1、第五章 一次函數函數（1）教學目標 1通過簡單實例，了解常量與變量的意義 2通過實例，了解函數的概念和表示方法，并能說出一些函數的實例 3能根據圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析 4能根據實際問題的意義以及函數關系式，確定函數的自變量取值范圍，并會求出函數值教學過程(第一課時) 1情境創設 情境一： 在行駛的列車上，圍繞位置變化與數量變化的話題，談論車速、路程、時間的變化，是學生熟悉的場景，能自然貼切地引入常量與變量的概念。如果學生沒有乘坐火車的經歷，可改用汽車或創設其他類似情境 情境二： 分別用表格、關系式和語言等方式給出不同的實際問題，讓學生從這些情境中，發現在各種變化過程中，往往存在

2、著兩個相互聯系的變量，從而引入函數的概念 2探索活動 活動一： 展示一幅列車行駛或車廂內的圖片用下列問題引導學生加入小明、小麗、小亮和小華的討論，感受常量與變量的意義： (1)列車在行駛，位置在改變，因此與位置有關的數量在改變，這里有不變的數量嗎? (2)除了小麗、小明所說的那些不變的數量外，在這個問題中還有不變的數量嗎? (3)除了小亮、小華所說的那些變化的數量外，在這個問題中還有變化的數量嗎? 活動二： 可以用下列問題引導學生展開活動，體會函數的意義： (1)你從水庫工作人員制作的表格里獲得哪些信息?水位高低與水庫容量有什么關系? (2)小魚的條數n與所需火柴棒的根數S的關系為S86(n1

3、)，說說你從中獲得的信息； (3)變化中的圓面積與半徑的大小密切相關，你能大致描述它們之間的關系嗎? (4)上述問題有共同之處嗎?說說你的看法1 / 10函數教學目標 1通過簡單實例，了解常量與變量的意義 2通過實例，了解函數的概念和表示方法，并能說出一些函數的實例 3能根據圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析 4能根據實際問題的意義以及函數關系式，確定函數的自變量取值范圍，并會求出函數值教學過程(第一課時) 1情境創設 情境一： 在行駛的列車上，圍繞位置變化與數量變化的話題，談論車速、路程、時間的變化，是學生熟悉的場景，能自然貼切地引入常量與變量的概念。如果學生沒有乘坐火車的經歷，可改用汽

4、車或創設其他類似情境 情境二： 分別用表格、關系式和語言等方式給出不同的實際問題，讓學生從這些情境中，發現在各種變化過程中，往往存在著兩個相互聯系的變量，從而引入函數的概念 2探索活動 活動一： 展示一幅列車行駛或車廂內的圖片用下列問題引導學生加入小明、小麗、小亮和小華的討論，感受常量與變量的意義： (1)列車在行駛，位置在改變，因此與位置有關的數量在改變，這里有不變的數量嗎? (2)除了小麗、小明所說的那些不變的數量外，在這個問題中還有不變的數量嗎? (3)除了小亮、小華所說的那些變化的數量外，在這個問題中還有變化的數量嗎? 活動二： 可以用下列問題引導學生展開活動，體會函數的意義： (1)

5、你從水庫工作人員制作的表格里獲得哪些信息?水位高低與水庫容量有什么關系? (2)小魚的條數n與所需火柴棒的根數S的關系為S86(n1)，說說你從中獲得的信息； (3)變化中的圓面積與半徑的大小密切相關，你能大致描述它們之間的關系嗎? (4)上述問題有共同之處嗎?說說你的看法一次函數教學目標 1能用適當的表示法刻畫實際問題中的函數關系 2能結合具體情境理解一次函數和正比例函數的意義3能根據已知條件確定一次函數關系式 教學過程(第一課時) 1情境創設 通過研究加油收費和估計加油過程中油箱里的油量的問題，引入正比例函數和一次函數的表達形式 出示一份當地電信部門的宣傳材料，通過對電信收費問題的探索，再

6、次出現一次函數的表達形式，從而發現生活中存在一類可以表示為y=kx+b(k0)的函數 除上述情境外，教學時還可以根據學生的具體情況另設情境，也可以讓學生先回顧函數的概念，然后列舉函數的實例，引導學生將列舉出來的函數進行分類，歸納出一次函數 2探索活動 通過問題引導學生活動，例如： 問題1 (1)你見過汽車在加油站里的情境嗎?加油后，付多少款與什么有關?你會算嗎? (2)在加油過程中，流入油箱的油量與什么有關?你能隨時說出油箱中的油量嗎? (3)你會估算大約需要多少時間才能把油箱加滿嗎? 問題2 (1)你家有電話嗎?計算電話費與什么有關? (2)應交話費是通話時間的函數嗎?你能寫出這個函數關系式

