1、習題課機械能守恒定律的應用1機械能守恒的條件：只有重力、系統內彈力做功2機械能守恒定律的三種表達式(1)從能量守恒的角度：Ek1Ep1Ek2Ep2.(2)從能量轉化的角度：EkEp.(3)從能量轉移的角度：EAEB.物體系統的機械能守恒問題機械能守恒定律的研究對象是幾個相互作用的物體組成的系統時， 在應用機械能守恒定律解決系統的運動狀態的變化及能量的變化時，經常出現下面三種情況：1系統內兩個物體直接接觸或通過彈簧連接這類連接體問題應注意各物體間不同能量形式的轉化關系2系統內兩個物體通過輕繩連接如果和外界不存在摩擦力做功等問題時，只有機械能在兩物體之間相互轉移， 兩物體組成的系統機械能守恒 解決

2、此類問題的關鍵是在繩的方向上兩物體速度大小相等3系統內兩個物體通過輕桿連接輕桿連接的兩物體繞固定轉軸轉動時，兩物體的角速度相等(2016合肥一中高一檢測)如圖所示，質量不計的輕桿一端安裝在水平軸 O 上，桿的中央和另一端分別固定一個質量均為 m 的小球 A 和 B(可以當作質點)，桿長為 l，將輕桿從靜止開始釋放，不計空氣阻力當輕桿通過豎直位置時，求：小球 A、B 的速度各是多少？解析對 A、B(包括輕桿)組成的系統，由機械能守恒定律EpEk得mgl2mgl12mv2A12mv2B又因 A、B 兩球的角速度相等，則 vAl2vBl聯立式，代入數據解得vA35gl，vB235gl.答案35gl2

3、35gl1.如圖所示， 質量為 m 的木塊放在光滑的水平桌面上， 用輕繩繞過桌邊的定滑輪與質量為 M 的砝碼相連，已知 M2m，讓繩拉直后使砝碼從靜止開始下降 h(此時豎直繩長小于桌高)的距離，木塊仍在桌面上，則此時砝碼的速度為多大？解析：法一：利用機械能守恒定律求解設砝碼開始離桌面的距離為 x，取桌面所在的水平面為參考平面，則系統的初始機械能E1Mgx系統的末態機械能 E2Mg(xh)12(Mm)v2由 E2E1，得Mg(xh)12(Mm)v2Mgx又 M2m聯立以上兩式得 v233gh.法二：利用動能定理求解設拉力對木塊所做的功為 W，則拉力對砝碼所做的功為W，對木塊由動能定理得 W12m

4、v2對砝碼由動能定理得 MghW12Mv2，又 M2m聯立以上三式得 v233gh.答案：233gh機械能守恒定律與動能定理的綜合應用在多個物體系統中， 機械能守恒定律只能解決物體的狀態問題， 要解決系統內彈力做功問題，必須要應用動能定理具體步驟如下：1應用機械能守恒定律求出物體的速度2應用動能定理對某一物體列方程3求解得出結果如圖所示是一個橫截面為半圓、半徑為 R 的光滑柱面，一根不可伸長的細線兩端分別系著物體 A、B，且 mA2mB2m，由圖示位置從靜止開始釋放 A 物體，當物體 B 達到圓柱頂點時，求繩的張力對物體B 所做的功解析A 和 B 兩物體組成的系統，機械能守恒，A、B 兩物體運

5、動過程中速度大小相等，設為 v，A 物體的重力勢能減小，轉化為 B 物體的重力勢能和 A、B 兩物體的動能，由機械能守恒得mAg12RmBgR12mAv212mBv2B 物體運動過程中，繩的張力做功，重力做功，由動能定理得W張mBgR12mBv20聯立解得：W張23mgR.答案23mgR2.如圖， 一輕繩跨過距水平面高為 H 的小滑輪，繩的兩端分別系有質量均為 m 的 A、B 兩物體(可看做質點)，開始時系 A 的繩與水平面成 37，整個系統處于靜止狀態，現將B 物體由靜止釋放，求：系 A 的繩與水平面成 53的過程中，細繩對 A 物體做的功(所有摩擦均不計)解析：B 物體下降的高度hHsin

6、 37Hsin 53設 B 物體的速度為 vB，則此時 A 物體的速度為 vAvBcos53A、B 系統機械能守恒mgh12mv2B12mv2A聯立式得：v2A125204gH對 A 應用動能定理得：W12mv2A0125408mgH.答案：125408mgH隨堂達標1.(多選)如圖所示， 固定的傾斜光滑桿上套有一個質量為 m 的小球，小球與一輕質彈簧一端相連，彈簧的另一端固定在地面上的 A 點已知桿與水平面之間的夾角45，當小球位于 B 點時，彈簧與桿垂直，此時彈簧處于原長 現讓小球自 C 點由靜止釋放， 在小球滑到桿底端的整個過程中，關于小球的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能，下列說法正確的

