1、從一道題看奧賽所涉及的解題方法和技巧從一道題看奧賽所涉及的解題方法和技巧2題目：設湖岸題目：設湖岸mn是一條直線，有一小船自岸邊是一條直線，有一小船自岸邊的的a點沿與湖岸成點沿與湖岸成15角的方向勻速向湖中角的方向勻速向湖中駛去，有一個人自駛去，有一個人自a點同時出發(fā)，他先沿岸走點同時出發(fā)，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速已知人在岸上走的速度為度為v1 =4m/s，在水中游泳的速度為，在水中游泳的速度為v22m/s，試求小船的速度至多為多大時，這人才能追上小試求小船的速度至多為多大時，這人才能追上小船？船？mnavmax=?3方法方法1：微元法：微

2、元法如圖，設人在如圖，設人在d點入水并在點入水并在b點點剛好剛好能追上小船，這表明：能追上小船，這表明：此時人追上小船所用時間最少，對應的小船速度最大此時人追上小船所用時間最少，對應的小船速度最大.fecbmnad 現(xiàn)設現(xiàn)設c、e是是d點兩側附近點兩側附近無限靠近無限靠近d點的兩點，并點的兩點，并設分別從設分別從c、e點入水追小船所用總時間相等點入水追小船所用總時間相等. 現(xiàn)在現(xiàn)在bc段截取段截取bf=be，那么那么bfe90. 由于從由于從c、e點入水追小船所用總時間相等，所以，人點入水追小船所用總時間相等，所以，人在在ce段走與在段走與在cf段游泳所用時間相等段游泳所用時間相等.d點兩側各

3、有入水點點兩側各有入水點c和和e，使得在該處入水追，使得在該處入水追船所用時間相等船所用時間相等.4于是于是21vcfvce所以所以21coscecf 60因為因為c、e兩點無限靠近兩點無限靠近d點，所以點，所以bdn6060.fdaecmnbk作作bkbd交交mn于于k，于是，于是dk=2bd.又因為又因為v1=2v2,則人游則人游dk段與走段與走dk段所用時間相等段所用時間相等.所以所以人自出發(fā)經(jīng)人自出發(fā)經(jīng)d點再到點再到b點與人由點與人由a點一直走到點一直走到k點所用時間點所用時間相同，并都等于小船從相同，并都等于小船從a到到b所用的最少時間所用的最少時間.5即有即有1maxvakvab在

4、在abk中，中，用正弦定理可用正弦定理可得：得：21135sin30sinakab那么那么)/(2222211maxsmvvvfdaecmnbk6方法方法2：類比法：類比法bd設想設想mn為甲和乙兩種介質的為甲和乙兩種介質的分界面，光在甲中的速度為分界面，光在甲中的速度為v1，在乙中的速度為，在乙中的速度為v2，據(jù)費馬原理可知，據(jù)費馬原理可知，bda是光從是光從b傳到傳到a費時最少費時最少的路徑，而的路徑，而是臨界角是臨界角. 這可類比本題人從這可類比本題人從a經(jīng)經(jīng)d到到b的的追船情況追船情況.由此得：由此得：30arcsin12vv下面解法與方法下面解法與方法1相同相同.最后可得：最后可得：

5、)/(22maxsmvma乙乙甲甲n7方法方法3：圖解法：圖解法mneak如圖，設人開如圖，設人開始運動就一直始運動就一直游泳，那么他游泳，那么他能到達的區(qū)域能到達的區(qū)域是以是以a為圓心、以為圓心、以v2t為半徑的半圓中的任何一點，若他為半徑的半圓中的任何一點，若他一直沿湖岸走，那么他在一直沿湖岸走，那么他在t時間內可以到達時間內可以到達akv1t中的中的任何一點，若他先沿岸走一段再入水追船，那么任何一點，若他先沿岸走一段再入水追船，那么 他可以他可以在在t時間內到達圖中時間內到達圖中aef中的任何一點中的任何一點.所以，他若能所以，他若能追上船，船也必須在追上船，船也必須在t時間內到達這區(qū)域

