1、第第9章章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換The Laplace Transform1. 雙邊拉普拉斯變換；雙邊拉普拉斯變換；2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域；雙邊拉普拉斯變換的收斂域；3. 零極點圖；零極點圖；4. 雙邊拉普拉斯變換的性質；雙邊拉普拉斯變換的性質；5. 系統函數；系統函數；6. 單邊拉普拉斯變換；單邊拉普拉斯變換；本章基本內容：本章基本內容：9.0 引言引言 Introduction 傅里葉分析方法之所以在信號與傅里葉分析方法之所以在信號與LTI系統分析系統分析中如此有用，很大程度上是因為相當廣泛的信號中如此有用，很大程度上是因為相當廣泛的信號都可以表示成復指數信號的線性組合，而都可

2、以表示成復指數信號的線性組合，而復指數復指數函數是一切函數是一切 LTI 系統的特征函數。系統的特征函數。 傅里葉變換是以復指數函數中的特例，即以傅里葉變換是以復指數函數中的特例，即以和和 為基底分解信號的。對于更一般的復指數函為基底分解信號的。對于更一般的復指數函數數 和和 ，也理應能以此為基底對信號進行分解。，也理應能以此為基底對信號進行分解。j tej nestenz 通過本章及下一章，會看到拉氏變換和通過本章及下一章，會看到拉氏變換和變換不變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質，不僅能僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質，不僅能適用于用傅里葉變換的方法可以解決的信號與系統適用于用傅

3、里葉變換的方法可以解決的信號與系統分析問題，而且還能解決傅里葉分析方法不適用的分析問題，而且還能解決傅里葉分析方法不適用的許多方面。許多方面。拉氏變換與拉氏變換與變換的分析方法是傅里葉變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。 將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。一章要討論的中心問題。9.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 復指數信號復指數信號 是一切是一切LTI系統的特征函數。系統的特征函數。如果如果LTI系統的單位沖激響應為系統的單位沖激響應為 ，則系統對，則系統對 產生

4、的響應是產生的響應是: ste( )h tste( )( )sty tH s e( )( )stH sh t edt，其中，其中顯然當顯然當 時，就是傅里葉變換。時，就是傅里葉變換。sjThe Laplace Transform一一. .雙邊拉氏變換的定義：雙邊拉氏變換的定義：( )( )stX sx t edt稱為稱為 的的雙邊拉氏變換雙邊拉氏變換，其中，其中 。 ( )x tsj若若 ， 則有則有: :0sj()( )j tXjx t edt 這就是這就是 的傅里葉變換。的傅里葉變換。( )x t表明：表明：連續時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換連續時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在在 或是

5、在或是在 軸上的特例。軸上的特例。0j( )( ) ( )tj ttj tX sx t eedtx t eedt ( )tx t e F由于由于 所以所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣拉氏變換是對傅里葉變換的推廣， 的的拉氏變換就是拉氏變換就是 的傅里葉變換。只要有合的傅里葉變換。只要有合適的適的 存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入條件的信號在引入 后滿足該條件。即有些信后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。 拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性

6、。( )x tte( )tx t e( )( )atx teu t例例1.()001( )atsts a tX seedtedtsaRe sa 在在 時收斂時收斂當當 時，時， 的傅里葉變換存在的傅里葉變換存在( )x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)a 顯然，在顯然，在 時，拉氏變換收斂的區域時，拉氏變換收斂的區域 ，包括了，包括了 （即（即 軸）。軸）。0aRe sa 0j比較比較 和和 ，顯然有，顯然有 ()X j( )X s( )()sjX sX j當當 時，時，( )( )( )atx teu tu t0a 1( )u ts可知可知Re 0s 例例2.( )()at

7、x teut 00()1( )atsts a tX se e dtedts a Re sa 與例與例1.比較，區別僅在于收斂域不同。比較，區別僅在于收斂域不同。由以上例子，可以看出由以上例子，可以看出: :1. 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上平面上的任何復數都能使拉氏變換收斂。的任何復數都能使拉氏變換收斂。2. 使拉氏變換積分收斂的那些復數使拉氏變換積分收斂的那些復數 S的集合，稱的集合，稱為拉氏變換的收斂域為拉氏變換的收斂域 ROC ，拉氏變換的拉氏變換的 ROC