7、是()A小球的動能與重力勢能之和保持不變B小球的動能與重力勢能之和先增大后減小C小球的動能與彈簧的彈性勢能之和增大D小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和保持不變解析：選 BC.以彈簧為研究對象，小球運動過程中，彈簧的形變量先變小到原長，后變大，所以彈簧的彈性勢能 Ep1先減小后增大再以彈簧和小球組成的系統為研究對象，只有重力、彈力做功，所以系統的機械能守恒，則彈簧的彈性勢能 Ep1、小球的動能 Ek和重力勢能 Ep2之和保持不變，即 EkEp1Ep2恒量由于 Ep1先減小后增大，故選項 A 錯誤，選項 B 正確由于 Ep2一直減小，所以 Ek與 Ep1之和一直增大，選項 C 正確由題意可知，小球

8、的速度先增大后減小，即 Ek先增大后減小，所以 Ep1與 Ep2之和先減小后增大，選項 D 錯誤2小物塊 A 的質量為 m2 kg，物塊與坡道間的動摩擦因數為0.6，水平面光滑坡道頂端距水平面高度為 h1 m，傾角為37.物塊從坡道進入水平滑道時，在底端 O 點處無機械能損失，將輕彈簧的一端連接在水平滑道 M 處并固定在墻上，另一自由端恰位于坡道的底端 O 點，如圖所示物塊 A 從坡頂由靜止滑下，重力加速度為 g10 m/s2，求：(1)物塊滑到 O 點時的速度大小；(2)彈簧為最大壓縮量時的彈性勢能；(3)物塊 A 被彈回到坡道上升的最大高度解析：(1)由動能定理得 mghmghcot12m

9、v2解得 v 2gh（1cot），代入數據得 v2 m/s.(2)在水平滑道上，由機械能守恒定律得12mv2Ep，則Epmghmghcot，代入數據得 Ep4 J.(3)設物塊 A 能夠上升的最大高度為 h1，物塊被彈回過程中由動能定理得mgh1mgh1cot012mv2解得 h1（1cot）h1cot，代入數據得 h119m.答案：(1)2 m/s(2)4 J(3)19m課時作業一、單項選擇題1(2016臨沂高一檢測)如圖所示為光滑輕質的滑輪，阻力不計，M12kg，M21 kg，M1離地高度為 H0.5 m，g 取 10 m/s2.M1與 M2從靜止開始釋放，M1由靜止下落 0.3 m 時的

10、速度為 ()A. 2 m/sB3 m/sC2 m/sD1 m/s解析：選 A.M1由靜止下落 0.3 m 的過程中，M1和 M2組成的系統機械能守恒，則有：M1ghM2gh12(M1M2)v2，代入數據解得：v 2 m/s，故選 A.2.內壁光滑的環形凹槽半徑為 R，固定在豎直平面內，一根長度為2R的輕桿，一端固定有質量為 m 的小球甲，另一端固定有質量為 2m 的小球乙現將兩小球放入凹槽內，小球乙位于凹槽的最低點，如圖所示，由靜止釋放后()A下滑過程中甲球減少的機械能總是等于乙球增加的機械能B下滑過程中甲球減少的重力勢能總是等于乙球增加的重力勢能C甲球可沿凹槽下滑到槽的最低點D桿從右向左滑回

11、時，乙球一定不能回到凹槽的最低點解析：選 A.環形槽光滑，甲、乙組成的系統在運動過程中只有重力做功，故系統機械能守恒，下滑過程中甲減少的機械能總是等于乙增加的機械能，甲、乙系統減少的重力勢能等于系統增加的動能；甲減少的重力勢能等于乙增加的勢能與甲、乙增加的動能之和；由于乙的質量較大，系統的重心偏向乙一端，由機械能守恒，知甲不可能滑到槽的最低點，桿從右向左滑回時乙一定會回到槽的最低點3 如圖所示， 質量分別為 m 和 3m 的小球 A 和 B 可視為質點， 系在長為 L 的細線兩端，桌面水平光滑，高為 h(hL)A 球無初速度從桌面滑下，落在沙地上靜止不動，則 B 球離開桌面的速度為()A.gh

