1、隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組第三章第三章隨機信號通過線性系統分析隨機信號通過線性系統分析 隨機信號分析隨機信號分析隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2223.1 3.1 線性系統基本理論線性系統基本理論3.2 3.2 連續時間系統的線性系統分析連續時間系統的線性系統分析3.3 3.3 離散時間系統的線性系統分析離散時間系統的線性系統分析3.4 3dB3.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬3.5 3.5 希爾伯特變換和解析過程希爾伯特變換和解析過程3.6 3.6 窄帶隨機過程表示窄帶隨機過程表示3.7 3.7 窄帶隨機過程包絡和相位的特性窄帶隨機過程包絡和相

2、位的特性3.8 3.8 正弦信號與窄帶正弦信號與窄帶SPSP之和的包絡和相位的特性之和的包絡和相位的特性隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2233.2 3.2 連續時間系統的線性系統分析連續時間系統的線性系統分析3.3 3.3 離散時間系統的線性系統分析離散時間系統的線性系統分析3.4 3dB3.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬3.5 3.5 希爾伯特變換和解析過程希爾伯特變換和解析過程3.6 3.6 窄帶隨機過程表示窄帶隨機過程表示3.7 3.7 窄帶隨機過程包絡和相位的特性窄帶隨機過程包絡和相位的特性3.8 3.8 正弦信號與窄帶正弦信號與窄帶SPSP之和的

3、包絡和相位的特性之和的包絡和相位的特性3.1 3.1 線性系統基本理論線性系統基本理論隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-224系統可分為：系統可分為： （1）線性系統：線性放大器、線性濾波器）線性系統：線性放大器、線性濾波器 （2）非線性系統：限幅器、平方律檢波器）非線性系統：限幅器、平方律檢波器對于線性系統：已知系統特性和輸入信號的統計特性，可以求出系統輸對于線性系統：已知系統特性和輸入信號的統計特性，可以求出系統輸 出信號的統計特性出信號的統計特性隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-225下面的分析限定系統是單輸入單輸出（響應）的、連續或離散時不變下面的分

4、析限定系統是單輸入單輸出（響應）的、連續或離散時不變的、線性的和物理可實現的穩定系統。的、線性的和物理可實現的穩定系統。連續時間系統：系統的輸入和輸出都是連續時間信號；連續時間系統：系統的輸入和輸出都是連續時間信號；離散時間系統：系統的輸入和輸出都是離散時間信號。離散時間系統：系統的輸入和輸出都是離散時間信號。連續與離散系統：連續與離散系統：（1）線性性：線性性：（2）時不變：）時不變： 線性時不變系統：線性時不變系統：1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t稱作算子L00() ()y ttL x tt隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2

5、26 什么是線性系統？什么是線性系統？時不變線性系統時不變線性系統連續時不變線性系統連續時不變線性系統離散時不變線性系統離散時不變線性系統隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-227時不變時不變線性線性系統系統若任意常數若任意常數a, b, 輸入信號輸入信號x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)若輸入信號若輸入信號x(t)時移時間時移時間C,輸出輸出y(t)也只引起一個相同也只引起一個相同的時移，即的時移，即y(t-C) = Lx(t-C)L.x(t)y(t) = Lx(t) 什么是線性系統？什么是線性系統？隨機信號分

6、析隨機信號分析教學教學組組2021-10-228連續連續時不變時不變線性線性系統系統若任意常數若任意常數a, b, 輸入信號輸入信號x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)h(t)x(t)y(t) = x(t)*h(t) 什么是線性系統？什么是線性系統？)()()()()()()(thtxdthxdhtxty隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2293.1.2 連續時不變線性系統的分析方法連續時不變線性系統的分析方法1. 時域分析2頻域分析3. 物理可實現的穩定系統)()()()()()()(thtxdthxdhtxt