8、 （Region of Convergence）是非常重要的概念。是非常重要的概念。3. 不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的收斂域不同。式，只是它們的收斂域不同。4. 只有拉氏變換表達式連同相應的收斂域，才能只有拉氏變換表達式連同相應的收斂域，才能和信號建立一一對應的關系和信號建立一一對應的關系。5. 如果拉氏變換的如果拉氏變換的ROC包含包含 軸軸，則有，則有j()( )s jX jX s二二. . 拉氏變換的拉氏變換的ROC及零極點圖：及零極點圖：2( )( )( )ttx te u te u t例例3.200( )tsttstX

9、 se edteedt1( ),1te u tsRe 1s 21( ),2teu tsRe 2s 1j2j可見：可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。分。ROC總是以平行于總是以平行于 軸的直線作為邊界的，軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的邊界總是與 的分母的根對應的。的分母的根對應的。j( )X s21123( ),1232sX sssssRe 1s 若若 是有理函數是有理函數( )X s()( )( )( )()iiiisN sX sMD ssj21 分子多項式的根稱為分子多項式的根稱為零點零點，分母多項式的根，分母多項式的根稱為稱為極點極

10、點。 將將 的全部零點和極點表示在的全部零點和極點表示在 S 平面上平面上就構成了就構成了零極點圖零極點圖。零極點圖及其收斂域可以。零極點圖及其收斂域可以表示一個表示一個 ，最多與真實的，最多與真實的 相差一個常相差一個常數因子數因子 。 因此，因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法零極點圖是拉氏變換的圖示方法。( )X s( )X s( )X sM9.2 拉氏變換的收斂域拉氏變換的收斂域v可以歸納出可以歸納出ROC的以下性質：的以下性質：1. ROC是是 S 平面上平行于平面上平行于 軸的帶狀區域。軸的帶狀區域。2. 在在ROC內無任何極點。內無任何極點。3. 時限信號的時限信號的ROC是整個是

11、整個 S 平面。平面。4. 右邊信號的右邊信號的ROC是是 S 平面內某一條平行于平面內某一條平行于 軸的直線的右邊。軸的直線的右邊。jjThe Region of Convergence for Laplace Transforms0( )tTx t edt 若若 ，則，則101( )tTx t edt010100()()( )( )ttTTtTx t eedtex t edt1表明表明 也在收斂域內。也在收斂域內。若若 是右邊信號是右邊信號, , , , 在在ROC內內，則有則有 絕對可積，即：絕對可積，即：00( )tx t e( )x tTt 5. 左邊信號的左邊信號的ROC是是S平面

12、內的一條平行于平面內的一條平行于 軸的直線的左邊。軸的直線的左邊。j 若若 是左邊信號，定義于是左邊信號，定義于 , 在在 ROC 內，內， ，則，則100( )x t(,T0101()( )( )TTtttx t edtx t eedt100()( )TTtex t edt 1表明表明 也在收斂域內。也在收斂域內。6. 雙邊信號的雙邊信號的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面內平面內平行于平行于 軸的帶形區域。軸的帶形區域。j例例1.( )x t ate00tT其它其它t0()()0( )11TatstTs a ts a TX seedtedtesa( )X s有極點有極點sa

13、考查零點，令考查零點，令()1s a Te 2sajkT 得得例例2.( )b tx te( )( )()btbtx teu te ut 顯然顯然 在在 也有一階零點，由于零極也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個點相抵消，致使在整個S平面上無極點。平面上無極點。sa ( )X s當當 時，上述時，上述ROC有公共部分，有公共部分，0b11( )X ssbsbRe bsb 當當 時，上述時，上述 ROC 無公共部分，表明無公共部分，表明 不存在。不存在。0b ( )X s1(),bte utsb Re sb 1( ),bteu tsbRe sbbjb 當當 是有理函數時，其是有理函數時，其

14、ROC總是由總是由 的的極點分割的。極點分割的。ROC必然滿足下列規律：必然滿足下列規律： 1. 右邊信號的右邊信號的ROC一定位于一定位于 最右邊極點最右邊極點的右邊。的右邊。 2. 左邊信號的左邊信號的ROC一定位于一定位于 最左邊極點最左邊極點的左邊。的左邊。 3. 雙邊信號的雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點之可以是任意兩相鄰極點之間的間的帶狀區域帶狀區域。( )X s( )X s( )X s( )X s例例3.21( )321112X sssss可以形成三種可以形成三種 ROC： ROC： 此時此時 是右邊信號。是右邊信號。 ROC： 此時此時 是左邊信號。是左邊信號。1) ROC

