1、會計學1電動力學電動力學2矢勢及其微分方程矢勢及其微分方程磁標勢磁標勢磁多極矩磁多極矩AharonovBohm阿哈羅諾夫阿哈羅諾夫玻姆效應玻姆效應超導體的電磁性質超導體的電磁性質矢勢矢勢核磁共振原理核磁共振原理矢勢邊值關系矢勢邊值關系矢微分方程矢微分方程小區域內電流分布在外磁場中的能量與受力小區域內電流分布在外磁場中的能量與受力第1頁/共34頁3在靜電場中引入了電勢，使得電場的矢量問題變成標勢的運算在靜電場中引入了電勢，使得電場的矢量問題變成標勢的運算在靜磁場中，也希望找到一種勢，使復雜的矢量問題簡單化在靜磁場中，也希望找到一種勢，使復雜的矢量問題簡單化在經典物理中，用靜電場強度、磁場強度原則

2、上可以描述電磁場在經典物理中，用靜電場強度、磁場強度原則上可以描述電磁場但是在試驗中發現，但是在試驗中發現，E和和B不能描述電磁場中的所有效應不能描述電磁場中的所有效應矢勢矢勢恒定恒定電流電流激發激發靜磁場靜磁場傳導傳導電流電流電電流流磁磁場場物物質質磁磁化化磁化磁化電流電流附加附加磁場磁場第2頁/共34頁4任何磁場的性質由基本方程描述任何磁場的性質由基本方程描述HB J 0是自由電流密度是自由電流密度E 0DJ靜電場：有源無旋場靜電場：有源無旋場電場線電場線正電荷正電荷負電荷負電荷永不閉合永不閉合靜磁場：無源有旋場靜磁場：無源有旋場磁力線總是閉合曲線磁力線總是閉合曲線由于由于B 0可以表示成

3、另一矢量的旋度可以表示成另一矢量的旋度B A使得使得 B A 00 EE E0第3頁/共34頁5A稱為磁場的矢勢稱為磁場的矢勢BASSdSdSALdl矢勢矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環量，的物理意義是它沿任一閉合回路的環量，代表通過以該回路為界的任意一曲面的磁通量代表通過以該回路為界的任意一曲面的磁通量。只有只有A的環量才有物理意義，而每點上的的環量才有物理意義，而每點上的 A(x) 值沒有直接的物理意義。值沒有直接的物理意義。A確定確定B不唯一不唯一ABA)(AAAB0 A附加的條件稱為規范條件附加的條件稱為規范條件第4頁/共34頁6矢勢微分方程矢勢微分方程HBABJH JA)(ff

4、f2)()(AAA2)()(規范條件規范條件0 AJA)(AAA2)()(JA2或者或者iiJA23, 2, 1i/2rdVxJxA) (4)(第5頁/共34頁7ABrdVxJ) (44) ()1(xJr) (1xJrdV) ()1(4dVxJr34rrJdV43dVrJBrJdVIdl34rIdlBr畢奧薩伐定律畢奧薩伐定律給定空間電流分布給定空間電流分布J，可以計算出磁場大小，可以計算出磁場大小討論電流與磁場的相互制約關系，需要解相應的邊值關系討論電流與磁場的相互制約關系，需要解相應的邊值關系第6頁/共34頁8矢勢邊值關系矢勢邊值關系根據麥克斯韋方程根據麥克斯韋方程0 BJH得到兩個磁介質

5、分界面得到兩個磁介質分界面上磁場滿足的邊值關系上磁場滿足的邊值關系0)(21BBnaHHn)(12轉換成磁矢勢轉換成磁矢勢A 的邊值關系的邊值關系0)(21AAnaAAn)1121(121A2A12ln0ndlAlAAtt)(12dlAdSB00)(12lAAttttAA12第7頁/共34頁9JdVA21由于給定了規范條件由于給定了規范條件0 A應用到邊界得到法向分量的邊值關系應用到邊界得到法向分量的邊值關系nnAA1212AA 在兩個介質分界面上，矢勢是連續的在兩個介質分界面上，矢勢是連續的靜磁場的能量靜磁場的能量DEw(21)HB HBW21dVABHB)(AH)(HA)(HA)(HAJA

6、gfgfgf)(dVJAHAW)(21?第8頁/共34頁10電流電流J激激發發磁矢勢磁矢勢A外磁矢勢外磁矢勢Ae激激發發外電流外電流Je總電流總電流eJJ 總磁矢勢總磁矢勢eAA dVAAJJWee21dVAJAJWWWWeeJeJi)(21rdVxJA) (4rdVxJAee) (4dVAJWei第9頁/共34頁11磁標勢磁標勢由于矢勢由于矢勢A是矢量，解是矢量，解A的邊值問題比較復雜的邊值問題比較復雜環路定律環路定律H dlLJ dSSLJ 0dlHLLJ 0dlHLS1L2L在某區域能夠引入磁標勢的條件是該區域內的任何回路都不被電流所連環在某區域能夠引入磁標勢的條件是該區域內的任何回路都

