1、易拉罐形狀和尺寸的最優設計方案摘要：本文討論的是在體積一定的情況下，滿足成本最低即用料最省的易拉罐形狀和尺寸的最優設計方案。問題一，我們對十種常見飲料的易拉罐的罐體直徑、圓臺直徑、罐體高度等八項指標進行了實際測量，得到了比較精確的數據。問題二，將易拉罐分為各處壁厚相同、壁厚不同以及兼顧不同壁厚與焊接長度三種情形；分別建立了以易拉罐表面積、材料體積以及材料體積和焊縫長度為目標函數，容積一定為約束條件的非線性規劃模型。通過理論推導(拉格朗日乘數法)求得與關系的解析解分別為、，并用實測數據進行驗證，實測數據與理論結果吻合效果較好。問題三，類似于問題二，我們也分上述三種情形分別建立非線性規劃模型，再用

2、拉格朗日乘數法求得解析解之后，用matlab 6.5編程求得結果，并用配對樣本檢驗，說明實測數據與理論結果基本相符。問題四，在問題三的基礎上，我們引入黃金分割點，綜合考慮壓強、環保，同時兼顧材料最省，設計了一種兼顧各種優點的新型易拉罐，各項指標見正文表6。問題五，根據數學建模的經歷闡述了數學建模的含義、關鍵之處和難點。本文對易拉罐形狀和尺寸的最優設計綜合考慮了多方面的影響因素，并巧妙應用拉格朗日乘數法求出了最優解析解，具有較強的實用性和推廣性。關鍵詞：非線性規劃、拉格朗日乘數法、配對樣本檢驗一、問題重述我們只要稍加留意就會發現銷量很大的飲料的飲料罐的形狀和尺寸幾乎相同?？磥?，這并非偶然，而應該

3、是某種意義下的最優設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優設計可以節省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節約的錢就很可觀了。1.取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量驗證模型所需要的數據，并把數據列表加以說明；解答以下各問。2. 設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸。3.設易拉罐的中心縱斷面的上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4.利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的

4、關于易拉罐形狀和尺寸的最優設計。5.用你們做本題以及以前學習和實踐數學建模的親身體驗，寫一篇短文闡述什么是數學建模及其關鍵步驟以及難點。二、模型假設1各種易拉罐的上面的拉環生產成本固定，不受易拉罐形狀和尺寸的影響；2易拉罐的容積是一定的；3. 易拉罐所有材料的密度都相同，材料的價格與其體積成正比；4易拉罐圓臺部分頂蓋到側面間的坡度為0.31。三、符號說明：規劃的目標函數；：易拉罐的表面積；：易拉罐的體積；：正圓柱體形易拉罐底面的半徑；：圓臺上表面的半徑；：圓臺下表面的半徑；：易拉罐側面的高度；：易拉罐上頂的厚度；：易拉罐圓臺部的厚度；：易拉罐側面的厚度；：易拉罐底面的厚度；：圓臺的母線長度；：

5、易拉罐焊縫的長度；：易拉罐所材料量；：為各部分的系數；：為各部分的系數；：為各部分的系數；：易拉罐的各種壓強；：易拉罐底的弧面面積；：易拉罐底的搭接角；：圓臺的高；：易拉罐的美觀度；：易拉罐底面的圓弧角四、模型分析問題一：可以借助物理儀器，如游標卡尺、螺旋測微儀測量易拉罐的高度、直徑、頂面、底面、圓臺側面、圓柱側面的厚度問題二： 對于一個體積給定的正圓柱體，最優設計應該考慮材料最省，可以分為易拉罐各點罐壁厚度相同和各點罐壁厚度不同這兩種情況。因此，最優設計可以通過建立以用料最省、焊縫最短為目標函數，以體積一定為約束條件的規劃模型予以解決。具體地可以按以下步驟求解其最優設計：首先，考慮最簡單的情