15、： 此時此時 是雙邊信號。是雙邊信號。Re 2s Re 1s 2Re 1s ( )x t( )x t( )x tj12The Inverse Laplace Transform 一一. .定義：定義： 由由( )( )stX sx t edt若若 在在ROC內，則有內，則有:sj()( ) ( )tj ttXjx t eedtx t eF1( )()2tj tx t eXjed11( )()( )22tj tstx tXje e dX s e d9. 3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 當當 從從 時時, , 從從sjj 由由sjdsjd得得 拉氏反變換表明拉氏反變換表明: : 可以被分解成復振

16、幅為可以被分解成復振幅為 的復指數信號的復指數信號 的線性組合。的線性組合。( )x t1( )2X s dsjste1( )( )2jstjx tX s e dsj 的反變換的反變換( )X s二二. .拉氏反變換的求法拉氏反變換的求法: : 對有理函數形式的對有理函數形式的 求反變換一般有兩種方求反變換一般有兩種方法法, ,即即部分分式展開法部分分式展開法和和留數法留數法。( )X s 1. 將將 展開為部分分式。展開為部分分式。 2. 根據根據 的的ROC，確定每一項的，確定每一項的ROC 。 3. 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質,對每一項進行反

17、變換。對每一項進行反變換。( )X s( )X sv 部分分式展開法：部分分式展開法：1,2ss 極點：極點：確定其可能的收斂域及所對應信號的屬性。確定其可能的收斂域及所對應信號的屬性。1( )(1)(2)X sss例例1.右邊信號右邊信號12j左邊信號左邊信號12j雙邊信號雙邊信號12j例例2.1( )(1)(2)X sssROC: 2Re 1s 11( )12Xsss1: Re 1()R1OCtse uts 21:Re 2ROC( )2tseu ts 2( )( )()ttx teu te ut1. 求出求出 的全部極點。的全部極點。2. 求出求出 在在 ROC 左邊的所有極點處的留數左邊

18、的所有極點處的留數之和，它們構成了之和，它們構成了 的因果部分。的因果部分。3. 求出求出 在在 ROC 右邊的所有極點處的留數右邊的所有極點處的留數之和，并加負號，它們構成了之和，并加負號，它們構成了 的反因果部的反因果部分。分。( )X s( )stX s e( )stX s e( )x t( )x tv 留數法（當留數法（當 是有理函數時）：是有理函數時）：( )X s例例3.1( )12X sss:ReROC2s 21( )Res( ),stiix tX s es 12211()21() ()ststsstteesseeut( )X s的極點的極點 均位于均位于ROC右邊右邊1,2,s

19、s Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plotv可以用零極點圖表示可以用零極點圖表示 的特征的特征。當。當ROC包包括軸時，以括軸時，以 代入代入 ，就可以得，就可以得到到 。以此為基礎可以用幾何求值的方法。以此為基礎可以用幾何求值的方法從零極點圖求得從零極點圖求得 的特性。這在定性分的特性。這在定性分析系統頻率特性時有很大用處。析系統頻率特性時有很大用處。( )X sjsj()X j()X j9.4 由零極點圖對傅里葉變換幾何求值由零極點圖對傅里葉變換幾何求值( )X s( )X ssa 零點零點

20、 , , 要求出要求出 時的時的 ，可以，可以作兩個矢量作兩個矢量 和和 ，則，則 。sa1ss11( )()X ssa 1( )X s1sa1. 單零點情況：單零點情況： 矢量矢量 稱為稱為零點矢量零點矢量，它的長度，它的長度 表示表示 , ,其幅角即為其幅角即為 。1()X s1( )X s1sa 1|sa1sa0a1s1sa j1( ),X ssa極點極點sa111()X ssa 11( )X ssa 直接由極點向直接由極點向 點作矢量（稱為點作矢量（稱為極點矢量極點矢量），），其長度的倒量為其長度的倒量為 , ,幅角的負值為幅角的負值為 。1s1( )X s1()X s2. 單極點情況

21、：單極點情況：1sa0a1s1sa j 因此有因此有: :111( )iiiisX sMs 對有理函數形式的對有理函數形式的( )X s( )( )( )iiiisN sX sMD ss111( )iiiisX sMs111( )iiiiX sss 3. 一般情況：一般情況： 即：從所有零點向即：從所有零點向 點作點作零點矢量零點矢量，從所有極，從所有極點向點向 點作點作極點矢量極點矢量。所有零點矢量的長度之積。所有零點矢量的長度之積除以所有極點矢量的長度之積即為除以所有極點矢量的長度之積即為 。所有。所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和即