7、不被電流所連環不僅要除去電流通過的線圈，還要去掉線圈圍成的殼層不僅要除去電流通過的線圈，還要去掉線圈圍成的殼層S第10頁/共34頁12實際上就是要使區域內滿足實際上就是要使區域內滿足J0H0B0BH)(0MH )(HfHM與電場中極化強度類似，將分子電流看作由假想的磁荷組成的磁偶極子，與電場中極化強度類似，將分子電流看作由假想的磁荷組成的磁偶極子，物質磁化后出現假想的磁荷分布物質磁化后出現假想的磁荷分布PPMm0在在J0的區域內，的區域內，H所滿足的微分方程寫為所滿足的微分方程寫為H0/mH00/pfE0EPPPED0EMm0MHB00mH02/mm02/)(Pf第11頁/共34頁13對于均勻

8、磁介質（非鐵磁質）對于均勻磁介質（非鐵磁質）0m02/mm02m在分區均勻的界面上則出現磁荷面密度在分區均勻的界面上則出現磁荷面密度靜磁標勢的邊值關系靜磁標勢的邊值關系 21mm2211nnmmSmmnn12SnnMM|12Sm0例題例題1：無限長直導線上的電流為：無限長直導線上的電流為I，求磁場的矢勢和磁感應強度求磁場的矢勢和磁感應強度dzIPRzr解：電流元解：電流元dz到到P點的距離為點的距離為22zRrrJdVA4IdlJdVrIdz4第12頁/共34頁14rIdzA4224RzdzIAz)ln(422RzzIMMMzzRzzRzzIRARA202220ln4lim)()(0ln2)(

9、RRIRAzzeRRIA0ln2AB)ln2(0zeRRIzeRRI)ln2(0zReeRI2eRI2第13頁/共34頁15例題例題2：無限長直導線上的電流為：無限長直導線上的電流為I，用靜磁勢求所產生的磁場，用靜磁勢求所產生的磁場rRo rCIdlPRdlIrBC4)(14dSRnIS1) (4dSRrnIS1) (4dSRrnISgfgffgfggf)(1) (1) (42dSRrnRrnIS1) (4dSRrnIS1) ) (4dSRrnIS141dSRmsSm) (rInms第14頁/共34頁16HrBm)(mH141dSRPSP141dSRmsSm)(rInms磁偶極面密度、磁偶極面

10、密度、S為磁殼為磁殼) (dSrnIdSmmssS2dlrIC閉合線圈的磁偶極矩僅與閉合線圈的磁偶極矩僅與C有關，與所取的有關，與所取的S沒有關系沒有關系ISnm 平面電流平面電流) (21dVrJrmV體電流體電流第15頁/共34頁1743dSRRnIScos42dSRISdIS44ISIrRo rdPC141dSRmsSm4Im回到本問題，將電流所在的回到本問題，將電流所在的z軸和其余任意半軸和其余任意半軸如軸如x的負半軸半無限大平面作為磁殼的負半軸半無限大平面作為磁殼PeInyxr22ImerIBm2第16頁/共34頁18休息啦！休息啦！第17頁/共34頁19例題例題3：證明：證明 的磁

11、性物質表面為等磁勢面的磁性物質表面為等磁勢面磁場邊界條件為磁場邊界條件為0)(12BBn0)(12HHn1：磁性物質：磁性物質2：真空：真空11HB202HBnnHH120ttHH12ttntHHHH210220tnHH22即在磁性物質的外面上，即在磁性物質的外面上，H2與外表面垂直與外表面垂直第18頁/共34頁20例題例題4：求磁化矢量為：求磁化矢量為M0的均勻磁化鐵球產生的磁場的均勻磁化鐵球產生的磁場解解:在鐵球內由于均勻磁化在鐵球內由于均勻磁化0M0R120MM 000Mm012m022m鐵球表面的邊界條件鐵球表面的邊界條件0021RRRRnBnB0021RRRRRBRBRRBB2100

12、21RRRRHH21HHmm21第19頁/共34頁21根據拉普拉斯方程用分離變量法在球坐標系中、且鐵球是對稱的、解根據拉普拉斯方程用分離變量法在球坐標系中、且鐵球是對稱的、解與方位角沒有關系的通解表示為與方位角沒有關系的通解表示為)(cos11nnnnnnmPRbRa在真空中)(cos1nnnnPRbm2在鐵球中)(cosnnnnPRa利用邊界條件確定系數利用邊界條件確定系數RHBmRR10101)(cos) 1(20nnnnPRbn)(202RRRMHBcos0020MRcos)(cos0010MPRnannnnRRMH020第20頁/共34頁22由由00|21RRRRRRBBnnnnPRb

