1、 微積分學同步輔導A類題解答 第35頁習題4解答（編寫：金建華）1、填空題：（1）= 。解 （用到，據臺勞公式）；（2）函數在 是單調減少。解 ，填0，2或（0，2）；（3）曲線的拐點坐標是 。解 ， ，顯然在兩側變號，故所求點（4）曲線在區間 是凹的（即向上凹）。解 ，為所求（5）函數的極大值是 。解 在兩側變號，左正右負，為極大值點，極大值為。（6）函數的n階麥克勞林多項式是 。解 在的Taylor多項式由的展式來寫：（7）曲線的斜漸近方程為 。解 ，故所求為。（8）拋物線在其頂點處的曲率為 。解 ，頂點處，。（9）= 。解 . （注，用更好：此時，分子=.）（10）若（n為正整數），則當

2、n為奇數時，在=處 ，當n為偶數時，在處 。解 條件分式最終為正（極限的保號性）。于是偶時，極小；奇時，與同號.非極值.（11）曲線的拐點為 ，且該曲線在區間 上凹，在區間 下凹。解 ，令，得。當時，曲線為凸的；當時，曲線為凹的；拐點為（12）若在上二階可導，且，又知在（0，）內取得極大值，則必有 。解 設在點極大，則，于是， ，于是 2選擇題（1） 函數和，在區間上滿足柯西定理的等于（ ）（A） （B）1 （C） （D）解 （A）（2） 羅爾定理中的三個條件：在上連續，在內可導，且是在內至少存在一點，使得成立的（ ）。（A）必要條件 （B）充分條件 （C）充要條件 （D）既非充分也非必要條件

3、。解 充分條件（B）（3）下列函數中在上滿足拉格朗定理條件的是（ ）（A） （B） (C) (D)。 解 在滿足（B）(4) 設為未定型，則存在是也存在的（ ）（A）必要條件 （B）充要條件 （C）充分條件 （D）既非充分也非必要條解 充分（C） （5）若在區間函數的，則在內是（ ）（A）單調減少，曲線上凹 （B）單調減少，曲線下凹（C）單調增加，曲線上凹 （D）單調增加，曲線下凹解 對應單增，對應上凸，于是（D）形為右圖。 （6）設在（0，+）內可導，且，若，則在（）內有（ ）（A） （B）（C）單調趨向于+ （D）的符號不能確定解 注意在處，函數可能不連續，選（D）. 反例形為右圖。（7）

4、設=1，則在處（ ）（A）的導數存在，且 （B）的導數不存在（C）取得極小值 （D）取得極大值 解 極小值，同1（10），選（C）（8）函數有（ ）（A） 一個極大值和一個極小值 （B）兩個極大值（C）兩個極小值 （D） 一個極小值，無極大值 解 ， 一個極小值（D）圖形如右 （9）設在（-）上嚴格單調減少，在處有極值，則（ ）（A）在處有極小值（B）在處有極大值（C）在處有最小值（D）在處既無極大值，也無最小值解 ，故為極小值.（A） （10）曲線（ ）（A）有一個拐點 （B）有兩個拐點（C）有三個拐點 （D）無拐點解 ， 它在兩側變號，但為無定義點，故無拐點（D）（11）設在閉區間上連續，

5、在開區間（-1，1）上可導，且，則必有（ ） （A） （B） （C） （D）解 選（C）（12）若，則、的大小關系為（ ）（A）（B）（C）（D） 解 ，故選（C） （13）設有二階連續導數，且=1，則（ ）（A）（B）（C）（D）解 與同號，故推出.結合，選（B） （14）曲線的漸近線有（ ）（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條解 時，故得一條垂直漸近線；時，非垂直漸近線，類似也不是，再時，得水平漸近線。選（B）（15）設函數（ ） （A） （B）（C）或不存在 （D）不存在解 選（C）這是兩種情形：3求下列極限：（1） （2）（3） （4）解：使用洛必達法則要結合等式變形或等價變

6、形等化簡手段。 （1）令 ，（分子化簡用到：，下題也是）（2）（3）令 ，化簡到分式后使用洛必達法則= （4）令 ，化簡后使用洛必達法則 = 4已知在處有三階導數，且，求極限.解一：由在處Taylor公式，得：，于是 ；解二：由洛必達法則也可以。注意型條件的檢驗。（注：最后一步極限只可使用導數定義，決不可以用洛必達！因為三階導函數可以不存在）5證明下列不等式（1）當時， 解：設，原不等式 在(0,1)內單調減，且 在(0,1)內單調減，又由，故在(0,1)內 （2）當時， 解：作函數 =，因為的唯一駐點，且當時，當時時，故是的極大值，也是最大值 ， 則，因即得. （3）當時， 解：令， 因當時

7、，故，從而 . （4）比較和的大小 解：因，故問題在于比較與之大小， 令 則令 ，即得.6求下列函數的極值： （1） 解：= 0 在處取得極小值，且 ，在處取得極大值，且 （2） 解：=. ，在處取得極小值，且極小值為 ，在處取得極大值，且極大值為 （3） 解： 在處連續，從而在內處處連續. 在處，不可導，令0不存在極大值0極小值 由上面的表可知，的極大值為，極小值為.7已知有兩個極值點，求的極大值與極小值. 解： 由 從中解得 即得 ， 在處取得極大值，且 在處取得極小值，且.8求在內最大值和最小值. 解：=. ， 在內最大值為，最小值為0.9求下列曲線的漸近線：（1） 解：為垂直漸近線.

8、為水平漸近線. （2） 解： 為垂直漸近線，為水平漸近線.10研究方程實根的個數. 解：令，則=0極小值 （1）若，則在內方程無根，在內方程有一根. （2）若，則方程在與內各有一根.（3）若，則極小值，在內，在內，即方程只有一個實根. （4）若，則極小值，從而在內，方程無實根.11設滿足的實數，證明在開區間內至少有一個實根. 解：設 在內滿足Rolle定理條件： ，使得， 即在內有滿足 12設函數在閉區間上連續，在開區間內可微，試證存在，使得。證：首先由拉格朗日中值定理，得 使， 其次針對以及在上，由Cauchy中值定理知，存在使 兩式聯手即得。13設在上連續，在內可導，且.證明在內至少存在一點，使. 證：令，則在上滿足條件，則存在，使 即14設在上連續，在內可微，證明在內至少存在一點，使得. 證：令，將及在上應用柯西中值定理，則有 即 15設在上具有二階導數，且.證明存在一點，使. 解：設在處取得最小值，則，由臺勞公式 ， 當時 因 則有 ， 于是若時，；時，.由此可得.16由所圍成的曲邊三角形，在曲邊上求一點，使得過此點所作之切線與所圍成的三角形面積最大. 解：設過曲線上點處的切線方程為，將代入上式得 此切線與的交點縱坐標與橫坐標分別為，切線與所圍成的三角形的面積為于是 = 及（舍去）因為