7、yy( )( )X( )Hx( )( )j tx t edtdtethHtj)()( )( )( )Y sH s X sjs0t0)(th如果當時，所有實際的物理可實現系統都是因果的。，那么該系統稱為因果系統。隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22103.1.3 離散時不變線性系統的分析方法離散時不變線性系統的分析方法1. 時域分析2頻域分析3. 物理可實現的穩定系統如果當時，那么該系統稱為因果系統。)()()()()()()(nhnxknhkxkhknxnykky()x()()jjjeeH ex()( )jjnnex n enjnjenheH)()(y( )x( )( )z

8、z H zjez 0)(nh0n物理可實現穩定系統的極點都位于z平面的單位圓內。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22113.2 3.2 連續時間系統的線性系統分析連續時間系統的線性系統分析3.3 3.3 離散時間系統的線性系統分析離散時間系統的線性系統分析3.4 3dB3.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬3.5 3.5 希爾伯特變換和解析過程希爾伯特變換和解析過程3.6 3.6 窄帶隨機過程表示窄帶隨機過程表示3.7 3.7 窄帶隨機過程包絡和相位的特性窄帶隨機過程包絡和相位的特性3.8 3.8 正弦信號與窄帶正弦信號與窄帶SPSP之和的包絡和相位的特性之和

9、的包絡和相位的特性3.1 3.1 線性系統基本理論線性系統基本理論隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2212 在給定系統的條件下，輸出信號的某個在給定系統的條件下，輸出信號的某個統統計特性計特性只取決于輸入信號的只取決于輸入信號的相應的相應的統計特統計特性性。 根據輸入隨機信號的根據輸入隨機信號的、相關函數相關函數和和功功率譜密度率譜密度，再加上已知線性系統，再加上已知線性系統單位沖激單位沖激響應響應或或傳遞函數傳遞函數，就可以求出輸出隨機信，就可以求出輸出隨機信號相應的均值、相關函數和功率譜密度號相應的均值、相關函數和功率譜密度 分析方法：卷積積分法；頻域法。分析方法：卷積

10、積分法；頻域法。3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2213 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態響應，因果系統）、輸出表達式（零狀態響應，因果系統） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數 5、系統輸出的高階距、系統輸出的高階距3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2214 3.2.1 時域分析法時域分析法

11、 1、輸出表達式（零狀態響應，因果系統）、輸出表達式（零狀態響應，因果系統） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數 5、系統輸出的高階距、系統輸出的高階距3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析 輸入為隨機信號X(t)的某個的，則為：)(tx0)()()(dtxhty系統的單位沖激響應一個確定性函數一個確定性函數隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2215 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態響應，因果系統）、輸出表達式（零狀

12、態響應，因果系統） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數 5、系統輸出的高階距、系統輸出的高階距3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析X( ) t0Y( )( )()( )( )thX tdh tX t對于隨機信號對于隨機信號任意一個樣本函數均成立。任意一個樣本函數均成立。： 那么對于所有的試驗結果，系統輸出為一族樣本函數，這族樣本函數構成隨機過程隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2216 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零

13、狀態響應，因果系統）、輸出表達式（零狀態響應，因果系統） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數 5、系統輸出的高階距、系統輸出的高階距3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX td0( ) X()hEtdX0( )()hmtdX( )* ( )mth t證明證明 X( ) tYX0( )mmhd若若為平穩為平穩SP，則，則隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2217 3.2.1 時域分析法時域分析法

14、 1、輸出表達式（零狀態響應，因果系統）、輸出表達式（零狀態響應，因果系統） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數 5、系統輸出的高階距、系統輸出的高階距3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t結論：由于系統的輸出是系統輸入的作用結果，因此，系統結論：由于系統的輸出是系統輸入的作用結果，因此，系統輸入輸出之間是相關的，系統輸入

15、輸出相關函數為輸入輸出之間是相關的，系統輸入輸出相關函數為隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22183.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t證明：由于系統的輸出是系統輸入的作用結果，因此，系統證明：由于系統的輸出是系統輸入的作用結果，因此，系統輸入輸出之間是相關的，系統輸入輸出相關函數為輸入輸出之間是相關的，系統輸入輸出相關函數為XY1212120( , )X( )Y( )X( )( )X()Rt tEttEth