6、況：易拉罐各點罐壁厚度相同。將表面積的大小作為目標函數，建立非線性規劃模型一，求解該正圓柱體的表面積最小時所對應的尺寸（半徑和高的比值）；然后，考慮易拉罐各點罐壁厚度不同。以用料最少作為目標函數，建立模型二，通過拉格朗日乘數法求解易拉罐的最優尺寸；再進一步考慮易拉罐焊縫增加的工作量。我們將焊縫的長短也作為目標函數之一，在模型二的基礎上建立模型三，同樣通過拉格朗日乘數法求解最優尺寸；最后，為了驗證模型求解的結果是否準確，我們考慮把問題一所得的數據代入進行檢驗，看理論值與實際值是否吻合，把它作為衡量模型求解結果好壞以及實際值是否合理的標準。問題三：易拉罐的縱斷面上部是圓臺，下部是正圓柱體，對于這一

7、設計，同樣按照問題二的分析方法，逐步求解易拉罐的最優尺寸，依次建立模型四、五、六，同樣通過拉格朗日乘數法求解。為驗證求解結果是否正確，把實際數據代入模型進行檢驗。問題四：日常生活中，面對同樣的飲料，消費者更青睞于美觀大方、安全方便的產品。因此，在滿足用料最省的前提下，我們引入黃金分割和壓強，在兼顧二者的前提下建立優化模型。具體地，我們可以從以下幾個方面來考慮：（一）增加美觀度，引入黃金分割點來判斷，使得易拉罐的外形達到最優。（二）考慮壓強變化所引起的底面弧度變化，一方面使得用料最省，另一方面對于不同種類飲料，作出不同類的易拉罐設計。（三）考慮改變易拉罐的材料，例如可以使用紙質材料，使得更環保，

8、更安全。 最終作出新型易拉罐的設計圖。問題五： 根據學習和實踐數學建模的親身體驗，寫一篇短文闡述建模的含義，以及它的關鍵步驟和難點。五、模型建立1. 問題二：正圓柱形易拉罐尺寸的最優設計模型（1）易拉罐各點罐壁厚度相同的情形圖1 各點罐壁厚度相同的圓柱形易拉罐由圖1可知：易拉罐的容積為.易拉罐的表面積為因此，建立以表面積最小為目標函數，以體積一定作為約束條件的非線性規劃模型，即模型一：（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形易拉罐上、下底面，側面的厚度不同，導致用料量也不相同。根據材料的用量與其體積成正比，那么在容積一定時，所用材料的體積最小時的尺寸即易拉罐的最優尺寸。圖2 有不同罐壁厚度的圓柱形易拉

9、罐如圖2所示，做一個易拉罐所需要的材料為：應使取得最小值。由此可得，模型二： （3）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度4的情形在模型二的基礎上，考慮工作量（焊縫長度）的不同工作量有影響，因此，綜合考慮這兩方面因素，使得易拉罐的材料用量最省的同時，焊縫長度也盡量取到最小。根據模型分析，可得焊縫長度：將焊縫的長度為時的工作量轉化為同等的材料體積，從而可以將二者直接相加。由此可以得到模型三：此模型即為求解問題二的完善模型。2. 問題三：圓柱體加圓臺形易拉罐尺寸的最優設計模型（1）易拉罐各點罐壁厚度相同的情形此時，以易拉罐表面積的大小來衡量尺寸的優劣。圖3 各點罐壁厚度相同的含圓臺易拉罐由圖3，得圓臺

10、的上面、側面的面積為圓柱側面的面積為圓柱底面的面積為此時易拉罐的表面積為：由于圓臺的斜率為一定值0.31 ，因此得到 模型四:（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形圖4有不同罐壁厚度易拉罐的圓臺如圖4所示，易拉罐所需材料量為：由此可得模型五: （3）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度的情形綜合考慮兩方面因素，使得易拉罐用料最少時，焊縫長度也盡量取到最小。焊縫長度：由此可得模型六： 模型六為求解問題三的完善模型。3問題四：自己設計的易拉罐最優形狀和尺寸模型（1） 考慮美觀度的情形在模型六的基礎上引入美觀度來描述易拉罐的外形是否美觀，考慮易拉罐的直徑和高度之比趨向于黃金分割點，即：，取得最小值時即為最優