7、嗎? (3)電話交費問題中的函數關系式與加油問題中的函數關系式的有共同之處嗎? (4)你還能說出一些具有這種特點的函數關系的實際例子嗎?一次函數（2）教學目標 1能用適當的表示法刻畫實際問題中的函數關系 2能結合具體情境理解一次函數和正比例函數的意義3能根據已知條件確定一次函數關系式 教學過程(第二課時) 情境創設 展示盤蚊香，讓學生測算蚊香的長度，然后根據說明書上的說明，告訴學生該盤蚊香可以連續使用多少時間，讓：學生算出該蚊香平均每小時縮短多長方面幫助學生理解例1題意，另一方面讓學生感受學生如何從現實生活問題中提煉數學問題 展示一根彈簧(如自行車上用的舊彈簧等)，讓一名學生用定的力量將它逐漸

8、拉伸，感受彈簧的長度隨著拉力的增大而增大、拉力消失彈簧即恢復原狀；讓另名學生持續用力拉伸彈簧，直至彈簧不能恢復原狀，感受彈簧的彈性范圍有一定的限度幫助學生理解例2題意 2例題教學 例1先分析問題中的變量及變量間的關系，將用語言描述的函數關系表示為一次函數，然后根據函數值，求與之對應的自變量的值 例2是一道與“章頭活動”相呼應、探索彈簧長度與力的大小關系的問題，是一次函數的一個物理模型要求通過實驗及記錄的數據確定一次函數的解析式，求解過程示范了待定系數法的應用一次函數的圖象教學目標 1知道一次函數的圖象是一條直線 2會選取兩個適當的點畫一次函數的圖象 3能根據一次函數的圖象和函數關系式，探索并理

9、解一次函數的性質 4進一步理解正比例函數與一次函數的關系 此外，通過畫函數圖象，培養學生的畫圖技能；通過由圖象揭示函數的性質的探索活動，培養學生觀察、比較、抽象和概括能力，培養學生用“數形結合”的思想方法解決數學問題的能力，培養學生的應用意識和創新意識教學過程(第一課時) 1情境創設 點燃一枝香，感受它的長度隨著燃燒時間的變化而變化，幫助學生理解課本圖片提供的信息，然后讓學生觀察課本上的圖片，探索一次函數的圖象 2探索活動 觀察圖片，按下列問題展開探索活動，例如： (1)圖中共有幾枝香? (2)圖片怎樣表示時間的變化?(時鐘指示；移動香的位置，如每隔5min移動1次) (3)這枝香點燃5min

10、后縮短了多少?10min呢?請將你的觀察結果填在書中的表格內 (4)用y(cm)表示香的長度、x(min)表示香燃燒的時間，你能寫出y與x之間的函數關系式嗎? (5)依次連接圖片中香的頂端，你有什么發現? (6)你能用平面直角坐標系，將圖片所揭示的信息及你的發現告訴大家嗎? 通過探索活動，幫助學生深入理解圖片隱含的豐富內容，引導學生學會用運動變化的觀點觀察分析靜態的圖片，讓靜態的圖片“動”起來例如，將同一枝香同時顯示在不同位置，表示隨著時間的流逝香的長度在縮短，直觀感受一次函數的圖象是一條直線，為學生最終通過創造性的思維活動，用平面直角坐標系將實際問題數學化作好鋪墊 3畫圖教學 一次函數的圖象

11、是什么?怎樣畫一次函數的圖象?課本通過一個具體的一次函數，講解畫函數圖象的基本方法：列表、描點、連線為讓學生理解這個重要畫圖方法的基本思想和操作過程，教學時要先讓學生回顧什么是函數圖象?函數圖象由哪些點組成?這些點的橫坐標如何確定?縱坐標如何確定?在此基礎上，要讓學生明確： (1)如何“列表”?表中x的值如何選取?表中丁的值如何確定? (2)怎樣“描點”?描多少個點?點的坐標如何確定? (3)為什么要“連線”?怎樣連線? 在學會和理解畫函數圖象的基本方法后，要讓學生自己動手練習，并進行交流這樣做的目的一是為了讓學生掌握畫圖象的基本方法與技能；二是讓學生再次感知一次函數的圖象是一條直線在此基礎上

