1、第六章 數(shù)字濾波器設(shè)計(Digital Filter, DF)引 言濾波器，顧名思義，其作用是對輸入信號起到濾波的作用。濾波： 提取有用信號，抑制不需要的干擾； 把信號分成不同的頻率分量； 信號檢測及信號估計。經(jīng)典濾波現(xiàn)代濾波：本章的主要內(nèi)容濾波器概述典型模擬濾波器的設(shè)計無限沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器設(shè)計有限沖擊響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器設(shè)計6.1 濾波器概述一、濾波器概念 1 濾波器：對輸入信號起濾波作用。則：是其傅氏變換。是系統(tǒng)的輸出，是其傅氏變換。是系統(tǒng)的輸入，設(shè))()()()(jwjweYnyeXnxh(n)x(n)y(n)則LTI(Linear Time Invariant)系統(tǒng)的輸

2、出為：作原理。這就是數(shù)字濾波器的工符合我們的要求，使濾波器輸出選取表示）后變成其系統(tǒng)性能用經(jīng)過濾波器看出：輸入序列的頻譜)()(),()()()()()()()()()(1jwjwjwjwjwjwjwjwjwmeHeXeHeHeXeHeXeHeXFmxmnhny假定輸入信號x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的頻帶。當x(n）經(jīng)過一個線性系統(tǒng)（即濾波器）后即可將欲去除的成分有效地去除。|X(ejw)|wwc無用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為：低通濾波器（LPAF/LPDF):Low pass filter帶通濾波器(BPAF/BPDF):Ba

3、ndpass filter高通濾波器(HPAF/HPDF):High pass filter帶阻濾波器(BSAF/BSDF):Bandstop filter即它們每一種又可分為：數(shù)字(Digital)和模擬(Analog)濾波器。2 分類模擬濾波器：RC濾波、LC濾波數(shù)字濾波器：是一種計算程序，處理離 散信號。模擬濾波器的理想幅頻特性cc)( jHcc)( jH2c2c)( jH)( jH1c2c1c2cLPAFHPAFBPAFBSAF1c1c數(shù)字濾波器的理想幅頻特性LPDFHPDFBPDFBSDF2c)(jweH.23.2.2)(jweH)(jweH)(jweH二 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器是用來

4、處理數(shù)字信號的專用處理系統(tǒng)。例1：已知一個數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)21104. 042. 0151. 0)(ZZZzH)2(04. 0) 1(42. 0) 1(51. 0)(nynynxny則其相應(yīng)的差分方程為：所謂數(shù)字濾波實質(zhì)是一種運算過程，用來描述離散系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的差分方程或卷積和，給它提供一個簡明的運算規(guī)則，使它完成對數(shù)據(jù)的處理。顯然數(shù)字濾波不同于模擬濾波，因為模擬濾波是對函數(shù)進行處理。例2：已知一個數(shù)字濾波器其傳輸函數(shù)為111)(1ZZZZH則根據(jù)傳輸函數(shù)幅度特性：2cos211)(11)(jjjeHeeH高通（虛線）低通（實線）8 . 08 . 0556. 02實現(xiàn)：) 1()()

5、(nynxny)(ny)(nx1Z數(shù)字濾波器是一種數(shù)字式的處理設(shè)備，它的設(shè)計是建立在對離散系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上。但是某些濾波器的設(shè)計過程中，為了保留模擬濾波器的良好特性，往往按給定的指標先設(shè)計一個模擬濾波器，然后進行數(shù)字化，所以了解模擬濾波器的特性和設(shè)計方法是很有必要的。6.2 典型模擬濾波器設(shè)計一、基本概念1 無失真條件：t)()(tntx)(th)()(tntx)()(0ttkxty0tt)(ty)()(*)()(*)()()(0ttKxthtxthtntxtytjKeXHX)()()(條件：但是：無法做到無限長帶寬內(nèi)具有常數(shù)的幅頻特性；這個系統(tǒng)是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。結(jié)論: 由此可見，對濾波