16、 utu du120( ) X( )()h u Et X tu duX120( )( ,)h u Rt tu duX122( , )* ( )Rt th t YX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th tXY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru du X( )()Rh若輸入為平穩隨機過程若輸入為平穩隨機過程隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2219 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態響應，因果系統）、輸出表達式（零狀態響應，因果系統） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與

17、輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數 5、系統輸出的高階距、系統輸出的高階距3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析結論：結論：已知系統輸入隨機信號的自相關函數，可以求出系統已知系統輸入隨機信號的自相關函數，可以求出系統輸出端的自相關函數輸出端的自相關函數 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt t隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22203.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析證明：證明：已知系統

18、輸入隨機信號的自相關函數，可以求出系統已知系統輸入隨機信號的自相關函數，可以求出系統輸出端的自相關函數輸出端的自相關函數 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt tY1212( , ) ( ) ( )Rt tE Y t Y t1200( )X()( )X()Eh utu duh vtv dv1200( ) ( ) X()X()h u h v Etutv dudv X1200( ) ( )(,)h u h v Rtu tv dudv 12X12( )( )( , )h th tR t tY121XY12( , )( )( , )Rt t

19、h tRt t2YX12( )( , )h tRt tYXX00( )( ) ( )()( )( )()Rh u h v Ruv dudvRhh XYYX( )()( )( )RhRh 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22213.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析證明：證明：已知系統輸入隨機信號的自相關函數，可以求出系統已知系統輸入隨機信號的自相關函數，可以求出系統輸出端的自相關函數輸出端的自相關函數 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt t 2121),(tYtYEttRY dvd

20、uvtutRvhuhX 0210, 0210,dudvvtutRvhuhX dvduvtutRuhvhX0210, 021,dututRuhXY 021,dvvttRvhYX 211,*ttRthXY 212,*ttRthYX 2121,*ttRththX隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2222 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式（零狀態響應，因果系統）、輸出表達式（零狀態響應，因果系統） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數 5、系統輸出的高階距、系統輸

21、出的高階距3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析系統輸出的系統輸出的n階矩的一般表達式為階矩的一般表達式為 121212Y( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )nnnEt Y tY tE X t X tX th th th t隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2223 3.2.1 時域分析法時域分析法 系統輸出的平穩性和遍歷性系統輸出的平穩性和遍歷性 3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析前提: 系統處于穩定狀態時。在這種情況下，t=0系統輸出響應在已處于穩態 結論1：若輸入是 寬平穩的，則系統輸出

22、也是寬平穩的，且輸入與輸出聯合寬平穩。X( ) tY( ) t結論2：若輸入 是嚴平穩的，則輸出 也是嚴平穩的。 X( ) tY( ) t結論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22243.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析結論1：若輸入是 寬平穩的，則系統輸出也是寬平穩的，且輸入與輸出聯合寬平穩。X( ) tY( ) tX( ) tXX( )mtm常數X12X( , )( )Rt tR12tt 2X(0)( )RE Xt YX0( )m

23、mhdXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhXY( )RYX12( , )Rt tX0( )()h u Ru du X( )()RhYX( )R若輸入若輸入為寬平穩隨機過程，則有：為寬平穩隨機過程，則有： Y12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22253.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析結論1：若輸入是 寬平穩的，則系統輸出也是寬平穩的，且輸入與輸出聯合寬平穩。X( ) tY( ) t 22X00

24、Y ( )( )( ) ( )()EtE Yth u h v Ruv dudv X00( )( )()h uh vRuv dudv X00(0)( )( )Rh uh v dudv X00(0)( )( )Rh v dvh u du0)(dtth2( )E Yt 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22263.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析結論2：若輸入 是嚴平穩的，則輸出 也是嚴平穩的。 X( ) tY( ) t因為0Y( )( )()thX td 對于時不變系統，若時移常數T，有0Y()( )()tThX tTd輸出 和 分別是輸入 和 與