12、給出一般性結論，并根據一次函數特征得到畫一次函數的簡便方法教學時不要省略學生自己畫圖象這一環節，過早揭示畫一次函數的簡便畫法，這樣將影響學生對函數圖象畫法的認識，不利于今后學習反比例函數、二次函數及其他函數圖象畫法的教學 用兩點法畫一次函數圖象時，要通過討論讓學生明確通常選取哪兩點比較方便這里課本中的例題做了示范。教學時可以增加一道畫正比例函數圖象的例題或練習題，讓學生感知正比例函數圖象的特征及畫圖的簡便方法一次函數的圖象（2）教學目標 1知道一次函數的圖象是一條直線 2會選取兩個適當的點畫一次函數的圖象 3能根據一次函數的圖象和函數關系式，探索并理解一次函數的性質 4進一步理解正比例函數與一

13、次函數的關系 此外，通過畫函數圖象，培養學生的畫圖技能；通過由圖象揭示函數的性質的探索活動，培養學生觀察、比較、抽象和概括能力，培養學生用“數形結合”的思想方法解決數學問題的能力，培養學生的應用意識和創新意識教學過程(第二課時) 1情境創設 以山的圖片為情境，將上山、下山的道路與一次函數的圖象特征相聯系，幫助學生從“形”上領會函數圖象上升與下降的意義 2探索活動 探索活動一： 探索一次函數關系式中k的值對一次函數圖象的影響 (1)觀察圖512和圖513，你同意小麗和小明的說法嗎? (2)你能補充兩個例子支持或反駁小麗和小明的說法嗎? (3)函數圖象上升時，隨著自變量值的增大，函數值會發生怎樣的

14、變化? (4)函數圖象下降時，隨著自變量值的增大，函數值會發生怎樣的變化? 通過探索活動，明確一次函數的性質 探索活動二： 探索一次函數關系式中6的值對一次函數圖象的影響 (1)從數量關系上看，對于同一個自變量的值： 一次函數y=2x+3的值與正比例函數y=2x的值有什么差異? 一次函數=2x3的值與正比例函數y=2x的值有什么差異? (2)從位置關系上看，一次函數y=2x+3的圖象與正比例函數y=2x的圖象有什么關系? 一次函數y=2x-3的圖象與正比例函數y=2x的圖象有什么關系? (3)如果要畫一次函數y=2x+3的圖象，你打算怎樣做? (4)你能利用函數y=2x+3的圖像畫出函數 y=

15、2x-3的圖象嗎?反過來呢?通過探索活動，進一步明確正比例函數與一次函數的關系一次函數的應用（1）教學目標 1能根據實際問題中變量之間的關系，確定一次函數關系式 2能將簡單的實際問題轉化為數學問題(建立一次函數)，從而解決實際問題 3在應用一次函數解決問題的過程中，體會數學的抽象性和應用的廣泛性此外，通過具體問題的分析，進一步感受“數形結合”的思想方法，發展解決問題的能力，增強應用意識和創新意識 教學過程(第一課時) 1情境創設 汽車在高速公路上勻速行駛，此前它已在普通公路上行駛了一段路程，由于路面復雜，行駛速度多變，所以我們在研究汽車的行程與速度、時間的關系時，不考慮這段行程與行駛時間的關系

16、，而是將這段距離看作一個常數，把問題簡化為，汽車在高速公路上行駛的時間越長，車內里程表上記錄的里程數就越大，由此產生問題：你能根據車上里程表上的讀數，算出汽車在高速公路上行駛的時間嗎?也可以設計為汽車在彎道上行駛了一段路程后，進入直道勻速行駛的問題 本課時編寫的例題、習題，一般都設計為不含“函數”字樣的實際問題，讓學生在分析和解決問題的過程中，自主判斷和選擇教學方法和手段，例如函數的方法、方程的方法等解決本章情境中提出的問題，需要先寫出函數關系式，然后再解決具體問題這類問題通常設計為：已知自變量的值，求相應的函數值；或根據函數值，求出與之對應的自變量的值 2探索活動 探索活動一 通過以下問題，

17、探索并解決情境中所提出的問題，例如： (1)汽車在高速公路上行駛的路程與哪些量有關? (2)車內里程表上記錄的數據是汽車行駛在那一段公路上的路程? (3)如果車內里程表上顯示已行駛了175km，你能算出汽車在高速公路上行駛了多少時間嗎? 通過探索活動，讓學生在進一步明確“路程、時間、速度”關系的基礎上，分析所面臨的具體問題，尋求解決問題的思路與方法，體驗在處理一個本源性實際問題面前，數學所具有價值和魅力，培養學生的應用意識和能力 探索活動二 加印照片是學生所熟悉的問題，費用多少顯然與加印照片的張數有關系，是正比例關系還是一次函數關系?寫出函數關系式后，便不難算出用結余的費用最多可以加印幾張照片

