1、關(guān)于關(guān)于“二次型二次型”的教學(xué)體會(huì)的教學(xué)體會(huì)廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 杜妮杜妮20102010年年4 4月于三明學(xué)院月于三明學(xué)院一一. . 1 1、二次型與相伴矩陣、二次型與相伴矩陣 nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaaxx ax111211212222121212(,) 定義定義這里這里a= =aknn, ,xkn1. .a稱為稱為f 的的相伴矩陣相伴矩陣. 數(shù)域數(shù)域k上上n元二次型元二次型 數(shù)域數(shù)域k上上n階對(duì)稱矩陣階對(duì)稱矩陣.注注 特別強(qiáng)調(diào)相伴矩陣寫(xiě)法的唯一性特別強(qiáng)調(diào)相伴矩陣寫(xiě)法的唯一性.1:12 2、慣性定理、慣性定理 122222111122221

2、 111(,)npppprrkkkkrrf xxxc yc ycyc yd zd zdzd z慣性定理慣性定理: : f (x1,xn)是是r上上n元二次型元二次型, 在在 非退化線性替換非退化線性替換x = cy, x = dz下下, 其中其中 則必有則必有p = k.0,0,1.iicdir注注： 此處強(qiáng)調(diào)通過(guò)此處強(qiáng)調(diào)通過(guò)非退化非退化的線性替換，聯(lián)系習(xí)題的線性替換，聯(lián)系習(xí)題：設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型其中其中 證明證明 f 的正慣性指數(shù)的正慣性指數(shù)pk.22221211(,).,nkkk sf xxxyyyy1,(1).niijjjya xiks 3 3、正定矩陣的等價(jià)說(shuō)法、正定矩陣的等價(jià)說(shuō)法

3、定理定理: a =arnn, 則下列條件等價(jià)則下列條件等價(jià): (1) a是正定陣是正定陣. (2) 對(duì)任意對(duì)任意0xrn1 , 有有xax 0. (3) 存在可逆陣存在可逆陣prnn, 使得使得pap = in. (4) 存在可逆陣存在可逆陣prnn, 使得使得a = pp. (5) a的正慣性指數(shù)的正慣性指數(shù)p = n. (6) a的所有主子式的所有主子式 0. (7) a的所有順序主子式的所有順序主子式 0. (8) a的所有特征值的所有特征值 0. (注明第九章中證明注明第九章中證明) 注：注：此處配合舉例說(shuō)明，使學(xué)生靈活掌握等價(jià)條件此處配合舉例說(shuō)明，使學(xué)生靈活掌握等價(jià)條件.定理定理:

4、設(shè)設(shè)a=arnn, a為半正定矩陣為半正定矩陣 a的所有的所有主子式主子式 0 .注注: 此處此處“主子式主子式”不能改為不能改為“順序主子順序主子式式”.強(qiáng)調(diào)與半正定矩陣判定條件的對(duì)比強(qiáng)調(diào)與半正定矩陣判定條件的對(duì)比 設(shè)設(shè) f (x1,xn) = xax是是k上上n元二次型元二次型, 作作非退非退化化線性替換線性替換x=cy, 其中其中c是是k上的上的n階可逆陣階可逆陣, 則則f ( x1,xn ) = ycacy = g( y1,yn ).定義定義: a , bknn , b與與 a稱為稱為合同合同的的,如果存在如果存在n階可逆陣階可逆陣c, 使使b = cac.例例: 復(fù)數(shù)域上任一復(fù)數(shù)域上

5、任一n階對(duì)稱方陣階對(duì)稱方陣a, 必存在必存在n階方階方陣矩陣陣矩陣t, 使得使得a=tt且且r (t) = r (a).例例:設(shè)設(shè) f 是實(shí)二次型是實(shí)二次型, 其相伴矩陣為其相伴矩陣為a, 若若|a|0, 證明證明: 必存在一組實(shí)數(shù)必存在一組實(shí)數(shù) , 使使12,na aa12(,)0.nf a aa 例例:設(shè)設(shè)a是反對(duì)稱陣是反對(duì)稱陣, 即即a= -acnn, 則則a必合必合同于同于010100ss, s. 例例: 若若a是實(shí)反對(duì)稱陣是實(shí)反對(duì)稱陣, 則則a的行列式總是非負(fù)的行列式總是非負(fù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù). 例例: 元素全是整數(shù)的反對(duì)稱矩陣的行列式一元素全是整數(shù)的反對(duì)稱矩陣的行列式一定是某個(gè)整數(shù)的平方定是

6、某個(gè)整數(shù)的平方. 定理定理:設(shè)設(shè) 是是n維歐氏空間維歐氏空間v上對(duì)稱算子上對(duì)稱算子, 則存在則存在v的的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 使使 在這組基下的矩陣是對(duì)角陣在這組基下的矩陣是對(duì)角陣.利用同構(gòu)的思想，得到利用同構(gòu)的思想，得到定理定理:設(shè)設(shè)a= arnn, 則存在正交陣則存在正交陣t, t-1at=tat為對(duì)角陣為對(duì)角陣, 且對(duì)角線元素為且對(duì)角線元素為a的特征值的特征值.定理定理:設(shè)設(shè) 是是n元實(shí)二次型元實(shí)二次型, 是是a的所有特征值的所有特征值, 則必存在則必存在正交線正交線性替換性替換 為正交陣為正交陣, 使使 f 的正慣性指數(shù)等于的正慣性指數(shù)等于a的正特征值個(gè)數(shù)的正特征值個(gè)數(shù), f

7、 的負(fù)慣性指數(shù)等于的負(fù)慣性指數(shù)等于a的負(fù)特征值個(gè)數(shù)的負(fù)特征值個(gè)數(shù), f 的秩等于的秩等于a的非零特征值的個(gè)數(shù)的非零特征值的個(gè)數(shù).22211122(,)nnnf xxyyy1(,)nf xxx ax 1,n,xty t 例例: 設(shè)設(shè)a是是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，階實(shí)對(duì)稱矩陣， 是是其所有特征值其所有特征值, 則對(duì)任意則對(duì)任意 , 都有都有例例:設(shè)設(shè)a,b是是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值分別是階實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值分別是 則則a+b的特征值全落在的特征值全落在 中中.12.n12.n1rn 1.na 12.n11,nn 例例 設(shè)設(shè)a是是n階正定陣，階正定陣，b是是同同階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必存在可逆矩陣存在可逆矩陣c，使得，使得其中其中 是矩陣是矩陣 的特征值的特征值.例例 設(shè)設(shè)a是是n階正定陣，階正定陣，b是是同同階實(shí)對(duì)稱矩陣，若階實(shí)對(duì)稱矩陣，若ab是實(shí)對(duì)稱陣，則是實(shí)對(duì)稱陣，則ab是正定陣的充要條件是是正定陣的充要條件是b的特征值全是大于零的實(shí)數(shù)的特征值全是大于零的實(shí)數(shù).12,nnc acic bcdiag i 1a b 例例: 證明證明: n維歐氏空間維歐氏空間v的自伴隨算子的自伴隨算子 有有公共由它們的特征向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交基的充公共由它們的特征向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要條件是分必要條件是