25、 的卷積，即可以表示成級數和的形式。由于隨機信號 是嚴平穩的，所以 與 具有相同的n維概率密度函數，這樣 與 也應該具有相同的n維概率密度函數，即是嚴平穩的。Y()tTY( ) tX()tTX( ) t)(thX( ) tX()tTX( ) tY()tTY( ) t隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22273.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析由 的寬遍歷的定義得 結論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t則輸出 的時間平均XX( ) tmXX( )()( )t X tRX

26、( ) tY( ) t1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TTTlimh u X tu du dtT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duTX0( )m h u duYm隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22283.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析結論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t1Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt

27、 h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1X( ) ()X( )Y()2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTTlimX tut dt h u duTX0() ( )Ru h u duXY( )R 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22293.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例3.1 如圖3.1所示的低通電路，已知輸入信號是寬平穩的穩定的隨機信號

28、，其均值為，假設是相關函數為的白噪聲，求：求輸出均值；輸出的自相關函數；輸出平均功率；輸入與輸出間互相關函數：隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22303.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析 例例3.2 應用舉例：設某線性系統輸入為相關函數0X( )( )2NR 的白噪聲，如果測得系統輸入和輸出的互相關函數，求這個線性系統的單位沖激響應。隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2231 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統輸出的功率

29、譜密度、系統輸出的功率譜密度 3、系統輸入與輸出間互譜密度、系統輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關系、拉氏變換與付氏變換關系 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2232 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統輸出的功率譜密度、系統輸出的功率譜密度 3、系統輸入與輸出間互譜密度、系統輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關系、拉氏變換與付氏變換關系 00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm H隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2233

30、3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統輸出的功率譜密度、系統輸出的功率譜密度 3、系統輸入與輸出間互譜密度、系統輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關系、拉氏變換與付氏變換關系 YX( )( )( )()RRhh2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSHjsYX( )( )( )()SsSs H s Hs 由，兩邊取付氏變換得： 表示，有： 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2234 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析

31、隨機信號通過連續時間系統的分析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統輸出的功率譜密度、系統輸出的功率譜密度 3、系統輸入與輸出間互譜密度、系統輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關系、拉氏變換與付氏變換關系 XYX( )( )( )SSHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2235 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機信號通過連續時間系統的分析隨機信號通過連續時間系統的分析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統輸出的功率譜

32、密度、系統輸出的功率譜密度 3、系統輸入與輸出間互譜密度、系統輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關系、拉氏變換與付氏變換關系 dteetfdtetfsFtjtst)()()(js)(tftetf)(當不可積時，可積。因此對于隨機信號，通常情況下其拉氏變換存在。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22363.2 3.2 連續時間系統的線性系統分析連續時間系統的線性系統分析3.3 3.3 離散時間系統的線性系統分析離散時間系統的線性系統分析3.4 3dB3.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬3.5 3.5 希爾伯特變換和解析過程希爾伯特變換和解析過程3.6

33、3.6 窄帶隨機過程表示窄帶隨機過程表示3.7 3.7 窄帶隨機過程包絡和相位的特性窄帶隨機過程包絡和相位的特性3.8 3.8 正弦信號與窄帶正弦信號與窄帶SPSP之和的包絡和相位的特性之和的包絡和相位的特性3.1 3.1 線性系統基本理論線性系統基本理論隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2237 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式、輸出表達式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數3.2 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號分

34、析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2238 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式、輸出表達式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數3.2 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號通過離散時間系統的分析0)()()(dtxhty0Y( )( )X()knh knk系統的輸出等于輸入信號與單位沖激響應的卷積和 可以證明，在假定系統是穩定的、輸入有界的條件下，上式在均方收斂的意義下是存在的。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2239 3.3.1 時域分析法時

35、域分析法 1、輸出表達式、輸出表達式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數 3.3 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號通過離散時間系統的分析證明證明 若若為平穩為平穩 SP，則，則Y0( ) ( )( ) ()kmnE Y nh k E X nkYX0( )kmmh kX( )n隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2240 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達式、輸出表達式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互