12、2B. 2ghC.gh3D.gh6解析：選 A.由 hm)的滑塊，通過不可伸長的輕繩跨過定滑輪連接，輕繩與斜面平行兩滑塊由靜止釋放后， 沿斜面做勻加速運動 若不計滑輪的質量和摩擦， 在兩滑塊沿斜面運動的過程中()A兩滑塊組成的系統機械能守恒B重力對 M 做的功等于 M 動能的增加C輕繩對 m 做的功等于 m 機械能的增加D兩滑塊組成系統的機械能損失等于 M 克服摩擦力做的功解析：選 CD.因為 M 克服摩擦力做功，所以系統機械能不守恒，A 錯誤由功能關系知系統減少的機械能等于 M 克服摩擦力做的功，D 正確對 M，除重力外還有摩擦力和輕繩拉力對其做功，由動能定理知 B 錯誤對 m，有拉力和重力

13、對其做功，由功能關系知 C正確9.如圖所示， 在傾角30的光滑固定斜面上， 放有兩個質量分別為 1 kg 和 2 kg 的可視為質點的小球 A 和 B，兩球之間用一根長 L0.2 m 的輕桿相連，小球 B 距水平面的高度 h0.1 m兩球從靜止開始下滑到光滑地面上，不計球與地面碰撞時的機械能損失，g 取 10 m/s2.則下列說法中正確的是()A下滑的整個過程中 A 球機械能守恒B下滑的整個過程中兩球及輕桿組成的系統機械能守恒C兩球在光滑水平面上運動時的速度大小為 2 m/sD系統下滑的整個過程中 B 球機械能的增加量為23J解析：選 BD.下滑過程中小球 A、B 和輕桿組成的系統機械能守恒，

14、B 對，A 錯；設兩球到達光滑水平面上的速度為 v，由機械能守恒定律得 mAg(Lsin 30h)mBgh12(mAmB)v2，代入數據得 v83m/s，選項 C 錯；B 球的機械能增加量為EB12mBv2mBgh1228322100.1J23J，故 D 對三、非選擇題10.如圖所示， 在豎直方向上 A、 B 兩物體通過勁度系數為 k 的輕質彈簧相連，A 放在水平地面上；B、C 兩物體通過細繩繞過輕質定滑輪相連，C 放在固定的光滑斜面上，用手拿住 C，使細線剛剛拉直但無拉力作用， 并保證 ab 段的細線豎直、 cd 段的細線與斜面平行 已知 A、B 的質量均為 m，C 的質量為 4m，重力加速

15、度為 g，細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統處于靜止狀態，釋放 C 后它沿斜面下滑，A 剛離開地面時，B 獲得最大速度，求：(1)斜面傾角；(2)B 獲得的最大速度 v.解析：(1)設當物體 A 剛剛離開地面時，彈簧的伸長量為 xA.對 A 有：kxAmg此時 B 受到重力 mg、彈簧的彈力 kxA、細線拉力 FT三個力的作用設 B 的加速度為 a，根據牛頓第二定律對 B 有：FTmgkxAma對 C 有：4mgsinFT4ma當 B 獲得最大速度時，有 a0由此解得 sin0.5，所以30.(2)開始時彈簧壓縮的長度為 xBmgk，顯然 xAxB當物體 A 剛離開地面時，B 上升的距離

16、以及 C 沿斜面下滑的距離為 xAxB.由于 xAxB，則彈簧處于壓縮狀態和伸長狀態時的彈性勢能相等，且物體 A 剛剛離開地面時，B、C 兩物體的速度相等，設為 v，由機械能守恒定律得4mg(xAxB)sinmg(xAxB)12(4mm)v2解得 v2gm5k.答案：(1)30(2)2gm5k11(2016吉林長春調研)如圖所示，左側為一個半徑為 R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 點為球心，碗的內表面及碗口光滑右側是一個固定光滑斜面，斜面足夠長，傾角30.一根不可伸長的不計質量的細繩跨在碗口及光滑斜面頂端的光滑定滑輪上，繩的兩端分別系有可看做質點的小球 m1和 m2，且 m1m2.開始時 m1恰在右端碗口水平直徑 A 處，m2在斜面上且距離斜面頂端足夠遠，此時連接兩球的細繩與斜面平行且恰好伸直當 m1由靜止釋放運動到圓心 O 的正下方 B 點時細繩突然斷開，不計細繩斷開瞬間的能量損失(1)求小球 m2沿斜面上升的最大距離 x；(2)若已知細繩斷開后小球 m1沿碗的內側上升的最大高度為R2，求m1m2.解析：(1)設重力加速度為 g，小球 m1到達最低點