1、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考點與題型歸納兩個計數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計數(shù)原理有兩類不冋方案?，在第1類方案中有m種不冋的N= m + n種不同的方法方法，在第2類方案中有n種不冋的方法分步乘法計數(shù)原理需要兩個步驟？，做第1步有m種不同的方法，做 第2步有n種不同的方法N= m x n種不同的方法鞏|1每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事 12各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的.琦11每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事12各步之間是相互依存的

2、，并且既不能重復也不能遺漏二、常用結(jié)論1完成一件事可以有 n類不同方案，各類方案相互獨立，在第1類方案中有 mi種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法在第 n類方案中有mn種不同的方法那么， 完成這件事共有 N= m1 + m2+ mn種不同的方法2完成一件事需要經(jīng)過 n個步驟，缺一不可，做第 1步有m1種不同的方法，做第 2步 有m2種不同的方法做第n步有 mn種不同的方法那么，完成這件事共有N =m1 x m2 xx mn種不同的方法.考點一分類加法計數(shù)原理1. 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為 解析：按十位數(shù)字分類，十位可為1,2,3,4,5,6,7,8，共

3、分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，則共有8+ 7 + 6 + 5+ 4 + 3+ 2 + 1 = 36個兩位數(shù)答案：36B2如圖，從A到0有種不同的走法1不重復過一點解析：分3類：第一類，直接由 A到0,有1種走法；第二類，中間過一個點， 有AtBt0和AtCt0(2種不同的走法;第三類，中間過兩個點，有At Bt Ct 0和At Ct Bt 0(2種不同的走法由分類加法計數(shù)原理可得共有1+ 2+ 2 =5種不同的走法答案：52 23若橢圓m+和=1的焦點在y軸上，且1,2,3,4,5 , n 1,2,3,4,5,6,7，則這樣的橢 圓的

4、個數(shù)為解析：當 m = 1 時，n = 2,3,4,5,6,7，共 6 個;當 2 時，n = 3,4,5,6,7，共 5個;當 3 時，n = 4,5,6,7,共 4 個；當 m= 4 時，n = 5,6,7，共 3 個；當m= 5時，n = 6,7,共2個故共有6 + 5 + 4+ 3 + 2 = 20個滿足條件的橢圓答案：204.如果一個三位正整數(shù)如aa2a3”滿足a1V a2且a2 a3,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)1如120,343,275等，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為 解析：若a2= 2,則百位數(shù)字只能選 1,個位數(shù)字可選1或0, “凸數(shù)”為120與121 , 共2個.若a2= 3,則百位數(shù)字

5、有兩種選擇， 個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2 X 3 = 61個 若a2= 4,滿足條件的“凸數(shù)”有3 X 4= 121個 ,，若a2= 9,滿足條件的“凸數(shù)”有8 X 9 =721 個.所以所有凸數(shù)有 2+ 6+ 12 + 20+ 30 + 42 + 56+ 72= 2401個.答案：240考點二分步乘法計數(shù)原理典例精析11已知集合 M= 3, 2, - 1,0,1,2 , P1a, b 1a, b M表示平面上的點，則P可表示坐標平面上第二象限的點的個數(shù)為1A.6B.12C.24D.3612有6名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有種不同的報名方法.解析1

6、1確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a,由于a v 0,所以有3種方法；第二步確定b,由于b 0,所以有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是3X 2= 6.12每項限報一個，且每人至多參加一項， 因此可由項目選人，第一個項目有6種選法， 第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理， 可得不同的報名 方法共有6X 5X 4= 1201種.答案11 A 12 120解題技法利用分步乘法計數(shù)原理解決問題的策略11利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足： 完成一件事的各個步驟是相互依存的，只

7、有各個步驟都完成了，才算完成這件事.12分步必須滿足的兩個條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成.題組訓練1. 如圖，某電子器件由 3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有 6個 AE焊接點A, B, C, D , E, F，如果焊接點脫落，整個電路就會不通 .現(xiàn)發(fā) J 1一、現(xiàn)電路不通，那么焊接點脫落的可能情況共有 種.n-解析：因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個Afl焊接點脫落，則電路就不通，故共有26- 1 = 63種可能情況.答案：632. 從一1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f1x = ax2 + bx+ c的系數(shù)，則可組成個不