11、解。由此可得模型七：（2）考慮壓強引起的底面弧度變化的情形目前市售的易拉罐不是正圓柱體，也不僅僅將頂部變為圓臺，而是上拱的底面,頂蓋實際上也不是平面的,略有上拱,這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐壓.所有這些都是物理、力學、工程或材料方面的要求,我們只做簡單討論。對于上拱的底面，是為了耐壓，從物理角度分析曲面下的壓強，若液體表面為曲面，則表面張力有拉平液面的趨勢，從而對液體產生附加壓強。附加壓強的方向由表面張力的方向確定，大小可以用液面內外的壓強差來表示3。圖5 易拉罐的底面示意圖對于下表面而言，受到的壓力包括三部分：第一部分是通過小液塊的邊線，作用在液塊上的向上的表

12、面張力；第二部分力是液體內氣體產生產生的作用于液塊底面向下的壓力；第三部分是液體本身向下的重力。設球形液面半徑為，單位長度液體表面的張力為（大小即為液體的表面張力系數），則小液塊邊線所具有的總張力向下分量為：用表示液體內外的壓強差，則小液塊所受的向上的張力為：這兩部分力方向相反，在平衡時大小相等，所以液體重力作用產生的壓強；易拉罐內部氣體壓強為一定值。因此，易拉罐下表面所受到的壓強為與此同時，底部的上拱必然會引起所用材料的增多圖6 易拉罐的底面積示意圖易拉罐的底面積為：此時所用材料量為：可得模型八： 六、模型求解1. 問題一的求解測量各種類易拉罐的高度、直徑、頂面、圓臺側面、圓柱側面、底面的厚

13、度的數據表1 10種355ml易拉罐飲料的相關測量數據項目數值種類罐體直徑(cm)圓臺口直徑(cm)罐體高度(cm)整罐高度(cm)頂蓋厚度(cm)側面厚度(cm)圓臺厚度(cm)罐底厚度(cm)可口可樂6.6164.55210.11612.1640.04710.01090.03186.616雪碧6.624.56210.08812.1920.04480.0110.03326.62天府百檸6.664.57410.10212.1820.04620.01130.03226.66百事可樂6.6184.55410.11412.1740.04660.01080.03266.618七喜勁檸6.6144.54

14、810.11212.1720.04620.01020.03166.614美年達6.6164.53610.11612.1620.0470.01080.0326.616醒目6.6464.5510.11412.1660.04730.01070.03186.646輕怡6.6284.55210.11812.1660.04680.01040.0326.628菠蘿啤酒6.624.54810.10812.1580.04820.01130.03226.62雪花啤酒6.6144.5510.1112.1660.04750.01070.03246.614表2 gbt 91062001中規定的罐體主要尺寸(單位：毫米)

15、5名稱符號公稱尺寸極限偏差250ml275ml300ml335ml500ml罐體高度h90.9398.95115.2122.22167.840.38罐體外徑d166.04縮頸內徑d257.400.25翻邊寬度b2.220.252. 問題二的求解（1）易拉罐各點罐壁厚度相同的情形根據模型一可知：函數取最小值時，必定有，即 ， 然后利用編程，可得圖7 體積一定時隨變化的曲線即易拉罐的高度為半徑的二倍（等邊圓柱形）時，所需材料最少。（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形根據模型二，用拉格朗日乘數法求解。首先生成新的函數，然后分別對，求偏導，并令其為0，解得：即圓柱體的高與半徑之比為6時為最優尺寸。由（1）

16、、（2）可知，根據問題一中測得的實際數據可以得到：表3 檢驗數據表罐體高度（cm）罐體直徑(cm)雪碧10.1166.6161.529 可口可樂10.0886.621.524 天府百檸10.1026.661.517 百事可樂10.1146.6181.528 七喜勁檸10.1126.6141.529 美年達10.1166.6161.529 醒目10.1146.6461.522 輕怡10.1186.6281.527 菠蘿啤酒10.1086.621.527 雪花啤酒10.116.6141.529 由表3可知：所有均在此范圍內，在1與3之間必有一個最優值符合實際條件，從結果可以大致得出此最優值應該在1