22、為和即為 。1s1( )X s1( )X s1s 當當 取為取為 軸上的點時，即為傅里葉變換的軸上的點時，即為傅里葉變換的幾何求值。幾何求值。考查考查 在在 軸上移動時所有零、極軸上移動時所有零、極點矢量的長度和幅角的變化點矢量的長度和幅角的變化，即可得出，即可得出 的的特性。特性。1s1sjj()X j例例1. 一階系統：一階系統：1( )( ),th teu t1/( ),(1/ )H ss1Re s ( )( )( )dy ty tx tdt 隨著隨著 ， 單調下降，單調下降，()H j1時時, ,下降到最大值的下降到最大值的12最大值在最大值在 時取得。時取得。0j1/11/|()|H

23、 j1/ 2相位特性，當相位特性，當 時時()0H j0 隨著隨著 ， 趨向趨向 。()H j()H j/2/2則則 趨向趨向 。拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件例例2. . 二階系統：二階系統：12( )( ),c tc th tM eeu t21,21nnc 221nM2222( )( )2( )( )( )nnnd y tdy ty tx tdtdx t222212( )2nnnnH sssscsc111/21/221nj21njn221n 1. 當當 時，時， 有兩個實數極點，此時系有兩個實數極點，此時系統統過阻尼過阻尼。 起主要作用。隨著起主要作用。隨著 ，兩極點，兩極點相向移動，向

24、相向移動，向 處靠攏。處靠攏。n1c1( )H s 2. 當當 時，兩極點重合于時，兩極點重合于 處，成為二處，成為二階極點。系統處于階極點。系統處于臨界阻尼狀態臨界阻尼狀態。1n拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件 3. 進一步減小，則二階進一步減小，則二階 極點分裂為極點分裂為共軛復數共軛復數極點，極點，且隨且隨 的減小而逐步靠近的減小而逐步靠近 軸。極點運軸。極點運動的軌跡動的軌跡根軌跡是一個半徑為根軌跡是一個半徑為 的圓周的圓周。jn 此時系統處于此時系統處于欠阻尼狀態欠阻尼狀態，隨著，隨著 ，位于第，位于第2象限的極點矢量比第象限的極點矢量比第3 象限的極點矢量更短，因象限的極點矢量更短

25、，因此它對系統特性的影響較大。此它對系統特性的影響較大。 當當 時，由于該極點矢量變得很短，因而時，由于該極點矢量變得很短，因而 會使會使 出現峰值。其峰點位于出現峰值。其峰點位于 處，處，1/ 2()H j212n max21()21H j峰值為峰值為 在在 時，若認為時，若認為主極點矢量主極點矢量增長增長 倍倍時，對應的頻率是系統帶寬的截止頻率，則可以時，對應的頻率是系統帶寬的截止頻率，則可以近似確定此時的系統帶寬約為近似確定此時的系統帶寬約為 。1/ 222nn2n21nj04. 當當 時，兩極點分別位于時，兩極點分別位于 軸上的軸上的 處，此時系統處于處，此時系統處于無阻尼狀態無阻尼狀

26、態。0jnj 系統的相位特性也可以從零極點圖得到。此系統的相位特性也可以從零極點圖得到。此時，只需考察當動點沿時，只需考察當動點沿 軸移動時所有極點軸移動時所有極點矢量和所有零點矢量的幅角變化，用所有零點矢量和所有零點矢量的幅角變化，用所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和，矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和，即可得到系統的相位特性。即可得到系統的相位特性。j例例3. 全通系統：全通系統：考查零極點對稱分布的系統考查零極點對稱分布的系統( )saH ssa（一階全通（一階全通）v 該系統的該系統的 在任何時候都等于在任何時候都等于1 1，所以，所以 稱為稱為全通系統全通系統。(

27、)H j|()|H j1jaaj1拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件v 其相位特性其相位特性111()()2H j圖示為三階全通系統，其圖示為三階全通系統，其零極點分布呈四角對零極點分布呈四角對稱特征稱特征。j例例4. 最小相位系統：最小相位系統： 考查兩個系統，它們的極點相同，零點分布關考查兩個系統，它們的極點相同，零點分布關于于 軸對稱。其中一個系統的零點均在左半平軸對稱。其中一個系統的零點均在左半平面，另一個系統的零點均在右半平面。面，另一個系統的零點均在右半平面。jjj 顯然這兩個系統的幅頻特性是相同的。但零顯然這兩個系統的幅頻特性是相同的。但零點在左半平面的系統其相位總小于零點在右半點