8、同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有 個1用數(shù)字作答.解析：一個二次函數(shù)對應(yīng)著 a, b, c1a豐0的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3 種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有3X 3X 2= 181個二次函數(shù).若二次函數(shù)為 偶函數(shù)，則b = 0，同上可知共有3X 2= 61個 偶函數(shù).答案：186考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用典例精析11如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個 區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù) 為1B.48D.96A. 24C.7212如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”在一個正方體中，由兩個頂點確定

9、的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是1A.48B.18C.24D.3613如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是 1B.48D.24A.60C.36解析11分兩種情況:A, C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B, D各有1種，有4X 3 X2 = 24種 涂法A, C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B, D各有2種，有4 X 3X 2X 2= 48 種涂法故共有24 + 48= 72種涂色方法12第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成 “正交

10、線面對”，這樣的“正交線面 對”有2X 12= 241個；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有24+ 12= 361個13長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6X 6 = 36,另含4個頂點的6個 面1非表面 構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6 X 2= 12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是 36+ 12= 48.答案11 C 12 D 13 B解題技法1利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路11弄清完成一件事是做什么12確定是先分類后分步，還是先分步后分類13弄清分步、分類的標準是什么14利用兩

11、個計數(shù)原理求解2涂色、種植問題的解題關(guān)注點和關(guān)鍵11關(guān)注點：首先分清元素的數(shù)目，其次分清在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素12關(guān)鍵：是對每個區(qū)域逐一進行，選擇下手點，分步處理題組訓練1如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A, B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有 種解析：按要求涂色至少需要 3種顏色，故分兩類：一是 4種顏色都用， 這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4X 3 X 2X 1= 241種涂法；二是用3種顏色，這時A,B,C的涂法有4X3 X 2 = 241種,D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24 + 24

12、X 2 = 721種答案：722如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有 個1用數(shù)字作答解析：把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8X 4 = 321個 第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個.由分類加法計數(shù) 原理知，共有 32 + 8= 401個答案：40課時跟蹤檢測A級1集合P = x,1 , Q = y,1,2，其中x, y 1,2,3，9，且P? Q.把滿足上述條件的A.9B. 14C. 15D.21解析：選B 當x = 2時，xm y，點的個數(shù)為1X 7= 7當 X 2時，TP? Q , /x= y.x可 從3,4

13、,5,6,7,8,9中取，有7種方法因此滿足條件的點共有7 + 7= 141個2某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為1A.504B.210C.336D.120解析：選A 分三步，先插第一個新節(jié)目，有7種方法，再插第二個新節(jié)目，有 8種方法，最后插第三個節(jié)目，有9種方法故共有7X 8X 9 = 504種不同的插法3已知兩條異面直線 a, b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面 個數(shù)為1A.40B.16C.13D.10解析：選C 分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同

14、的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8 + 5= 13個不同的平面4從集合1,2,3,4，10中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11,則這樣的子集有1A.32 個B.34 個C.36 個D.38 個解析：選A 將和等于11的放在一組：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.從每一小組中取一個，有 C2= 21種共有2 X 2X 2 X 2 X 2= 321個 子集5從集合1,2,3，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為1A.3B.4C.6D.8解析：選D 當公比為2時

15、，等比數(shù)列可為 1,2,4或2,4,8;當公比為3時，等比數(shù)列可3112為1,3,9;當公比為2時，等比數(shù)列可為 4,6,9同理，公比為2, 3, 3時，也有4個故共有8個等比數(shù)列.OnOb12D34ACB96將1,2,3,，9這9個數(shù)字填在如圖所示的空格中，要求每一行 從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法為1A.6 種B.12 種C.18 種D.24 種解析：選A 根據(jù)數(shù)字的大小關(guān)系可知，1,2,9的位置是固定的，如圖所示，則剩余 5,6,7,8這4個數(shù)字，而8只能放在A或B處，若8放 在B處，則可以從5,6,7這3個數(shù)字中選一個放在C處，剩余兩個

