1、第第7章章 三維變換三維變換 7.1 7.2 三維幾何變換三維幾何變換 7.3 三維坐標變換三維坐標變換1;.7.1 簡介簡介三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉變換三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉變換則不然，因為我們可選取空間任意方向作旋轉軸，因此三維變換處理則不然，因為我們可選取空間任意方向作旋轉軸，因此三維變換處理起來更為復雜。起來更為復雜。與二維變換相似，我們也采用齊次坐標技術來描述空間的各點坐與二維變換相似，我們也采用齊次坐標技術來描述空間的各點坐標及其變換，這時，描述空間三維變換的變換矩陣是標及其變換，這時，描述空間三維變換的變換矩陣是4

2、4的形式。的形式。由此，一系列變換可以用單個矩陣來表示。由此，一系列變換可以用單個矩陣來表示。2;.7.2 三維幾何變換三維幾何變換7.2.1 基本三維幾何變換基本三維幾何變換 1. 平移變換平移變換 若空間平移量為若空間平移量為(tx, ty, tz)，則平移變換為，則平移變換為zyxtzztyytxxP(x,y,z)P(x,y,z)xyz10100001000011 1 zyxtttzyxzyx補充說明：點的平移、物體的平移、補充說明：點的平移、物體的平移、多面體的平移、逆變換多面體的平移、逆變換3;.2. 比例變換比例變換10000000000001 1 zyxssszyxzyx（1）

3、相對坐標原點的比例變換相對坐標原點的比例變換一個點一個點P=(x,y,z)相對于坐標原點的比例變換的矩陣可表示為相對于坐標原點的比例變換的矩陣可表示為xyzzyxzszysyxsx,其中其中zyxsss,為正值。為正值。4;.（2） 相對于所選定的固定點的比例變換相對于所選定的固定點的比例變換zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)(1)(2)(3) 1111000000000,fzfyfxzyxfffzyxfffzsysxsssszyxTsssSzyxT5;.3. 繞坐標軸的旋轉變換繞坐標軸的旋轉變換 三維空間中的旋轉變換比二維

4、空間中的旋轉變換復雜。除了需要指定旋轉角外，還需三維空間中的旋轉變換比二維空間中的旋轉變換復雜。除了需要指定旋轉角外，還需指定旋轉軸。指定旋轉軸。 若以坐標系的三個坐標軸若以坐標系的三個坐標軸x,y,z分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上作二維旋轉。此時用二維旋轉公式就可以直接推出三維旋轉變換矩陣。作二維旋轉。此時用二維旋轉公式就可以直接推出三維旋轉變換矩陣。 規定在右手坐標系中，物體旋轉的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看規定在右手坐標系中，物體旋轉的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看是逆時針方向。是逆時針方向。

5、 6;.（1）繞）繞 z 軸旋轉軸旋轉xxxyyyzzzzzyxyyxxcossinsincosxzyx（2）繞）繞 x 軸旋轉軸旋轉xxzyzzyycossinsincos（3）繞）繞 y 軸旋轉軸旋轉yyxzxxzzcossinsincos7;.1000010000cossin00sincos1 1 zyxzyx10000cossin00sincos000011 1 zyxzyx10000cos0sin00100sin0cos1 1 zyxzyx繞繞 z 軸旋轉軸旋轉繞繞 x 軸旋轉軸旋轉繞繞 y 軸旋轉軸旋轉8;.旋轉，則該軸坐標的一列元素不變。按照二維圖形變換的情況，將其旋轉矩陣旋轉，

6、則該軸坐標的一列元素不變。按照二維圖形變換的情況，將其旋轉矩陣cossinsincos中的元素添入相應的位置中，即中的元素添入相應的位置中，即對于單位矩陣對于單位矩陣1000010000100001xyzxyz旋轉變換矩陣規律旋轉變換矩陣規律:，繞哪個坐標軸繞哪個坐標軸9;.(1) 繞繞z軸正向旋轉軸正向旋轉角，旋轉后點的角，旋轉后點的z坐標值不變坐標值不變, x、y坐標的變化相當于在坐標的變化相當于在xoy平面內作正平面內作正角旋轉。角旋轉。1000010000cossin00sincos1 1 zyxzyx1000010000100001xyzxyz(2)繞繞x軸正向旋轉軸正向旋轉角，旋轉