6、時間內到達這區(qū)域.b 由于題設小船沿由于題設小船沿角的方向運動，所以沿此方向的角的方向運動，所以沿此方向的直線與直線與ek線的交點線的交點b是船以最大速度運動且又能被人追是船以最大速度運動且又能被人追上的地點上的地點.8bmneak在在rtaek中，中，因為因為ak=2ae，所以所以ake30，于是，于是，abk180 15 30135在在abk中中,據(jù)正弦定理得：據(jù)正弦定理得：21135sin30sinakab而而1max1maxvvtvtvakab所以所以)/(2222211maxsmvvv9方法方法4：矢量圖解法：矢量圖解法設人先沿岸走一段，再入水設人先沿岸走一段，再入水追船，以船為參考

7、系，追船，以船為參考系，由于人和船是同時由由于人和船是同時由a點出發(fā)的，則人在沿岸走時，船點出發(fā)的，則人在沿岸走時，船看到人正在由船所在位置逐漸看到人正在由船所在位置逐漸“離去離去”，離去的相對，離去的相對速度為速度為 ： 1uvvu11vvu221vkmna2v要人能追上船，即人能回到船上，則其返回的相對速度要人能追上船，即人能回到船上，則其返回的相對速度 必須沿必須沿 的反方向，返回的相對速度的反方向，返回的相對速度 為：為：1u2u2uc作圖：作圖：(1)以以mn線上的線上的a點為起點作矢量點為起點作矢量 得得k點；點；1v(2)以以a點為圓心，以點為圓心，以v2的大小為半徑作圓的大小為

8、半徑作圓;(3)作直線作直線ac，使它與，使它與mn線的夾角為線的夾角為15；10v2u1ueb2vmnac1vk1u設設k點與圓上的任一點點與圓上的任一點e的連線與的連線與ac線的交點為線的交點為b，則則ab表示船速，表示船速，bk表示表示人相對船的人相對船的“離開離開”速速度度 ，而，而be表示人相對表示人相對船的船的“返回返回”速度速度 .2u顯然，當顯然，當ke與圓相切時，與圓相切時，ab 線最長，表示船速最大，線最長，表示船速最大，由此有作圖步驟由此有作圖步驟:由于由于ak=ae，所以，所以，akf30， abe45.因而因而abe為等腰直角三角形，那么為等腰直角三角形，那么)/(2

9、222maxsmvv（4）作）作ke與圓相切于與圓相切于e點，并與點，并與ac相交于相交于b點點.11方法方法5：等效法：等效法mnab設人在設人在b點追上船，點追上船，則人到達則人到達b點可能有很點可能有很多途徑，如多途徑，如acb，adb,aeb等等,這些途徑中耗時最少的途徑對應著允許的最大船速，這些途徑中耗時最少的途徑對應著允許的最大船速，作作nap30，并分別作，并分別作ck,dh,ef垂直垂直ap，其中設，其中設bdh為直線，為直線，cdekhfp30又設想又設想mn線下方也變成湖水區(qū)域，線下方也變成湖水區(qū)域，則因為則因為ac=2ck,所以人由所以人由k點游泳到點游泳到c點所用時間與

10、點所用時間與人在岸上走由人在岸上走由a點到點到c點所用時間是相等的點所用時間是相等的. 故人按題設情況經(jīng)路徑故人按題設情況經(jīng)路徑acb所用時間與假想人全所用時間與假想人全部在水中游泳游過路徑部在水中游泳游過路徑kcb所用時間相等，所用時間相等，同理，人按題設情況經(jīng)路徑同理，人按題設情況經(jīng)路徑adb所用時間與假想所用時間與假想人全部在水中游泳游過路徑人全部在水中游泳游過路徑hdb所用時間相等，所用時間相等，12人按題設情況經(jīng)路徑人按題設情況經(jīng)路徑aeb所用時間與假想所用時間與假想人全部在水中游泳游過路人全部在水中游泳游過路徑徑feb所用時間相等，所用時間相等，cdekhfp30mnab顯然，在這

11、些途徑中，因為顯然，在這些途徑中，因為hdb是直線，因此所用時間最少是直線，因此所用時間最少.由以上分析可知，人沿等效途徑由以上分析可知，人沿等效途徑hdb游泳就費時最少地游泳就費時最少地剛好追上船，這對應著最大船速，設為剛好追上船，這對應著最大船速，設為vmax，則有，則有2maxvbhvab因為因為ahb是等腰直角三角形，所以是等腰直角三角形，所以bhab2故得故得)/(2222maxsmvv13方法方法6：極值法（利用三角函數(shù)）：極值法（利用三角函數(shù)）mnabcd如圖，設人沿岸走到如圖，設人沿岸走到d點時，船點時，船航行到航行到c點，此時人入水游泳就點，此時人入水游泳就剛好能在剛好能在b