6、器的設(shè)計，重要的是尋找一個穩(wěn)定可實現(xiàn)的傳輸函數(shù)來逼近理想特性。0)(tjKeH0)(tKH)(HK)(2 AF的衰減（衰耗）特性工作衰耗取決于幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)2)(HdBHdBH)(lg20)(lg10)(2)(通帶過渡帶阻帶pr實際的低通濾波器：理想的低通濾波器：)(pcr阻帶的最小衰耗通帶的最大衰耗阻帶的截止頻率實際的截止頻率通帶的截止頻率rprcp3 由模方函數(shù)求AF的傳遞函數(shù)jsjjsHeHeHHHHH)()()()(),()()()()(*2其中，)()()()()()(22sHsHsHsHsHHjs或所以，結(jié)論：模方函數(shù)與傳遞函數(shù)關(guān)系密切，可以從給定 的模方函數(shù)求出傳遞函數(shù)

7、。例1：)16)(9()4(20)()(,)(222222HsHH求所對應(yīng)的傳輸函數(shù)已知模方函數(shù))16)(9()4(20)()()(2222222ssssHsHHsjs得：代入，即解：以零點，并取虛軸上一對共軛的極點分給，將左半平面，極點)(243sHjsss)4)(3()2)(2(5)(ssjsjssH二、巴特沃思低通濾波器（一）基本性質(zhì) 從給定的指標設(shè)計模擬濾波器，其中心是如何尋找一個恰當?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性。 巴特沃思濾波器是以巴特沃思近似函數(shù)作為濾波器的傳輸函數(shù)，該函數(shù)以最高階泰勒級數(shù)的形式來逼近理想矩形特性。模方函數(shù)：, 2 , 1,)(11)(222NHNc121112NcH2

8、2)(11)(則隨著階次N的增加，通帶越平坦，越接近理想的特性， ，逼近矩形。NdBHH32lg10)(lg10)(2/1)(22，則這里取半功率點為截頻性質(zhì)：對不同的N，總存在 ，幅度隨 著 的升高單調(diào)下降。當 這說明在 處最“平坦”最大平坦近似。0)(2/1)(1)0(222HHHc12, 2 , 1, 0)(1)(0002422NkHddHkkNN。似特性之間的差別為時，理想幅度特性與近0頻率遠離 ，在高頻范圍內(nèi)，頻率每增加一倍，衰耗增加6NdB。cNcNcH2)(221)(11)(cNcNHlg20)lg(10)(lg10)(22dBNdBNcc62lg20)(20時，當；）（時，當（

9、二）設(shè)計過程按給定指標確定N。 ，通帶最大衰耗 ，阻帶最小衰耗crpr)1lg(1011lg10)(11lg10)1lg(1011lg10222222Ncrrp,)/lg()/lg()(222crNcrN由模方函數(shù)求傳輸函數(shù)H(s) 巴特沃思函數(shù)極點分布規(guī)律01)(01)(222222NcNcs jsNcNNs222) 1() 1(為整數(shù)kekj,1)12(12, 1 , 02)12(1NkesNNkjcNk其中，極點分布圖ResN=3ResjImsS平面N=4jImsS平面38N階巴特沃思濾波器的傳輸函數(shù)NiiNiiNNNsssssssssssssH112121)()()()() 1()(練

10、習(xí)設(shè)計一個滿足下列指標的巴特沃思濾波器(BW)，通帶0105rad/s， 105rad/s =3dB，阻帶 4105rad/s， 35dBpcrr6.3 無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計一、無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器 (Infinite impulse response, IIR)11101)(MiiiNiiizbzazH數(shù)：因果離散系統(tǒng)的傳遞函1. 若bi全為零，則有具有(1)式形式的濾波器簡稱為FIR濾波器 (Finite Impulse Response)10)1(122110)(NiNNiizazazaazazH) 1 () 1() 1()()(110NnanananhN10, 0)(:Nnnn

11、h及且) 1()() 1() 1()(10110nybnxaNnxanxanxanyN）差分方程：2. bi中至少有一項不為零，并且分母中至少有一個根不為分子所抵消具有(2)式形式的濾波器簡稱為IIR濾波器 (Infinite Impulse Response)0, 1, 0, 113211210NNbbbbaaaa設(shè)1),1 (1)(:21010zzzazazH則有)2() 1()()(0nnanh) 1()()() 1()()(100nybnxanynxnxany或差分方程：二、設(shè)計IIR濾波器的基本條件1 可實現(xiàn)性（因果的，穩(wěn)定的）2 實現(xiàn)從模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換 在一定條件下用離散的變量Z代