36、相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數3.3 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號通過離散時間系統的分析 XY( ,)( ) ()Rn nmE X n Y nm0( )( )()kE X nh k X nmk0( ) ( )()kh k E X n X nmkX0( )( ,)kh k Rn nmkX0( ,)( )(,)YXkRn nmh k Rnk nmXYXX0( )( )()( )*( )kRmh k Rmkh mRmYXXX0( )( )()()*( )kRmh k RmkhmRm隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2241 3.3.1 時域分析法

37、時域分析法 1、輸出表達式、輸出表達式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數3.3 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號通過離散時間系統的分析Y( ,) ( ) ()Rn nmE Y n Y nm00( )()( )()kjEh k X nkh j X nmj00( ) ( )()()kjh k h j E X nk X nmjX00( ) ( )(,)kjh k h j Rnk nmj 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2242 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、

38、輸出表達式、輸出表達式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統輸入與輸出之間的互相關函數、系統輸入與輸出之間的互相關函數 4、系統輸出的自相關函數、系統輸出的自相關函數3.3 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號通過離散時間系統的分析 YX00( ) ( )()kjRmh k h j RmkjXXY( )* ( )* ()( )* ()Rmh mhmRmhmYX( )* ( )Rmh m 2X00( )( ) ( )()kjE Ynh k h j Rkj 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2243 3.3.2 頻域分析法頻域分析法 3.3 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信

39、號通過離散時間系統的分析 1、功率譜密度表達式、功率譜密度表達式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2244 3.3.2 頻域分析法頻域分析法 3.3 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號通過離散時間系統的分析 1、功率譜密度表達式、功率譜密度表達式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 若系統輸入隨機信號是寬平穩的，則系統的輸出也是寬平穩的，那么有YX10( )(1)kzXkmmh k zHmXYX( )( )( )SzH z Sz1YXX( )()( )SzH zSz1YX( )( )()( )SzH z H zSz1X

40、YYX()( )( )( )H zSzH z SzjzeX( )()( )jXYSH eSX( )()( )jYXSH eS2YXX( )()()( )()( )jjjSH eH eSH eS隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2245 3.3.2 頻域分析法頻域分析法 3.3 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號通過離散時間系統的分析 1、功率譜密度表達式、功率譜密度表達式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 系統輸出的自相關函數為 11( )( )2mYYlRmSz zdzj2YX1( )()( )2jjmRmH eSed隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組202

41、1-10-2246 3.3.2 頻域分析法頻域分析法 3.3 隨機信號通過離散時間系統的分析隨機信號通過離散時間系統的分析 1、功率譜密度表達式、功率譜密度表達式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 2111( )( )()( )2XlE YnH z H zSz z dzj 22X1( )()( )2jE YnH eSd 式中 l 代表 z 平面上的單位圓 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22473.4.1 白噪聲通過線性系統分析白噪聲通過線性系統分析)(H)(sHX( )S20N設連續線性系統的傳遞函數為設連續線性系統的傳遞函數為或或，其輸入白噪聲功率譜密度為，其

42、輸入白噪聲功率譜密度為，那么系統輸出的功率譜密度為，那么系統輸出的功率譜密度為 20Y( )( )2NSH或物理譜密度為或物理譜密度為2Y0( )( )GHN0隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22483.4.1 白噪聲通過線性系統分析白噪聲通過線性系統分析20Y( )( )4jNRHedduuhuhN00)()(2輸出自相關函數為輸出自相關函數為 輸出平均功率為輸出平均功率為2200( )( )2NE YtHd 注意注意：上式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出上式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機信號的功率譜密度主要由系統的幅頻特性決定，不再保端隨機信