28、在左半平面的系統其相位總小于零點在右半平面的系統。因此將平面的系統。因此將零極點均位于左半平面的零極點均位于左半平面的系統稱為最小相位系統。系統稱為最小相位系統。 工程應用中設計的各種頻率選擇性濾波器，工程應用中設計的各種頻率選擇性濾波器，如：如：Butterworth 、Chebyshev、 Cauer濾波器濾波器都是最小相位系統。都是最小相位系統。 當工程應用中要求實現一個非最小相位系統當工程應用中要求實現一個非最小相位系統時，通常采用將一個最小相位系統和一個全通時，通常采用將一個最小相位系統和一個全通系統級聯來實現。系統級聯來實現。 從本質上講從本質上講系統的特性是由系統的零、極點系統的

29、特性是由系統的零、極點分布決定的分布決定的。對系統進行優化設計，實質上就。對系統進行優化設計，實質上就是優化其零、極點的位置。是優化其零、極點的位置。最小相位系統最小相位系統全通系統全通系統拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件j最小相位系統最小相位系統j全通系統全通系統j非最小相位系統非最小相位系統Properties of the Laplace Transform1212( )( )( )( )ax tbx taX sbXs則則ROC至少是至少是12RR9.5 拉氏變換的性質拉氏變換的性質v 拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質。這里只著重于性質。這里只

30、著重于ROC的討論。的討論。1. 線性（線性（Linearity ）：）：11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC: R若若112( )1,11sX sss ROC:1 21( ),1XssROC:1 12( )( )1x tx tt而而ROC為整個為整個S平面平面 當當 與與 無交集時，表明無交集時，表明 不存在。不存在。1R2R( )X s例例. . 1( )tx tte u t 2( )tx te u t 拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件2. 時移性質（時移性質（Time Shifting）:( )( ),x tX sROC:R若若00()( ),

31、stx ttX s eROC不變不變則則3. S域平移（域平移（Shifting in the s-Domain）:( )( ),x tX sROC:R若若則則00( )(),s tx t eX ss0ReROC:Rs 表明表明 的的ROC是將是將 的的ROC平移了平移了一個一個 。0()X s s( )X s0Res例例. . ( ),tx te u t1( ),1X ss1 23( )1(2)3ttx tee u tX ss顯然顯然ROC:3 Re sa R 4. 時域尺度變換（時域尺度變換（Time Scaling）:當當 時時 收斂，收斂， 時時 收斂收斂R( )sXaRRe sa(

32、)X sROC:R( )( ),x tX s若若1()()sx atXaaROC : aR則則例例. . 1( )( ),1tx te u tX ss1 2( )2ttxe u t求求 的拉氏變換及的拉氏變換及ROC拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件12( ),1212X sss1ROC:2 可見：可見：若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在在S平面上作相反的尺度變換。平面上作相反的尺度變換。()(),xtXsROC:R特例特例5. 共軛對稱（共軛對稱（Conjugation）性：）性：( )(),x tXsROC:R( )( ),x tX sROC:R若若

33、則則( )( )X sX s 如果如果 是實信號，且是實信號，且 在在 有極點（或零有極點（或零點），則點），則 一定在一定在 也有極點或零點。這表也有極點或零點。這表明：明：實信號的拉氏變換其復數零、極點必共軛成實信號的拉氏變換其復數零、極點必共軛成對出現。對出現。( )x t( )X s0s( )X s0s當當 為實信號時，有：為實信號時，有：( )x t( )( )x tx t由此可得以下結論：由此可得以下結論：1212( )( )( )( )x tx tX s XsROC:12RR包括包括 6. 卷積性質卷積性質:（Convolution Property）11( )( ),x tXs

34、1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC: R若若則則121RR顯然有顯然有:例例. .11( ),1X ss21( ),23sX sss1ROC:1R 2ROC:2R 拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件121( )( ),23X s Xsss2, ROC擴大擴大 原因是原因是 與與 相乘時，發生了零極點相相乘時，發生了零極點相抵消的現象。當被抵消的極點恰好在抵消的現象。當被抵消的極點恰好在ROC的邊的邊界上時，就會使收斂域擴大。界上時，就會使收斂域擴大。2( )X s1( )X s7. 時域微分時域微分: :（Differentiation in theTime Domain）(

35、)( ),dx tsX sdt( )( ),x tX sROC:RROC包括包括R, ,有可能擴大。有可能擴大。若若則則8. S域微分域微分:（Differentiation in the s-Domain）( )( ),x tX s( )( ),dX stx tds若若則則ROC: RROC: R21( )()X ssaROC:a 例例. .求求( )x t211()()dsadssa ( )( )atx tteu t 9. 時域積分時域積分:（Integration in the Time Domain ）( )( ),x tX sROC : R若若1( )( )txdX ssROC :包