12、點追上船點追上船.在在acd中應用正弦定理得中應用正弦定理得acad)sin()sin(又設此時船速為又設此時船速為v，人由，人由a點走到點走到d點耗時為點耗時為t，則，則vtactvad,1由以上兩式得由以上兩式得vv1)sin(sin14mnabcd) 1 ()sin(sin1vv又在又在cdb中應用正弦定理得中應用正弦定理得bcbd)sin(sin設人游過設人游過db段所用時間為段所用時間為 ,則則tt vcbtvbd,2由以上兩式得由以上兩式得)2()sin(sin2vv由（由（1）、（）、（2）式，并注意）式，并注意 ，可得，可得212vv )3()sin(2)sin(15mnabc

13、d)3()sin(2)sin(又由于又由于 ， 要要v盡可能盡可能大，大，即需即需ac/ad盡可能大，盡可能大，1vvadac而而越大，則越大，則ac越大，越大，也也越大，且（越大，且（）為銳角，則）為銳角，則sin （）隨（隨（）增大而增大，故得）增大而增大，故得sin （）最大時，最大時，最大，最大，由于由于為恒量，則為恒量，則越大，則越大，則由（由（3）式可見，當）式可見，當sin （）1時，時，sin （）有最大值為有最大值為1/2，此時對應的，此時對應的值為值為 45，由此得，由此得 ， 45于是于是cdb是等腰直角三角形，則有是等腰直角三角形，則有16mnabcd22maxbdbc

14、vv所以，所以，)/(2222maxsmvv17方法方法7：極值法（利用一元二次函數(shù)判別式）：極值法（利用一元二次函數(shù)判別式）如圖，設船出發(fā)后經(jīng)時間如圖，設船出發(fā)后經(jīng)時間t被人追上被人追上.則船的位移為則船的位移為s=vt，又設人在岸上走，又設人在岸上走用時為用時為kt（0k1)，位移為，位移為s1=kv1t,人在湖中游用時為人在湖中游用時為(1k)t（0k1)，位移為位移為s2=(1-k)v2t.那么，據(jù)余弦定理有：那么，據(jù)余弦定理有：cos2121222sssss把把s、s1、s2的表達式及的表達式及v1、v2的值代入并整理可得的值代入并整理可得15cos816)1 (4222kvvkk又

15、又2213432230cos115cos于是有于是有0)4(8)26(21222vkvknmasbs1s2d180)4(8)26(21222vkvk要這方程有實數(shù)解，其判別式要這方程有實數(shù)解，其判別式應滿足：應滿足：0)4(488)26(222vv由此可解得：由此可解得：22v或或) 13(22v由本題的物理情景可知只能取：由本題的物理情景可知只能取：)/(22maxsmv19方法方法8：極值法（利用一元二次函數(shù)判別式）：極值法（利用一元二次函數(shù)判別式）如圖，設人在岸上如圖，設人在岸上d處入水追船，運處入水追船，運動方向與湖岸成動方向與湖岸成角角,并在并在b點處追上點處追上船，這人由船，這人由

16、adb用時為用時為t .則則sincot21vdvdlt) 1 ()sincossin1(121dvvvl上式表明：上式表明：t與與有關，且在有關，且在d、l、v1、v2一定時，由一定時，由決決定定,研究函數(shù)研究函數(shù))2(sincossin112vvyddmnabl20sincossin112vvy兩邊平方得：兩邊平方得：2222122221212sincoscos2vvvvvvy)3()cos1 (coscos2222212222121vvvvvv整理后得：整理后得：0)1 (cos2cos)(222212122222212vyvvvvvvy此方程有實數(shù)解的條件是：判別式此方程有實數(shù)解的條件是：判別式0，即有，即有210)1 ()(442222122222122221vyvvvvyvv由此解得：由此解得：222122212vvvvy所以所以)4(222122212minvvvvy由（由（3）