43、號的功率譜密度主要由系統的幅頻特性決定，不再保持常數。這是因為無線電系統都具有一定的選擇性，系統只允持常數。這是因為無線電系統都具有一定的選擇性，系統只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22493.4.2 3dB帶寬帶寬隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22503.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 當系統比較復雜時，計算系統輸出噪聲的統計特當系統比較復雜時，計算系統輸出噪聲的統計特性是困難的。在實際中為了計算方便，常常用一性是困難的。在實際中為了計算方便，常常用一個幅頻響應為

44、矩形的理想系統等效代替實際系統，個幅頻響應為矩形的理想系統等效代替實際系統，在等效時要用到一個非常重要的概念在等效時要用到一個非常重要的概念等效噪等效噪聲帶寬聲帶寬，它被定義為理想系統的帶寬。，它被定義為理想系統的帶寬。隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22513.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2252 等效的原則等效的原則 理想系統與實際系統在同一白噪聲激勵下理想系統與實際系統在同一白噪聲激勵下,兩兩個系統的輸出平均功率相等個系統的輸出平均功率相等理想系統的增益等于實際系統的最大增益理想系統的增益等于實際系統的最大增益

45、3.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2253計算實際系統的等效噪聲帶寬計算實際系統的等效噪聲帶寬e H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為功率譜密度為20N白噪聲激勵白噪聲激勵 消耗在消耗在1電阻上的系統輸出端總平均功率為電阻上的系統輸出端總平均功率為 dwwHNtYE02022理想線性系統對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為理想線性系統對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為 22200202ewwKNdwKNtYEe3.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22

46、54 實際系統的等效噪聲帶寬為實際系統的等效噪聲帶寬為 dwwHwHwe022max1對于一般的低通濾波器對于一般的低通濾波器)( H的最大值出現在的最大值出現在 0處，即處，即)0()(maxHH 對于中心頻率為對于中心頻率為0 帶通系統帶通系統(如單調諧回路如單調諧回路) )( H的最大值出現在的最大值出現在處，即處，即0 )()(0maxHH3.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2255 實際系統的等效噪聲帶寬為實際系統的等效噪聲帶寬為 dwwHwHwe022max1 dssHsHwHjwjje2max21拉氏變換拉氏變換 代入代入 2

47、max02wHwNPe dwwHNtYE02022系統輸出平均功率系統輸出平均功率 3.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2256小結：小結：由系統的等效噪聲帶寬由系統的等效噪聲帶寬e 可求出系統的輸出噪聲功率，當系統輸入白噪聲時，僅使用參數可求出系統的輸出噪聲功率，當系統輸入白噪聲時，僅使用參數e 和和max)( H就可以描述非常復雜的線性系統及其噪聲響應。就可以描述非常復雜的線性系統及其噪聲響應。 3.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2257wA02w2w設白噪聲的物理譜設白噪聲的物理

48、譜輸出的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關函數輸出的自相關函數 輸出平均功率輸出平均功率 輸出相關系數輸出相關系數 輸出相關時間輸出相關時間 3.4.4 白噪聲通過理想低通線性系統白噪聲通過理想低通線性系統 0)(AH/2 其它0( )XGN隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2258wA02w2w設白噪聲的物理譜設白噪聲的物理譜 輸出的自相關函數輸出的自相關函數 輸出平均功率輸出平均功率 輸出相關系數輸出相關系數 輸出相關時間輸出相關時間 3.4.4 白噪聲通過理想低通線性系統白噪聲通過理想低通線性系統 0)(AH/2 其它0( )XGN220( )( )( )0YXN AGH

49、G其它2/0隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2259wA02w2w設白噪聲的物理譜設白噪聲的物理譜 輸出平均功率輸出平均功率 輸出相關系數輸出相關系數 輸出相關時間輸出相關時間 3.4.4 白噪聲通過理想低通線性系統白噪聲通過理想低通線性系統 0)(AH/2 其它0( )XGN01( )( )cos2YYRGd 2/020cos21dAN2sin220AN22sin420AN 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2260wA02w2w設白噪聲的物理譜設白噪聲的物理譜 輸出相關系數輸出相關系數 輸出相關時間輸出相關時間 3.4.4 白噪聲通過理想低通線性系統白