12、替連續(xù)變量S，則模擬濾波器的傳輸函數(shù)H(S)就有可能變換成IIR的傳輸函數(shù)H(Z)0)(0, 0)(nnhnnh結(jié)論：因此，在實際設(shè)計IIR時，常根據(jù)指標先設(shè)計一個模擬濾波器，然后將其數(shù)字化。從模擬到數(shù)字的映射要滿足兩個條件： (1)為了保持模擬濾波器頻率特性，必須將S平面的復(fù)頻率軸 映射到Z平面的單位圓上。 (2)為了保持模擬濾波器的穩(wěn)定性，將S左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。j,jezjs 10Rezs三、脈沖響應(yīng)不變法1 基本思路 它把模擬濾波器沖激響應(yīng)的均勻取樣值， 作為數(shù)字濾波器的單位取樣值。 然后將h(n)通過Z變換求H(z)。 在頻率特性上：nTtthnh)()()(1)(nsT

13、jjnjHTeH2 基本過程 由給定的指標 AF的傳遞函數(shù)H(S) 反拉氏變換得h(t) h(n) 離散的單位脈沖響應(yīng)H(z) 抽樣Z變換例：試用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個數(shù)字濾波器，已知滿足給定指標要求的AF的傳輸函數(shù)為：為常數(shù)其中babasassH,)()(22tjbatjbaeethjbasjbasbasassH)()(222121)(2121)()(解：nTjbanTjbanTteethnh)()(2121)()(02211)cos2(1)cos(1)()(naTaTaTnzezbTezbTeznhzH四、雙線性變換1 基本思路 按給定指標設(shè)計AF得到H(s) H(z)壓縮頻帶)(sHZ變

14、換sjImS平面sRe平面ssResjImRezzjImZ平面2. 基本問題映射 ：ss),2(jsTsthcs2Ttgcjsjs代入：，以2222TtgcTTtgcTTsTs，2,2ssZ變換：Tsez111122222zzceeeecTsthcsTsTsTsTsscscz同理：五、利用頻率變換設(shè)計IIR濾波器方法1：方法2：設(shè)計模擬低通濾波器從模擬到模擬頻率變換實現(xiàn)濾波器數(shù)字化脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換脈沖響應(yīng)不變法從數(shù)字到數(shù)字頻率變化實現(xiàn)低通濾波器數(shù)字化設(shè)計模擬低通濾波器雙線性變換6.4 有限長脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器設(shè)計一、基本性質(zhì) 1 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)與 相應(yīng)的單位

15、脈沖響應(yīng)的關(guān)系01, 1 , 0,)(, )()(,)(1010NinanhinanhzazHiNiiNiii即10101)()(NnnNnnznhzazH以 代入上式:jez )(10)()()(jNnjnjjeeHenheHFIR頻率響應(yīng)：幅頻特性相頻特性定義：ddgp)()(群時延：相時延：濾波器有嚴格的線性相位：是常數(shù)）（)(10101cos)(sin)()(NnNnnnhnnhtg1010cos)(sin)(:NnNnnnhnnhtg即將上式交叉相乘：10100cossin)(sincos)(NnNnnnhnnh100)sin()(Nnnnh或結(jié)論：)1()(21nNhnhN2. 幅

16、頻特性根據(jù)濾波器脈沖響應(yīng)的奇偶對稱性質(zhì)，以及N是奇數(shù)還是偶數(shù)等特點，對線性相位FIR濾波器的設(shè)計存在四種不同情況。分析利用10)()(NnnjjenheH二、矩形窗函數(shù)設(shè)計法（傅立葉級數(shù)法）設(shè)計思想：確定有限長脈沖響應(yīng)序列h(n) 1 ()()(nnjdjdenheH)2()(21)(deeHnhnjjddnnddjznhzHze)()(代入：以如何用有限長序列h(n) 理想脈沖響應(yīng)hd(n)逼近(1) 項數(shù)：將hd(n)加矩形窗截短21)()(NMznhzHMMnndN，(2) 將有限長序列時延：MMnMndNMznhzHzzH)()()()(推導(dǎo)h(n)與hd(n)的關(guān)系MnNnnndMkkdznhzMnhzMkhzHnMk201020)()()()(令1, 1 , 02) 1)()(NnNMMnhnhd，（，設(shè)計過程：deeHMnhnhnhnheHNMnjjdddjd)()(21)()()()()(確定例：設(shè)計線性相位低通濾波器，其理想的