因此命中目標的命中目標的不在射程之內是不可能不在射程之內是不可能由于目標由于目標的概率的概率故所求概率為事件故所求概率為事件bbb 例例1解解由題意知由題意知)2, 1(, 6 . 0)(, 7 . 0)( i

2、abpapi, 0)(表示目標不在射程之內表示目標不在射程之內因為因為由于由于abap 有有因此由全概率公式因此由全概率公式,)()()()(abpbapabpbp )()(abpap ),()(21abbpap ,21相互獨立相互獨立與與由題意知由題意知bb 由加法公式得由加法公式得)(21abbp)()()(2121abbpabpabp .36. 06 . 06 . 0 )()()(2121abpabpabbp 從而從而36. 06 . 06 . 0 .84. 0 )()()(21abbpapbp 故故84. 07 . 0 .588. 0 .,573,251510兩份兩份從中先后抽出從中先

3、后抽出名表名表隨機地取一個地區的報隨機地取一個地區的報份份份和份和份份為為其中女生的報名表分別其中女生的報名表分別生的報名表生的報名表名考名考名和名和名名設有來自三個地區的各設有來自三個地區的各、;)1(p表的概率表的概率求先抽到的一份是女生求先抽到的一份是女生.,)2(p的一份是女生表的概率的一份是女生表的概率求先抽到求先抽到男生表男生表已知后抽到的一份表是已知后抽到的一份表是思路思路 由于抽到的表與來自哪個地區有關由于抽到的表與來自哪個地區有關,故此故此題要用全概率公式來討論題要用全概率公式來討論.例例2解解;3, 2, 1, ihi抽到地區考生的報名表抽到地區考生的報名表記記, 2, 1

4、, jjaj次抽到報名表是男生的次抽到報名表是男生的第第;107)();3 , 2 , 1(31)(11 hapihpi則有則有.2520)(;158)(3121 haphap由全概率公式知由全概率公式知)1( 3111)()()(iiihaphpapp 25515710331.9029 ,)()()()2(22121apaapaapq 由全概率公式得由全概率公式得 312121)()()(iiihaaphpaap, )(313121 iihaap又因為又因為,30797103)(121 haap,308148157)(221 haap.3052420255)(321 haap,9230530

5、830731)(21 aap所以所以)()()(2312iiihaphpap 而而 312)(31iihap,9061252015810731 )()(221apaapq 所以所以.6120906192 .,212. 2, 21,32, 11, 1, 0)(的分布律的分布律并求并求試確定常數試確定常數且且的分布函數為的分布函數為設離散型隨機變量設離散型隨機變量xbaxpxbaxaxaxxfx 思路思路 首先利用分布函數的性質求出常數首先利用分布函數的性質求出常數 a, b,再用已確定的分布函數來求分布律再用已確定的分布函數來求分布律.解解:)(的性質的性質利用分布函數利用分布函數xf例例3),

6、0()( iiixfxfxxp, 1)( f221 xp知知)32()(aba ,322 ba. 1 ba且且.65,61 ba由此解得由此解得 . 2, 1, 21,21, 11,61, 1, 0)(xxxxxf因此有因此有從而從而 x 的分布律為的分布律為xp211 213161.)3();()2(;)1(.,e)(2的概率密度的概率密度求求的分布函數的分布函數求求求系數求系數的概率密度為的概率密度為已知隨機變量已知隨機變量xyxfxaxaxfxx 解解有有由概率密度的性質由概率密度的性質,)1( xaxxfxded)(1 0de2xax,2a .21 a故故例例4,de21)()2( x

7、xxxf有有時時當當,0 xxxfxxde21)( ;e21x 有有時時當當,0 xdede21)(00 xxxxxxf;e211x 所以所以 x 的分布函數為的分布函數為 . 0,e211, 0,e21)(xxxfxx, 0)3(2 xy由于由于; 0)(,0 yypyfyy有有時時故當故當有有時時當當,0 y)(2yxpyypyfy yxyp yyxxde21,de2120 yxx),()(yfyfyy 由于由于有有時時故當故當,0 ydedd)(dd0 yxyxyyfy,21eyy 的概率密度為的概率密度為從而從而 y, . 0, 00,e21)(yyyyfyy ., 0,0,e),(

8、),(其他其他的聯合概率密度為的聯合概率密度為設隨機變量設隨機變量yxcxyxfyxy例例5.1),min()8(;1)7(;)6(;),()5(;21,21)4();(),()3(?)2(;)1( yxpyxpyxzyxyxpyxpxyfyxfyxcxyyx求求求求的密度函數的密度函數求求的聯合分布函數的聯合分布函數求求求求求求為什么為什么是否獨立是否獨立與與求常數求常數解解得得由由,1dd),()1( yxyxfxcxyyyded100 ,)3(2de202ccyycy . 1 cyyxfxfxd),()()2( . 0, 0, 0,dexxyxxy . 0, 0, 0,exxxxxyxf