16、位置 固定，此時共有3種方法，同理，若 8放在A處，也有3種方法，所以共有 6種方法.7.12019郴州模擬 用六種不同的顏色給如圖所示的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有1A.4(320 種B.2(880 種D.720 種C.1(440 種解析：選A 分步進行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法,3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4區(qū)域有3種不同的涂色方法，6區(qū)域有4種不同的涂色方 法，5區(qū)域有3種不同的涂色方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6X 5X 4 X 3 X 3X 4 = 4(3201種不同的涂色方法8.12019惠州調(diào)研 我們把各位數(shù)字之和為6的

17、四位數(shù)稱為“六合數(shù)”1如2(013是“六合數(shù)”，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有1A.18 個B.15 個C.12 個D.9 個解析：選B由題意知，這個四位數(shù)的百位數(shù)，十位數(shù)，個位數(shù)之和為 4.由4,0,0組成3個 數(shù)，分別為 400,040,004;由 3,1,0組成 6 個數(shù)，分別為 310,301,130,103,013,031 由 2,2,0 組成 3 個數(shù)，分別為220,202,022;由2,1,1組成3個數(shù)，分別為211,121,112,共有3 + 6+ 3 + 3= 151個.9.在某一運動會百米決賽上，8名男運動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,

18、5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有 種.解析：分兩步安排這8名運動員.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排.故安排方式有4X 3X 2 =241種 .第二步：安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一條奇數(shù)號跑道上安排，所以安排方式有 5X 4X 3X 2X 1 = 1201 種.故安排這8人的方式共有24 X 120= 2(8801種.答案： 2(88010.有A, B, C型高級電腦各一臺，甲、乙、丙、丁 4個操作人員的技術(shù)等級不同，甲、乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作 A型電腦.從這4個操作人員中

19、選 3 人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有 種1用數(shù)字作答 .解析：由于丙、 丁兩位操作人員的技術(shù)問題， 要完成“從 4個操作人員中選 3人去操作這三種型號的電腦 ”這件事，則甲、乙兩人至少要選派一人，可分四類：第 1 類，選甲、乙、丙 3 人，由于丙不會操作 C 型電腦，分 2 步安排這 3 人操作的電腦的型號，有2 X 2= 4種方法；第2類，選甲、乙、丁 3人，由于丁只會操作 A型電腦，這時安排 3人分別去操作這三 種型號的電腦，有 2種方法；第 3 類，選甲、丙、丁 3 人，這時安排 3 人分別去操作這三種型號的電腦，只有 1 種方法；第 4 類，選乙、丙、丁 3 人，同

20、樣也只有 1 種方法 .根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有4211=8種選派方法 .答案： 8B級1.把 3封信投到 4個信箱，所有可能的投法共有 1A.24 種B.4 種C.43 種D.34 種解析： 選 C 第 1 封信投到信箱中有 4 種投法； 第 2 封信投到信箱中也有 4 種投法； 第3 封信投到信箱中也有 4 種投法 .只要把這 3 封信投完， 就做完了這件事情， 由分步乘法計數(shù) 原理可得共有 43種投法.2.用數(shù)字 0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比 40(000大的偶數(shù)共有 1A.144 個B.120 個C.96 個D.72 個解析：選B 由題意可知，符合條件的五位

21、數(shù)的萬位數(shù)字是4或5當萬位數(shù)字為4時,個位數(shù)字從0,2中任選一個，共有 2X 4X 3 X 2= 48個偶數(shù)；當萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,4中任選一個，共有3X 4 X 3 X 2= 72個偶數(shù).故符合條件的偶數(shù)共有48+ 72 = 1201個.3如圖是一個由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形,現(xiàn)在用四種顏色給這四個直角三角形區(qū)域涂色,規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有1B.72 種A.24 種C.84 種D. 120 種解析：選C 如圖，設(shè)四個直角三角形順次為 A, B, C, D，按AC D順序涂色,F面分兩種情況:11 A, C不同色1注意：B, D可同色、也可不同色，D只要不與A, C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色 ：有4 X 3X 2X 2= 48種不同的涂法12 A, C同色1注意：B, D可同色、也可不同色，D只要不與A, C同色，所以D可以從剩余