36、括包括(Re 0)Rs 則則( )( )( )txdx tu t1( )( )txdX ssROC :包括包括(Re 0)Rs 如果如果 是因果信號，且在是因果信號，且在 不包含奇異不包含奇異函數，則函數，則( )x t0t (0 )lim( )sxsX s初值定理初值定理( )( ) ( )x tx t u t0t ( )0 x t 時時 ，且在，且在 不包含奇異函數。不包含奇異函數。0t Proof:將將 在在 展開為展開為Taylor級數有：級數有：( )x t0t 10. 初值與終值定理初值與終值定理:（The Initial- and Final- Value Theorems)2(

37、 )( )(0 )(0 )(0 )(0 )( )2!nnttx txxtxxu tn對上式兩邊做拉氏變換：對上式兩邊做拉氏變換：( )21111( )(0 )(0 )(0 )nnX sxxxsss()101(0 )nnnxslim( )(0 )ssX sx 如果如果 是因果信號，且在是因果信號，且在 不包含奇異不包含奇異函數，函數， 除了在除了在 可以有單階極點外，其可以有單階極點外，其余極點均在余極點均在S平面的左半邊，則平面的左半邊，則( )x t0t ( )X s0s0lim ( )lim( )tsx tsX s終值定理終值定理0000( )( )( )( )ststststdx ted

38、tedx tdtx t esex t dt是因果信號，且在是因果信號，且在 無奇異函數無奇異函數, ,( )x t0t 證證: :拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件的實部的實部 可以大于零，因此可以大于零，因此s0( )(0 )stx t ex 除了在除了在 可以有一階極點外，其它可以有一階極點外，其它極點均在極點均在S平面平面的左半平面（即的左半平面（即保證保證 有終有終值值）。）。故故 的的ROC中必包含中必包含 軸。表明：軸。表明：( )X s0s ( )x t( )sX sj0( )(0 )( )stdx tedtxsX sdt 當當 時，時，0s00( )( )lim ( )(0 )s

39、ttdx tedtdx tx txdt0lim ( )lim( )tsx tsX s極點在極點在S平面的分布與終值的關系平面的分布與終值的關系Some Laplace Transform Pairs)(tuS1( )ateu tas 1( )nt u t1!nsn)(t1)(0tt 0ste9.6 常用拉氏變換對常用拉氏變換對 Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform一一. . 系統函數的概念：系統函數的概念： 以卷積特性為基礎，可以建立以卷積特性為基礎，可以建立LTI系統的拉系統的拉氏變換分析方

40、法，即氏變換分析方法，即( )( )( )Y sX sH s 其中其中 是是 的拉氏變換，稱為的拉氏變換，稱為系統函數系統函數或或轉移函數轉移函數。( )H s( )h t9.7用拉氏變換分析與表征用拉氏變換分析與表征LTI系統系統拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件 如果如果 的的ROC包括包括 軸，則軸，則 和和 的的ROC必定包括必定包括 軸，以軸，以 代入，即有代入，即有( )Y sj( )X s( )H sjsj()()()Y jX jH j 這就是這就是LTI系統的傅里葉分析。系統的傅里葉分析。 即是系統即是系統的的頻率響應頻率響應。()H j 這些方法之所以成立的本質原因在于這些方法

41、之所以成立的本質原因在于復指數函復指數函數是一切數是一切LTI系統的特征函數系統的特征函數。當以。當以 為基底為基底分解信號時，分解信號時，LTI系統系統對輸入信號的響應就是對輸入信號的響應就是j te 連同相應的連同相應的ROC也能完全描述一個也能完全描述一個LTI系系統。系統的許多重要特性在統。系統的許多重要特性在 及其及其ROC中一定中一定有具體的體現。有具體的體現。( )H s( )H s()()X jH jste( )( )X sH s ； 而以而以 為基底分解信號時，系為基底分解信號時，系統的輸出響應就是統的輸出響應就是 。二二. 用系統函數表征用系統函數表征LTI系統：系統：1.