13、n)(cos) 1(20cos)(cos010MPRnannnn)(cos)(cos1010PMPRnannnn由由0021RRmRRm)(cos10nnnnPRb)(cos0nnnnPRa00|21RRnRRmmMRR0131Ma 300131RMb 1, 0nbann23001cos3RRMm30303RRRM cos3102RMmRM 031比較各階比較各階Pn的系數的系數第21頁/共34頁23討論：討論：303013RRmRM 鐵球外的磁場是磁偶極子產生的場，磁矩為鐵球外的磁場是磁偶極子產生的場，磁矩為M3430RmVMRM 0231m2H鐵球內鐵球內031M)(00MHB0032M鐵

14、球內外的鐵球內外的B和和H不同，不同，B線總是閉合線總是閉合H線不閉合，從正磁荷出發止于負磁荷線不閉合，從正磁荷出發止于負磁荷鐵球內部，鐵球內部，B和和H反向。反向。B是鐵球內的宏觀磁場，是鐵球內的宏觀磁場，H為輔助場量為輔助場量第22頁/共34頁24磁勢的多極展開磁勢的多極展開磁場中的勢磁場中的勢矢勢矢勢標勢標勢VyxzOjdVr),(zyxP r rr如果電流分布在一個小區域內，在遠如果電流分布在一個小區域內，在遠處處P點觀察到的磁場，就可以用多極展點觀察到的磁場，就可以用多極展開來分析開來分析電流系統體積的線度為電流系統體積的線度為l，觀察，觀察距離距離rl，原點在電流系統內部，原點在電

15、流系統內部，從而從而rr) (4rrdVrJAV222zyxr222zyxr第23頁/共34頁25在在r0處展開。首先將處展開。首先將1/|r-r|在原點作泰勒展開在原點作泰勒展開rxxriii11131rr rxxxxjijjii1! 21231, 1 31rrrr) (4rrdVrJAV) (140dVJrVrVdVrJrrr) () (430 為磁矢勢的多極展開為磁矢勢的多極展開 )2() 1 ()0(AAA)0(A) 1 (A)2(A 磁零極產生的勢磁零極產生的勢磁偶極產生的勢磁偶極產生的勢磁四極產生的勢磁四極產生的勢第24頁/共34頁26由于求某區域的電流分布在遠處產生的磁場由于求某

16、區域的電流分布在遠處產生的磁場實際上在場點實際上在場點P所在區域沒有電流分布，所在區域沒有電流分布，J0H滿足微分方程滿足微分方程mH02/mm0/mH 0H即磁標勢與真空中的靜電勢相當即磁標勢與真空中的靜電勢相當從而可以用電多極展開方法表示磁標勢從而可以用電多極展開方法表示磁標勢rqmm41rxmii1ijjiijrxxM1!212 rxxxxxxMnsjinsjsjiisijn1!1, )2() 1 ()0(mmm) (10dVrqmm) (10dVxrmimi) (10dVxxrMjimij磁零極矩磁零極矩磁偶極矩磁偶極矩磁四極矩磁四極矩第25頁/共34頁27 VVdVrJrrrdVrJ

17、rA) () (4) (14300 ) 2() 1 () 0(AAArqmm41rxmii1 ijjiijrxxM1! 212 )2() 1 ()0(mmm1、磁零極的矢勢與標勢、磁零極的矢勢與標勢) (40)0(dVrJrAVieixiiJJxJie)(JxxJJxiii)( iiJxJ)(dVxJdVJViiV)( dVJxVidSJxSi00)0(A第26頁/共34頁28MmJmJMmmM0VmmdVrq) (10VmdVr) (MSmdSnM00| SmM0)0(m磁單極或者說獨立磁荷或自由磁荷不存在，磁單極或者說獨立磁荷或自由磁荷不存在，這是經典電動力學的結論，若那一天找到了磁單極，

18、電磁理論就得修改。這是經典電動力學的結論，若那一天找到了磁單極，電磁理論就得修改。矢勢的多極展開為矢勢的多極展開為 VdVrJrrrA) () (430) ()( rrrrrrJJJ) ()( dVJdVJVVrrrr21) (JdVJdVVVrrrr2、磁偶極矩的矢勢與標勢、磁偶極矩的矢勢與標勢0| SJ第27頁/共34頁29VdVrJr) (21m電流體系的磁偶極矩電流體系的磁偶極矩304 rArm磁四極矩產生的勢、磁四極矩產生的勢、 VdVrJrrA) (21430r對應到標勢對應到標勢mJMmmM0VmdVrr) (10mVmdVrMr) (VmdVrM) ()() (dVrMrdVrJrVmVm2) (2dVrMVmVimidVxr) (10m第28頁/共34頁30VdVrJr) (21mrm141)1(m) 1 (0) 1 (mmB304rrm) 1 () 1 (ABA304rrm330)()(4rrrmmr0R0123rrr30)1()(4rBArm333)()()(rmrrrrmrm3)(rrm) 1 (0) 1 (mmB304rrmmArB030)1(4rm341rmrm磁偶極子的磁標勢磁偶極子的磁標勢第29頁/共34頁31描述磁偶極子在遠處產生的場，既可以用矢勢，也可以用標勢描述磁偶極子在遠處產