17、.5附近。因此，實際值是合理的，而的比例關系式也符合實際情況。（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度的情形對模型三用拉格朗日乘數法按照（2）的求解步驟求解。解得：即，此時的，關系即為最優設計尺寸。3問題三的求解(1) 易拉罐各點罐壁厚度相同的情形根據模型四，通過編程求解，得到要使得表面積最小，只有，即 即圓柱體沒有頂部的圓臺，這顯然與已知不符，因此，我們考慮用易拉罐所用材料最少為目標函數來求解。（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形根據模型五，用拉格朗日乘數法求解步驟求解，首先求偏導數，然后令偏導數為0解最小值得到：解之可得：化簡可得：從而可求得，四者之間的關系：令，代入表1的數值，結果見表4表4

18、 與數據表（cm）(cm)雪碧2.2763.3080.04070.0413可口可樂2.2813.310.04080.0403天府百檸2.2873.330.04090.0414百事可樂2.2773.3090.04080.0412七喜勁檸2.2743.3070.04070.0419美年達2.2683.3080.04060.0411醒目2.2753.3070.04070.0414輕怡2.2763.3140.04070.0409菠蘿啤酒2.2743.310.04070.041雪花啤酒2.2753.3230.04070.0403對表4中、進行配對樣本檢驗2，結果如下：由結果可知，結果的差異性不顯著，說明

19、理論值與實際值相吻合。因此，即，四者之間的關系滿足上述表達式時，易拉罐的尺寸最優。（2） 易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度的情形對模型六同樣用拉格朗日乘數法得：此時解得：其余處理方法與（2）相同，同樣可得關系表達式是易拉罐的尺寸最優的表達式：化簡可得：因此，當，之間的關系滿足上述表達式時，易拉罐的尺寸最優。4問題四的求解（1）考慮美觀度的情形對模型七用拉格朗日乘數法得：即得到，的關系式，此時著重考慮接近于0.618，使易拉罐具有最大的美感，可以求出易拉罐的最優尺寸。（2）考慮壓強引起的底面弧度變化的情形模型八用拉格朗日乘數法理論上可算出給定壓強下的，之間的關系式。根據模型解出新的搭接角度為4

20、5，而市售的罐底的搭接角度為7790。事實上，比較小的搭接角度能將來自罐內碳酸飲料的氣壓分流掉大部分。對軟飲料來說，罐內最大氣壓可達90磅/平方英寸，分流的氣壓，由罐底邊緣承擔，罐底邊緣是整個罐強度最大的部位，由5層金屬粘結而成。由于搭接角度小，所以生產超級底的圓合金片下料面積比原來減少7%。另外，由于這種結構強度高，因此底的厚度可以從0.0085英寸減薄到0.0082英寸，這又可以節省約3%的用料。（3）考慮環保的情形表5 鋁易拉罐和紙易拉罐比較表鋁易拉罐紙易拉罐投資生產線資金1700萬200萬最小生產批量2000萬2萬原材料需進口稻,麥草紙漿能耗高能耗,國家已禁止發展工藝簡單,低能耗,環保

21、成本約1元/只約0.30.4元/只外觀外觀精美外觀同樣精美由表5可知，紙易拉罐由紙漿高壓壓鑄成形，造型美觀同鋁易拉罐，不污染環境，是國際推廣的最優綠色包裝，它使用安全衛生，生產工藝簡單，投資少，尤其是成本低的特點最突出，這樣我們可以考慮使用紙作為易拉罐的材料推廣使用。最終，我們得到新型易拉罐的設計圖如下：圖8 新型易拉罐剖面示意圖圖9 新型易拉罐的立體圖既考慮美觀又兼顧消費者的滿意度，我們設計中部凹陷，可防滑，令，考慮節約材料，則利用模型八，求出不同體積下易拉罐的最優尺寸，具體數值如下表：表6 各種體積下的最優尺寸項目數值種類(cm)(cm)(cm)(cm)(cm)180ml1.7552.84