42、 因果性：因果性：如果如果 時時 ，則，則系統是因果的系統是因果的。0t ( )0h t 如果如果 時時 ，則，則系統是反因果的系統是反因果的。( )0h t 0t 因此，因此，因果系統因果系統的的 是右邊信號，其是右邊信號，其 的的ROC必是最右邊極點的右邊必是最右邊極點的右邊。由于。由于反因果系反因果系統統的的 是左邊信號，是左邊信號， 的的ROC必是最左必是最左邊極點的左邊。邊極點的左邊。( )H s( )h t( )h t( )H s 應該強調指出，由應該強調指出，由ROC的特征，反過來并不的特征，反過來并不能判定系統是否因果。能判定系統是否因果。ROC是最右邊極點的右是最右邊極點的右

43、邊并不一定系統因果。邊并不一定系統因果。2. 穩定性：穩定性： 如果系統穩定，則有如果系統穩定，則有 。因。因此此 必存在。意味著必存在。意味著 的的ROC必然包必然包括括 軸。軸。( )h tdt ( )H s()H jj( )H s只有只有當當 是有理函數時，逆命題才成立。是有理函數時，逆命題才成立。 綜合以上兩點，可以得到：綜合以上兩點，可以得到：因果穩定系統因果穩定系統的的 ，其全部極點必須位于，其全部極點必須位于S平面的左半邊。平面的左半邊。( )H s例例1.某系統的某系統的 顯然該系統是因果的，確定系統的穩定性。顯然該系統是因果的，確定系統的穩定性。2( )( )( )tth t

44、e u teu t21123( ),1232sH sssssROC:Re 1s 顯然，顯然，ROC是最右邊極點的右邊。是最右邊極點的右邊。ROC包括包括 軸軸j系統也是穩定的。系統也是穩定的。的全部極點都在的全部極點都在S平面的左半邊。平面的左半邊。( )H s例例2. 若有若有( ),1seH ssRe 1s 的的ROC是最右邊極點的右邊，但是最右邊極點的右邊，但 是非有理函數，是非有理函數， ，系統是非，系統是非因果的。因果的。( )H s( )H s(1)( )(1)th teu t 由于由于ROC包括包括 軸，該系統仍是穩定的。軸，該系統仍是穩定的。j而對系統而對系統( ),1seH

45、ssRe 1s 仍是非有理函數，仍是非有理函數，ROC是最右邊極點的是最右邊極點的右邊，右邊，但由于但由于 ，系統是因果的。，系統是因果的。 ( )H s(1)( )(1)th teu t拉普拉斯變化課件拉普拉斯變化課件結結 論：論： 如果如果LTI系統的系統函數是有理函數，且全部系統的系統函數是有理函數，且全部極點位于極點位于S平面的左半邊，則系統是因果、穩平面的左半邊，則系統是因果、穩定的。定的。 2. 如果如果LTI系統的系統函數是有理函數，且系統系統的系統函數是有理函數，且系統因果，則系統函數的因果，則系統函數的ROC是最右邊極點的右是最右邊極點的右邊。若系統反因果，則系統函數的邊。若

46、系統反因果，則系統函數的ROC是最是最左邊極點的左邊。左邊極點的左邊。 3.如果如果LTI系統是穩定的，則系統函數的系統是穩定的，則系統函數的ROC必然必然包括包括 軸。軸。j三三. 由由LCCDE描述的描述的LTI系統的系統函數：系統的系統函數：對對00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt做拉氏變換，可得做拉氏變換，可得00( )( )( ),( )( )NkkkNkkkb sY sN sH sX sD sa s是一個有理函數是一個有理函數的的ROC需要由系統的相關特性來確定。需要由系統的相關特性來確定。( )H s1）如果）如果LCCDE具有一組全部為零的初始條

47、件，具有一組全部為零的初始條件， 則則 的的ROC必是最右邊極點的右邊。必是最右邊極點的右邊。( )H s2）如果已知）如果已知LCCDE描述的系統是因果的，則描述的系統是因果的，則 的的ROC必是最右邊極點的右邊。必是最右邊極點的右邊。( )H s3）如果已知）如果已知LCCDE描述的系統是穩定的，則描述的系統是穩定的，則 的的ROC 必包括必包括 軸。軸。( )H sj四四. .系統特性與系統函數的關系系統特性與系統函數的關系: :自學。請關注例自學。請關注例9.25、9.26、9.27 五五. Butterworth濾波器濾波器: 通常通常Butterworth濾波器的特性由頻率響應的濾

48、波器的特性由頻率響應的模平方函數給出。對模平方函數給出。對N階階 Butterworth低通濾波低通濾波器有：器有：221()1/NcB j （N為濾波器的階數）為濾波器的階數）由于由于2()()()B jB jBjButterworth濾波器的沖激響應應該是實信號，濾波器的沖激響應應該是實信號，()()BjBj將將 函數拓展到整個函數拓展到整個S平面有：平面有：2()B j21( )()1( /)NcB s Bssj共有共有2N個極點個極點12( 1)()kj sNkcksjs e (0,1,21)kN 表明表明N階階Butterworth低通濾波器模平方函數低通濾波器模平方函數的的全部全部

