1、線性代數下頁結束返回第三節第三節 用正交變換化二次型為標準形用正交變換化二次型為標準形 一、正交變換一、正交變換二、利用正交變換化二次型為標準形二、利用正交變換化二次型為標準形下頁線性代數下頁結束返回一、一、 正交變換正交變換定義定義1 設設p為為n階正交矩陣，階正交矩陣，x、y是是 中的中的n維向量維向量，nr稱線性變換稱線性變換 xpy 是是 上的正交變換上的正交變換.nr性質：性質：（1）正交變換是可逆線性變換；）正交變換是可逆線性變換； （2）正交變換不改變向量的內積）正交變換不改變向量的內積. .定理定理2 實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量是正交的實對稱矩陣的不同特征值對應的特征

2、向量是正交的. .定理定理1 實對稱矩陣的特征值是實數；實對稱矩陣實對稱矩陣的特征值是實數；實對稱矩陣a的的 ri 重特征值重特征值l li 對應對應 ri 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量. .下頁定理定理3 設設a為為n 階實對稱矩陣，則必有正交矩陣階實對稱矩陣，則必有正交矩陣p使使appappt1),(,21ndiaglll其中其中為為a的的n個特征值，個特征值，nlll,21正交矩陣正交矩陣p的的n個列向量個列向量是矩陣是矩陣a對應于這對應于這n個特征值的標準正交的特征向量個特征值的標準正交的特征向量.線性代數下頁結束返回二、用正交變換化二次型為標準形二、用正交變換化二次型為標

3、準形利用正交變換化二次型為標準形的方法（熟練掌握）：利用正交變換化二次型為標準形的方法（熟練掌握）： (1) 寫出二次型的矩陣形式；寫出二次型的矩陣形式； (2) 求出求出a的全部特征值的全部特征值1, 2, ， n ； (3) 對每一個特征值對每一個特征值i , 解方程解方程 (i e-a )x=0, 求出基礎解系，求出基礎解系， 然后用施密特正交化方法將其正交化，再標準化；然后用施密特正交化方法將其正交化，再標準化； (4) 將所有經過正交化標準化的特征向量作為列向量構成一將所有經過正交化標準化的特征向量作為列向量構成一 個矩陣就得到了正交矩陣個矩陣就得到了正交矩陣p，所求的正交變換為，所

4、求的正交變換為 xpy； (5) 所求二次型的標準形為所求二次型的標準形為2221122.nnfyyylll下頁線性代數下頁結束返回例例1.1. 用正交變換化下列二次型為標準形用正交變換化下列二次型為標準形323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf解解: : 二次型的二次型的 f 系數矩陣為系數矩陣為324262423a矩陣的特征方程為：矩陣的特征方程為：324262423llllae0)7)(2(2ll解得，解得，1 1=-2,=-2,2 2=3 3=7=7724)7(262023llll124262023)7(lll1240210023)7(lll21023

5、)7(lll下頁線性代數下頁結束返回323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf對于對于1 1=-2 =-2 ，解方程組，解方程組 ( (-2e-a-2e-a) )x x=0=0t)2 , 1 , 2(1對于732ll，解方程組(7e-a)x=0得基礎解系得基礎解系t) 1, 0 , 1 (2，t)2 , 4, 0(3. 將其正交化得將其正交化得將其單位化得將其單位化得t)32,31,32(1將其單位化得將其單位化得t)22, 0 ,22(2t)62,322,62(3解得，解得，1 1=-2,=-2,2 2=3 3=7=7t) 1, 0 , 1 (23,(1, 4

6、,1)t得基礎解系得基礎解系例例1.1. 用正交變換化下列二次型為標準形用正交變換化下列二次型為標準形下頁線性代數下頁結束返回323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf622232322031622232,321p 令則通過正交變換則通過正交變換321321622232322031622232yyyxxx將二次型),(321xxxf化為標準形式232221772yyyf例例1.1. 用正交變換化下列二次型為標準形用正交變換化下列二次型為標準形下頁線性代數下頁結束返回例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通過

7、正交變換通過正交變換x=py化為標準形化為標準形,442232221yyyf求求a及正交變換矩陣及正交變換矩陣p解：解：f 的矩陣的矩陣a及標準形的矩陣及標準形的矩陣 分別為分別為3030004aaa200,040004 由已知條件得由已知條件得即即 4(9- a2) =32解得解得 a=1, a= -1 (舍去舍去) 由由a相似于對角陣相似于對角陣，得，得a的的 特征值為特征值為 1 1=2=2，2 2=3 3=4=4對于對于1 1=2 =2 ，解方程組，解方程組 (2e-a)x=0得基礎解系得基礎解系t) 1, 1, 0(1下頁故故a相似于對角陣相似于對角陣，所以，所以 atp ap 1p

8、 ap線性代數下頁結束返回把把單位化，得對應于單位化，得對應于1 1=2=2的單位特征向量的單位特征向量t)21,21, 0(1對于對于2 2=3 3=4 =4 ，解方程組，解方程組 ( (4e-a4e-a) )x x=0=0（注意求基礎解系的過程）（注意求基礎解系的過程）4ea 4- 4 0 0 00-1 4-3 30 4-3 0-1 0 0 0 0 -11 01 -100 00 0100-1例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通過正交變換通過正交變換x=py化為標準形化為標準形,442232221yyyf求求a及正交變換矩陣及正交變

9、換矩陣p下頁線性代數下頁結束返回4ea 4-4 0 0 00-1 4-304-30-1 0 0 0 0 -11 01 -100 01 00-10000 00 0100-1得得 (4e a)x 0 的一般解為的一般解為 x2 0 x1 x3其基礎解系為其基礎解系為t)0, 0, 1 (2t) 1, 1, 0(3例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通過正交變換通過正交變換x=py化為標準形化為標準形,442232221yyyf求求a及正交變換矩陣及正交變換矩陣p下頁線性代數下頁結束返回正交化標準化得將32,t)0, 0, 1 (2t)21,

10、21, 0(3所求的正交矩陣為所求的正交矩陣為2102121021010),(321p例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通過正交變換通過正交變換x=py化為標準形化為標準形,442232221yyyf求求a及正交變換矩陣及正交變換矩陣p下頁得得 (4e a)x o的一般解為的一般解為 x2 0 x1 x3其基礎解系為其基礎解系為t)0, 0, 1 (2t) 1, 1, 0(300 01 00-100線性代數下頁結束返回例例3. 已知二次型已知二次型323121232221321222),(xxxxxbxxaxxxxxf通過正交變換通過

11、正交變換x=py化為標準形化為標準形23224yyf，求a , b的值及正交變換矩陣及正交變換矩陣p解：解：f 的矩陣的矩陣a及標準形的矩陣及標準形的矩陣 分別為分別為111111abba000,010004 由由a相似于對角陣相似于對角陣，得的，得的 特征值為特征值為 1 1=0=0，2 2=1,=1,3 3=4=4對于對于1 1=0 =0 ，解方程組，解方程組 (0e - a)x=0得基礎解系得基礎解系t) 1, 0, 1 (1下頁由已知條件得由已知條件得故故a相似于對角陣相似于對角陣，所以，所以 a tr(a)= tr()tp ap 1p ap2(1)025ba 31ab解得解得即即線性代數下頁結束返回把把單位化，得對應于單位化，得對應于1 1=0=0的單位特征向量的單位特征向量t)21, 0,21(1類似可得對應于類似可得對應于= =的單位的單位特征向量為特征向量為t)31,31,31(2對應于對應于= =的單位特征向量為的單位特征向量為t)61,62,61(3所求的正交矩陣為所求的正交矩陣為