50、噪聲通過理想低通線性系統 0)(AH/2 其它0( )XGN 220( )4N AE Yt隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2261wA02w2w設白噪聲的物理譜設白噪聲的物理譜 輸出相關時間輸出相關時間 3.4.4 白噪聲通過理想低通線性系統白噪聲通過理想低通線性系統 0)(AH/2 其它0( )XGN sin( )( )2( )(0)(0)2YYYYYKRrKR隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2262wA02w2w設白噪聲的物理譜設白噪聲的物理譜 3.4.4 白噪聲通過理想低通線性系統白噪聲通過理想低通線性系統 0)(AH/2 其它0( )XGN 0Y

51、00sin12( )22rddf02)sin(dxxax0a該式表明：輸出隨機信號的相關時間與該式表明：輸出隨機信號的相關時間與系統的帶寬成反比。這就是說，系統帶系統的帶寬成反比。這就是說，系統帶寬越寬，相關時間寬越寬，相關時間 越小，輸出隨機信越小，輸出隨機信號隨時間變化號隨時間變化(起伏起伏)越劇烈；反之，系越劇烈；反之，系統帶寬越窄，則越大，輸出隨機信號隨統帶寬越窄，則越大，輸出隨機信號隨時間變化就越緩慢。時間變化就越緩慢。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2263wA|H (w)|00w0ww系統的中心頻率遠大于系統的帶寬，系統的中心頻率遠大于系統的帶寬，則稱這樣的

52、系統為窄帶系統。則稱這樣的系統為窄帶系統。0 3.4.4 白噪聲通過理想帶通線性系統白噪聲通過理想帶通線性系統 0)(AH其它2/0隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22643.4.4 白噪聲通過理想帶通線性系統白噪聲通過理想帶通線性系統 0)(AH其它2/00( )XGN220X( )( )( )0YN AGHG其它2/0若輸入白噪聲的物理若輸入白噪聲的物理，則輸出的物理譜為，則輸出的物理譜為 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22653.4.4 白噪聲通過理想帶通線性系統白噪聲通過理想帶通線性系統 YY01( )( )cos2RGd dNAcos2102

53、/2/2002000sin(/2)cos( )cos2/2A Na 輸出相關函數為輸出相關函數為 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2266輸出自相關函數輸出自相關函數)( YR等于等于)( a與與 0cos的乘積，其中的乘積，其中)( a只包含只包含)( 的成分。當滿足的成分。當滿足0 時，時，)( a與與 0cos相比，相比，)( a是是的慢變化函數，而的慢變化函數，而 0cos是是的快變化函數。可見的快變化函數。可見)( a是是RY()的慢變化部分是的慢變化部分是RY()的包絡。而的包絡。而 0cos是是RY()的快變化部分的快變化部分 理想帶通系統輸出的相關函數等于其

54、相應的低通系統輸出的相關函數與理想帶通系統輸出的相關函數等于其相應的低通系統輸出的相關函數與 0cos的乘積的乘積。2/)2/sin(2)(02NAa3.4.4 白噪聲通過理想帶通線性系統白噪聲通過理想帶通線性系統 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22673.4.4 白噪聲通過理想帶通線性系統白噪聲通過理想帶通線性系統 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22683.4.4 白噪聲通過理想帶通線性系統白噪聲通過理想帶通線性系統 輸出的相關系數為輸出的相關系數為0sin( )( )2( )cos(0)(0)2YYYYYKRrKR 帶通系統輸出的平均功率為帶通系

55、統輸出的平均功率為 220( )2N AE Yt 帶通系統的相關時間是由相關系數的慢變部分定義的，帶通系統的相關時間是由相關系數的慢變部分定義的，fd2122sin00因此帶通系統的相關時間與低通系統的相關時間一致：因此帶通系統的相關時間與低通系統的相關時間一致：隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22693.4.4 白噪聲通過理想高斯線性系統白噪聲通過理想高斯線性系統 220202)(exp2)()()(ANSHSXY高斯帶通系統的頻率響應為：高斯帶通系統的頻率響應為：2202)(exp)(AH設輸入白噪聲的功率譜設輸入白噪聲的功率譜2)(0NSX系統輸出功率譜為系統輸出功率