9、yfyd),()( . 0, 0, 0,de0yyxxyy . 0, 0, 0,e212yyyy, )()(),(,0yfxfyxfyxyx 上上由于在由于在.不獨立不獨立與與故故yx)(),()()3(yfyxfyxfyyx ., 0,0,22其他其他yxyx)(),()(xfyxfxyfxxy ., 0,0,e其他其他yxyx21)4( yxp22, 1 ypyxp 212d)(dd),(yyfyxyxfy 202102de21dedyyyxxyxy.e51e21e21221 又由條件密度的性質知又由條件密度的性質知,d)2(211xxfyxpyx ., 0, 20,2)2(其他其他而而x

10、xxfyx從而有從而有xxyxpd22110 .41 :,),()5(故有故有由于由于yyxxpyxf . 0),(,00 yxfyx有有時時或或當當有有時時當當,0 xy,),(yyxxpyxf uuvvvyded00 yvvv02de21.e )12(12yyy 有有時時當當,0 yx,),(yyxxpyxf vuuyuvxded0 xyuuu0d)ee (.e21e )1(12yxxx 故得故得 .0,e21e )1(1,0,e )12(1, 00, 0),(22yxxxxyyyyxyxfyxy或或 ,d),()()6(xxzxfzfz根據根據,20,0,),(時時即即只有當只有當非零非

11、零由于要被積函數由于要被積函數zxxzxxzxf 從而有從而有:; 0)(,0 zfzz時時當當,0時時當當 z 20)(de)(zxzzxxzf 20deezxzxx;e )12(e2zzz 因此因此 . 0, 0, 0e12e)(2zzzzfzzz 1d)(1)7(zzfyxpzzzzzde )12(e 102 .ee1121 1),min()8( yxp1),min(1 yxp1, 11 yxpuuvvvded101 vvvde21112 .e2511 解解).( )( , 2 , 1,)1( , 1xdxekppkxpxk和和求求它的分布律為它的分布律為服從幾何分布服從幾何分布設設 1

12、1)(kkpqkxe )1 (pq 其中其中 11kkqkp2)1(qp ,1p 例例6 1122)(kkpqkxe 112kkqkp3)1()1(qqp ,12pq 22)()()(xexexd 2211ppq .2pq ).( )( )0( ., 0, 11,)1()( 2xdxexxcxfx和和求求其他其他的密度函數為的密度函數為設隨機變量設隨機變量 解解, )( 是偶函數是偶函數因為因為xf xxxfxed)()( 所以所以 112d)1(xxcx , 0 22)()()(xexexd )(2xe 例例7 1122112d)1()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1

13、(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc 1d)( xxxf)(d)(2xdxxfx ),()1(21)1(21)( xdxd 于是于是.321)( xd故故解解. , )10(,21的無偏估計量的無偏估計量并驗證它是達到方差界并驗證它是達到方差界的最大似然估計量的最大似然估計量求參數求參數分布的一個樣本分布的一個樣本的的是來自參數為是來自參數為設設pppxxxn ,1, 0,)1();(1 xpppxfxx);()(1pxfplnii ,)1(11 niiniixnxpp )(lnpl),1ln(ln11pxnpxniinii 例例8 ppld)(lnd,111

14、pxnpxniinii , 0d)(lnd ppl由由,)1( 11 niiniixnpxp得得 的最大似然估計值為的最大似然估計值為故參數故參數 p,11 niixnp 的最大似然估計量為的最大似然估計量為參數參數 p,11xxnpnii )()(xepe niixne11,)(11pxennii . 的無偏估計量的無偏估計量是是所以所以pp, 1, 0,)1();( 1 xpppxfxx又因為又因為),1ln()1(ln);(lnpxpxpxf ppxf);(ln,11pxpx 2);(lnppxfe 1 ,012)1(11xxxpppxpxpppp 221)1()1(1,)1(1pp 都滿足不等式都滿足不等式的任何一個無偏估計量的任何一個無偏估計量的參數的參數因為因為 ),( );( 21nxxxpppxf,)1();(ln)(2nppppxfenpd 的無偏估計量的無偏估計量對于參數對于參數 p,11 niixnxp niixndpd11)( niixdn12)(1)1(12ppnn ),1(1ppn . 偏估計量偏估計量的無的無的達到方差界的達到方差界是總體分布參數是總體分布參數故故pxp 解解?)05. 0( ,0025. 0 ,7 .12 ,16,0.01, , ),( 22 問此儀器工作是否穩定問此儀器工作是否穩定算得算得個點個點今抽測今抽測超過超過