49、2N個極點均勻分布在半徑為個極點均勻分布在半徑為 的圓周上的圓周上。c極點分布的特征：極點分布的特征： 2N個極點等間隔均勻分布在半徑為個極點等間隔均勻分布在半徑為 的圓周的圓周上上。 軸上不會有極點。當軸上不會有極點。當N為奇數時在實軸上為奇數時在實軸上有極點，有極點，N為偶數時實軸上無極點。為偶數時實軸上無極點。 相鄰兩極點之間的角度差為相鄰兩極點之間的角度差為 。 極點分布總是關于原點對稱的。極點分布總是關于原點對稱的。cj/ N 要實現的濾波器應該是因果穩定系統，因此要實現的濾波器應該是因果穩定系統，因此位于左半平面的位于左半平面的N個極點一定是屬于個極點一定是屬于 的。的。( )B

50、s( )B s 據此，確定出據此，確定出 后，也就可以綜合出一個后，也就可以綜合出一個Butterworth 濾波器。濾波器。9.8 系統函數的代數屬性與系統的系統函數的代數屬性與系統的級聯并聯型結構級聯并聯型結構System Function Algebra and Block Diagram Representations一一. .系統互聯時的系統函數：系統互聯時的系統函數：1. 級聯：級聯：12( )( )( )H sH sHsROC :12RR包括包括3. 反饋聯結：反饋聯結：1( )( )( ) ( )X sX sG s Y s11( )( )( )Y sX s H s1( )( )

51、 ( )( )X sG s Y s H s2. 并聯：并聯：12( )( )( )H sH sHsROC:12RR包括包括11( )( )( )( )1( )( )Y sH sH sX sG s H sROC:12RR包括包括二二. . LTI系統的級聯和并聯型結構系統的級聯和并聯型結構：LTI系統可以由一個系統可以由一個LCCDE來描述。來描述。00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt對其進行拉氏變換有：對其進行拉氏變換有：00( )( )NNkkkkkka s Y sb s X s00( )( )( )( )( )NkkkNkkkbsY sN sH sX sD

52、sa s是一個有理函數是一個有理函數( )H s1. 級聯結構：級聯結構：將將 的分子和分母多項式因式分解的分子和分母多項式因式分解( )H s221011221011()( )()PNPkkkNkkQNQNkkkkksssbH sasss 這表明：這表明：一個一個N階的階的LTI系統可以分解為若干系統可以分解為若干個二階系統和一階系統的級聯。在個二階系統和一階系統的級聯。在N為偶數時，為偶數時，可以全部組合成二階系統的級聯形式。可以全部組合成二階系統的級聯形式。21( )( )NNkkNbH sHsa210210( )kkkkkssHsss其中其中如果如果N為奇數，則有一個一階系統出現。為奇

53、數，則有一個一階系統出現。2. 并聯結構：并聯結構： 將將 展開為部分分式展開為部分分式 ( (假定假定 的分子階的分子階數不高于分母階數，所有極點都是單階的），數不高于分母階數，所有極點都是單階的），則有：則有：( )H s( )H s1( )NNkkNkbAH sas將共軛成對的復數極點所對應的兩項合并將共軛成對的復數極點所對應的兩項合并: :21021110( )QNQNkkkkkNkkkbsAH sasss21( )NNkkNbHsa N為偶數時又可將任意兩個一階項合并為二為偶數時又可將任意兩個一階項合并為二階項，由此可得出系統的并聯結構：階項，由此可得出系統的并聯結構：The Uni

54、lateral Laplace Transform 單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析LCCDE 描述的增量線性系統具有重要的意義。描述的增量線性系統具有重要的意義。一一. .定義定義: :0( )( )stsx t edt 如果如果 是因果信號，對其做雙邊拉氏變換是因果信號，對其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。和做單邊拉氏變換是完全相同的。( )x t9.9 單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換 單邊拉氏變換也同樣存在單邊拉氏變換也同樣存在ROC 。其。其

55、ROC必然必然遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：一定一定位于最右邊極點的右邊。位于最右邊極點的右邊。 正因為這一原因，在討論單邊拉氏變換時，一正因為這一原因，在討論單邊拉氏變換時，一般不再強調其般不再強調其ROC。1( )( )2jstjx ts e dsj 單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的反變換相同。反變換相同。做單邊拉氏變換，有：做單邊拉氏變換，有：(1)0()0( )1a tstas a taseedteedtesaRe sa 例例1.(1)( )(1)a tx teu t做雙邊拉氏變換：做雙邊拉氏變換：1( )sX sesaRe sa 例例