56、譜為 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22703.4.4 白噪聲通過理想高斯線性系統白噪聲通過理想高斯線性系統 高斯帶通系統的頻率響應為：高斯帶通系統的頻率響應為：2202)(exp)(AH設輸入白噪聲的功率譜設輸入白噪聲的功率譜2)(0NSX輸出相關函數 deANRjY22020)(exp221)(deANj)(22200exp4deeANjj2220exp400224024jeeNA0)(jea 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22713.4.4 白噪聲通過理想高斯線性系統白噪聲通過理想高斯線性系統 高斯帶通系統的頻率響應為：高斯帶通系統的頻率響應為

57、：2202)(exp)(AH設輸入白噪聲的功率譜設輸入白噪聲的功率譜2)(0NSX輸出相關函數 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22723.4.4 白噪聲通過理想高斯線性系統白噪聲通過理想高斯線性系統 高斯帶通系統的頻率響應為：高斯帶通系統的頻率響應為：2202)(exp)(AH設輸入白噪聲的功率譜設輸入白噪聲的功率譜2)(0NSX輸出平均功率 20(0)4RA N相關系數 2 204( )jYree 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22733.4.4 白噪聲通過理想高斯線性系統白噪聲通過理想高斯線性系統 高斯帶通系統的頻率響應為：高斯帶通系統的頻率響應

58、為：2202)(exp)(AH設輸入白噪聲的功率譜設輸入白噪聲的功率譜2)(0NSX 等效噪聲帶寬 2022()0200( )()eHdedH 相關時間 de04022隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-22743.4.5 線性系統輸出的概率分布線性系統輸出的概率分布 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2275 線性系統輸出端隨機信號的概率分布線性系統輸出端隨機信號的概率分布難難輸入隨機信號為高斯過程輸入隨機信號為高斯過程 系統輸入為非高斯過程，其帶寬遠大于線性系統的通頻帶的情況系統輸入為非高斯過程，其帶寬遠大于線性系統的通頻帶的情況 3.4.5 線性系統輸出

59、的概率分布線性系統輸出的概率分布 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組2021-10-2276線性系統輸入為高斯過程，則該系統輸出仍為高斯過程線性系統輸入為高斯過程，則該系統輸出仍為高斯過程若系統輸入端的平穩隨機過程為非高斯分布，若系統輸入端的平穩隨機過程為非高斯分布，只要輸入過程的等效噪聲帶寬遠大于系統的通頻帶時，只要輸入過程的等效噪聲帶寬遠大于系統的通頻帶時，則系統輸出端便能得到接近于高斯分布的隨機過程。則系統輸出端便能得到接近于高斯分布的隨機過程。3.4.5 線性系統輸出的概率分布線性系統輸出的概率分布 為什么上述兩種情為什么上述兩種情況下成立況下成立?隨機信號分析隨機信號分析教學教學組

60、組2021-10-2277線性系統線性系統輸入輸入為高斯過程，則該系統為高斯過程，則該系統輸出輸出仍為高斯過程仍為高斯過程級數表示若我們將若我們將X(t)和和Y(t)兩個隨機過程都用相應的多維隨機變量來代替。兩個隨機過程都用相應的多維隨機變量來代替。于是，隨機過程的線性變換實際上可以看成是由一組線性方程組表于是，隨機過程的線性變換實際上可以看成是由一組線性方程組表示的多維隨機變量的線性變換。這樣，根據第一章的有關結論可知：示的多維隨機變量的線性變換。這樣，根據第一章的有關結論可知：當當X(t)為高斯過程時，多維高斯變量經線性變換以后，得到的多維為高斯過程時，多維高斯變量經線性變換以后，得到的多