7、后點的旋轉后點的x坐標值不變，坐標值不變， Y、z坐標的變化相當于在坐標的變化相當于在yoz平面內作正平面內作正角旋轉。角旋轉。10000cossin00sincos000011 1 zyxzyx10;.10000cos0sin00100sin0cos1 1 xyzxyz即即10000cos0sin00100sin0cos1 1 zyxzyx這就是說，繞這就是說，繞y軸的旋轉變換的矩陣與繞軸的旋轉變換的矩陣與繞x軸和軸和z軸變換的矩陣從表面上看在符號上有所軸變換的矩陣從表面上看在符號上有所不同。不同。(3) 繞繞y軸正向旋轉軸正向旋轉角，角，y坐標值不變，坐標值不變，z、x的坐標相當的坐標相當

8、于在于在zox平面內作正平面內作正角旋轉，于是角旋轉，于是11;.7.2.2 組合變換組合變換物體繞平行于某一坐標軸的旋轉變換。基本步驟物體繞平行于某一坐標軸的旋轉變換。基本步驟: (1) 平移物體使旋轉軸與所平行的坐標軸重合平移物體使旋轉軸與所平行的坐標軸重合; (2) 沿著該坐標軸進行指定角度的旋轉沿著該坐標軸進行指定角度的旋轉; (3) 平移物體使旋轉軸移回到原位置。平移物體使旋轉軸移回到原位置。xyzxyz(a)(b)yxz(c)xz(d) 1TRTRx12;.繞任意軸旋轉的變換繞任意軸旋轉的變換(1)平移物體使旋轉軸通過坐標原點平移物體使旋轉軸通過坐標原點;xyzP1P2xyzP1P

9、2(1)(2)旋轉物體使旋轉軸與某個坐標軸旋轉物體使旋轉軸與某個坐標軸(如如z軸軸)重合重合;(3)關于該坐標軸進行指定角度的旋轉關于該坐標軸進行指定角度的旋轉;xyzP1P2(2)yxzP1P2(3)13;.(4) 應用逆旋轉變換將旋轉軸回到原方向應用逆旋轉變換將旋轉軸回到原方向;(5) 應用逆平移變換將旋轉軸變換到原位置。應用逆平移變換將旋轉軸變換到原位置。xyzP1P2(4)xyzP1P2(5)14;.例例. 求變換求變換AV，使過原點的向量，使過原點的向量V=(a,b,c)與與z軸的正向一致。軸的正向一致。xyzVxyz實現步驟實現步驟:(1)將將V繞繞x軸旋轉到軸旋轉到xz 平面上平

10、面上;(2)再繞再繞y軸旋轉使之與軸旋轉使之與z軸正向重合。軸正向重合。旋轉角度的確定：繞旋轉角度的確定：繞x軸旋轉的角度軸旋轉的角度 等于向量等于向量V在在yz 平面上的投影向量與平面上的投影向量與z 軸正向軸正向的夾角。的夾角。xyzV=(a,b,c)V1=(0,b,c)VV15;.根據矢量的點乘與叉乘，可以算出根據矢量的點乘與叉乘，可以算出:2222cos,sincbccbb因此，因此， 10000000000122222222cbccbbcbbcbcRx 22, 0 ,cbaVRVx16;.類似地，可以求出類似地，可以求出:22222222cos,sincbacbcbaa 100000

11、0010002222222222222222cbacbcbaacbaacbacbRy yxVRRA 17;.利用這一結果，則繞任意軸旋轉的變換矩陣可表示為：利用這一結果，則繞任意軸旋轉的變換矩陣可表示為： 111TRRRRRTRxyzyxxyzP1P2xyzP1P21) TxyzP1P22)xzP1P23) yxRR zR18;.給定具有單位長的旋轉軸給定具有單位長的旋轉軸A=ax,ay,az和旋轉角和旋轉角 ， 則物體繞則物體繞OA軸旋轉變換的矩陣表示可確定如下：軸旋轉變換的矩陣表示可確定如下：xxxxxxxxxxxyzxyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaATxyxzyzzzyzx

12、zzyyyxyzxyxxxMPPAAIAMaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaAsincos000*A軸角旋轉軸角旋轉7.2.3 繞任意軸旋轉變換的簡單算法繞任意軸旋轉變換的簡單算法xyzo其中其中TM表示表示M的轉置矩陣。的轉置矩陣。19;.利用這一結果，則繞任意軸旋轉的變換矩陣可表示為：利用這一結果，則繞任意軸旋轉的變換矩陣可表示為：傳統的方法通過繞坐標軸旋轉變換的乘積表示繞任意軸旋轉的變換。與之相比，這種傳統的方法通過繞坐標軸旋轉變換的乘積表示繞任意軸旋轉的變換。與之相比，這種方法更直觀。方法更直觀。xyzP1P2xyzP1P2 1TMTRT其中旋轉軸其中旋轉軸A=ax,a

13、y,az為為1212PPPPA20;.7.2.4 三維變換矩陣的功能分塊三維變換矩陣的功能分塊stttpaaapaaapaaazyxzyx332313322212312111（1）三維線性變換部分）三維線性變換部分（2）三維平移變換部分）三維平移變換部分（3）透視變換部分）透視變換部分（4）整體比例因子）整體比例因子21;.7.3 三維坐標變換三維坐標變換幾何變換：在一個參考坐標系下將物體從一個位置移動到另一個位置的變換。幾何變換：在一個參考坐標系下將物體從一個位置移動到另一個位置的變換。坐標變換：坐標變換： 一個物體在不同坐標系之間的坐標變換。如從世界坐標系到觀察坐標一個物體在不同坐標系之間

14、的坐標變換。如從世界坐標系到觀察坐標系的變換；觀察坐標到設備坐標之間的變換。再如，對物體造型時，我們通常在系的變換；觀察坐標到設備坐標之間的變換。再如，對物體造型時，我們通常在局部坐標系中構造物體，然后重新定位到用戶坐標系。局部坐標系中構造物體，然后重新定位到用戶坐標系。22;.坐標變換的構造方法坐標變換的構造方法:與二維的情況相同，為將物體的坐標描述從一個系統轉換為另一個系統，我們需要與二維的情況相同，為將物體的坐標描述從一個系統轉換為另一個系統，我們需要構造一個變換矩陣，它能使兩個坐標系統重疊。具體過程分為兩步：構造一個變換矩陣，它能使兩個坐標系統重疊。具體過程分為兩步：（1）平移坐標系統

15、）平移坐標系統oxyz，使它的坐標原點與新坐標系統的原點重合；，使它的坐標原點與新坐標系統的原點重合；（2）進行一些旋轉變換，使兩坐標系的坐標軸重疊。）進行一些旋轉變換，使兩坐標系的坐標軸重疊。有多種計算坐標變換的方法，下面我們介紹一種簡單的方法。有多種計算坐標變換的方法，下面我們介紹一種簡單的方法。23;.xyz(0,0,0)000,zyxxuyuzuxzy設新坐標系設新坐標系oxyz 原點的坐標為原點的坐標為（x0,y0,z0），相對原坐標系其單位坐標），相對原坐標系其單位坐標矢量為：矢量為：321,xxxxuuuu321,yyyyuuuu321,zzzzuuuu將原坐標系將原坐標系xyz

16、下的坐標下的坐標轉換成新坐標系轉換成新坐標系xyz的坐標可由以下兩步完成：的坐標可由以下兩步完成：首先，首先， 平移坐標系平移坐標系xyz，使其原點與新坐標系，使其原點與新坐標系xyz的原點（的原點（x0,y0,z0）重合；）重合；24;.xyz(0,0,0)000,zyxxuyuzuxzyxyz(0,0,0)1010000100001000zyxT平移矩陣為：平移矩陣為： (x,y,z)第二步，利用單位坐標向量構造坐標旋轉矩陣第二步，利用單位坐標向量構造坐標旋轉矩陣1000000333222111zyxzyxzyxuuuuuuuuuR25;.該矩陣該矩陣R將單位向量將單位向量xuyuzu分別變換到分別變換到x,y和和z 軸。軸。綜合以上兩步，從綜合以上兩步，從oxyz到到oxyz的坐標變換的矩陣為的坐標變換的矩陣為RzyxT000, RzyxTzyxzyx000,1 ,1 ,說明：變換矩陣說明：變換矩陣TR將一個直角坐標系變換為另一個坐標系。即使一個坐標系將一個直角坐標系變換為另一個坐標系。即使一個坐標系是右手坐標系，另一個為左手坐標系，結論