18、這也是根據函數值，求與之對應的自變量的值的應用問題可以在此基礎上，讓學生根據此背景，再創設一些問題，例如大批加印的優惠問題，兩家沖印店的選擇問題等，培養學生的創新意識。一次函數的應用（2）教學目標 1能根據實際問題中變量之間的關系，確定一次函數關系式 2能將簡單的實際問題轉化為數學問題(建立一次函數)，從而解決實際問題 3在應用一次函數解決問題的過程中，體會數學的抽象性和應用的廣泛性此外，通過具體問題的分析，進一步感受“數形結合”的思想方法，發展解決問題的能力，增強應用意識和創新意識 教學過程(第二課時)l 1情境創設 “選擇”是現實生活中經常遇到的問題，選擇通常與經濟效益相聯系本課時的情境創

19、設和例題、習題多與這種“選擇”有關由于學生尚未學習一元一次不等式的解法，所以處理這類問題時，我們采用了圖象法，一方面“圖上作業法”是解決許多實際問題的重要手段，另一方面也為55節的學習做鋪墊 為幫助學生學習和領會用函數圖象解決現實問題的圖上作業法，我們首先創設了一個已知函數圖象，要求學生根圖象給出答案的實際問題；然后又設計了一個需要學生自己先寫出函數關系式，再畫圖，并由所畫圖象做出決策的交流活動，體驗函數圖象在解決實際問題時的應用。 2探索活動 探索活動一 引導學生發現：兩條直線上升的速度存在差異 (一條上升得快一些，一條上升得慢)，它們有一個交叉點可以設計問題引導學生“讀圖”，例如： (1)

20、這兩條直線有共同之處嗎? (2)哪一條直線上升得更快一些? (3)“上升得更快一些”的實際意義是什么? (4)你覺得選擇哪家租賃公司的費用較少? 探索活動二 用表格提供信息是人們常用的方式由表格中的數據知道，汽車運輸的裝卸費用低，但途中損耗、管理等綜合費用高，運輸速度慢；火車運輸的裝卸費用高， 但途中損耗、管理等綜合費用低，運輸速度快是否選擇火車運輸較好?如何決策?這是一個具有挑戰性的問題 通過學生的交流活動，使學生明確解決問題的基本思路與方法，是分別計算兩種運輸方式所需要的費用，然后對相同的運輸里程比較費用的大小這就要分別寫出汽車與火車的運輸總費用丁(元)與運輸里程x(km)之間函數關系式，

21、然后對同一自變量的兩個函數值的大小進行比較 學生可能有兩種比較方法： (1)在同一直角坐標系中，分別畫出兩個函數的圖象，將問題轉化為已經研討過的“圖上作業法”來決策； (2)由于兩條直線有一個公共點，表示對于某個運輸距離，兩種運輸方式的費用相同于是先用方程求出這個距離，再來選擇這種由“形”得到啟發從而用“數”解決問題的方法也值得肯定，但教學時不應強求，如果學生沒有提及這種方法，教師也不要補充二元一次方程組的圖象解法教學目標 1知道一次函數與二元一次方程的關系 2會用一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解此外，通過用兩個函數圖象解二元一次方程組的探索活動，感受函數與方程的辯證統一，感受數學知識與

22、方法的內在聯系，感受數學在數學內部的應用是推動數學自身發展的動力之一 教學過程 1情境創設 通過移項，實現二元一次方程與一次函數的相互轉化，形式上的統一意味著實質上的統一嗎?課本設計了兩個卡通人，一個試圖從函數圖象上點的坐標看是否是方程的解；一個試圖觀察以方程的解為坐標的點是否在函數的圖象上這樣便可將二元一次方程組與一次函數的形式與內容完美統一 在此基礎上展開“兩個一次函數與二元一次方程組的解”的討論，得到二元一次方程組的圖象解法這既是一種解二元一次方程組的新方法，也是一次函數在數學內部的應用 如果學生在第54節探索一次函數應用時，用解方程的方法討論最優選擇問題的話，那么本節課就可從學生的方法說起 2探索活動 活動一： 探索二元一次方程與一次函數的關系，可設計下列問題，例如： (1)從形式上看，二元一次方程2xy3=0與一次函數有什么關系? (2)點在一次函數y=2x3圖象上，那么它的坐標(4，5)，即是方程2xy3的解嗎? (3)是二元一次方程2xy3=0的解，那么以此解為坐標的點，即點(2，1)在