22、2.684.340.325545250ml1.963.172.994.8450.36345275ml2.0223.27253.0950.375245300ml2.083.373.185.150.38745335ml2.163.53.35.340.40245345ml2.183.533.345.40.40545355ml2.23.573.375.450.445500ml2.4743.786.110.45945以上數據可作為實際設計的參考。5問題五數學建模 魅力無限在科學領域中,數學憑借其難以抗拒的魅力成為研究者交流中使用最廣泛的語言。我國著名數學家華羅庚曾說過：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工

23、之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無處不用數學。當今世界,電子技術研究成果在實際生產中的不斷普及,數學建模作為一條將數學與實際聯系起來的紐帶也隨之應運而生。流年似水,經過一年的學習我們認識到：數學模型,就是用數學語言模擬現實,即把事物所在的系統的主要特征、主要關系，用數學語言概括地、近似地表達成一種數學框架，它是對客觀事物的空間形式和數量關系的反映或近似反映。而所謂的數學建模就是構造數學模型的過程,即用數學語言公式、符號、圖表等刻畫和描述實際問題,再經過一系列的數學處理得到定量或定性的結果,以供人們作分析、預報、決策和控制。實際生活中問題往往涉及眾多因素，其中的數學奧妙不是擺在那里等著去解決

24、，而是蘊涵于暗處等著去分析。因此，首先應結合實際作出合理化的假設，簡化、提煉問題，然后用數學工具、方法建立數學模型，這是解決問題的關鍵，也是難點，而在數學模型的基礎上，通常還要處理大量的數據才能解決模型問題，如何處理數據也是問題求解的難點。此時，計算機編程起到了重要作用，為解決實際問題開辟了廣闊的道路。然而，求解出模型并非就萬事大吉了，因為數學模型只能近似地刻畫和描述實際問題，所以模型是否貼近實際這就需要接受檢驗。否則，數學模型的建立與解答即使再正確也只能是空中樓閣而毫無實際意義。恰似本文問題二的求解，在不同優化標準下的設計方案是豐富多彩的。親身實踐啟示我們，只要多觀察身邊的事物，奇思妙想，就

25、會發現各行各業和數學都保持著千絲萬縷的聯系。數學建模的精神一直在流淌，并且源遠流長，淵遠不息，滋潤著一代又一代學子。數學并不是和枯燥無味的文字符號打交道的抽象演繹體系，相反，它憑借著應用的廣泛性以及對思維的挑戰性而蘊藏著無限的魅力，等待著我們用自己的智慧去發現、去挖掘、去創造。七、模型評價與推廣1. 模型的評價本文我們逐步分析了表面積大小、用料多少、焊縫長短、是否美觀等因素，綜合考慮建立模型，因而模型具有較強的實用性。在模型求解上，利用拉格朗日乘數法，用編程巧妙地求出函數的最優解，并利用已測量的數據對模型結果進行配對樣本檢驗，從而驗證了實際值的合理性和模型的準確性。在此基礎上，我們又分析了底面

26、對液體產生的附加壓強以及易拉罐材料的種類，進一步對模型進行優化，并給出了不同體積易拉罐的最優設計尺寸，可供易拉罐生產商參考。不足之處在于考慮的因素太多，使得求解模型時的計算復雜，耗費時間。2. 模型的推廣 本文所設計的易拉罐也可以應用于其它罐裝食物，還可以推廣到其他類似行業，例如：酒業中酒瓶的設計、日用品盛裝容器的設計、食品包裝的設計等等。參考文獻1 可口可樂罐頭為什么是這種樣子2李志輝 羅平，配對樣本檢驗，spss for windows統計分析教程（第2版），2001年10月3胡新珉，液體的表面現象，醫學物理學第六版，2004年4周文國，易拉罐的設計方案，中學數學教學，2002年第1期5中國國家行業標準 gb/t9106-2001，包裝容器