1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂函數項級數的一致收斂性函數項級數的一致收斂性* *第六節第六節一、函數項級數的一致收斂性一、函數項級數的一致收斂性及一致收斂級數的基本性質及一致收斂級數的基本性質二、一致收斂級數的基本性質二、一致收斂級數的基本性質 第十二章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂一、函數項級數的一致收斂性一、函數項級數的一致收斂性冪級數在收斂區間上的性質類似于多項式, 但一般函數項級數則不一定有這么好的特點. 例如例如, 級數)()()(1232nnxxxxxxx每項在 0,1 上都連續, 其前 n 項之和為,)(nnxxS和函數)(lim

2、)(xSxSnn10 x, 01x, 1該和函數在 x1 間斷.目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂因為對任意 x 都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收斂域為(, ) , 但逐項求導后的級數 xnxx22cos2coscos22222sin22sin1sinnxnxx其一般項不趨于0, 所以對任意 x 都發散 .又如又如, 函數項級數問題問題: 對什么樣的函數項級數才有:逐項連續 和函數連續; 逐項求導 = 和函數求導; 逐項積分 = 和函數積分 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂定義定義. 設 S(x) 為 )(1xunn若對 都有一

3、個只依賴于 的自然數 N , 使 當n N 時, 對區間 I 上的一切 x 都有)()()(xSxSxrnn則稱該級數在區間 I 上一致收斂于和函數S(x) .在區間 I 上的和函數,任意給定的 0,顯然, 在區間 I 上 )(1xunn一致收斂于和函數S(x)部分和序列)(xSn一致收斂于S(x) 余項 )(xrn一致收斂于 0 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂幾何解釋幾何解釋 : (如圖) )(xSy)(xSyIx)(xSy , 0,NN當n N 時,表示)()(xSxSn曲線 )()(xSyxSy與總位于曲線)(xSyn)(xSyn之間.目錄 上頁 下頁 返回 結束

4、 高等數學D126一致收斂例例1. 研究級數 ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在區間 0, +) 上的收斂性.解解: 111) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂)(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0( x余項的絕對值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0( x因此, 任給 0, 取自然數 ,11N則當n N 時有)0()(xxrn這說明級數在 0, +) 上一致收斂于 .11)(xxS目錄 上頁 下

5、頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂例例2. 證明級數 )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收斂 . 證證: nnnnxxxxxxxS)()()(12)(xS10 x, 01x, 1)()()(xSxSxrnn10 x,nx1x, 0取正數 ,21對無論多么大的正數 N ,)(11210Nx取, 1, 00 x,)(2101xrN而因此級數在 0, 1 上不一致收斂 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂yOx說明說明:11nnnxxS)()(xS10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(xS對任意正數 r 0, 欲使,nr

6、只要,lnlnrn因此取,lnlnrN只要,Nn ,)(nnrxr必有即級數在 0, r 上一致收斂 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯(Weierstrass) 判別法判別法 用一致收斂定義判別級數的一致收斂性時, 需求出 ),()(xSxSn及這往往比較困難. 下面介紹一個較方便的判別法.若函數項級數)(1xunn在區間 I 上滿足:; ),2, 1()() 1naxunn,)21收斂正項級數nna則函數項級數 )(1xunn在區間 I 上一致收斂 .簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂證證:由條件2), 根據柯西審斂原

7、理, ,0N當 n N 時, 對任意正整數 p , 都有 221pnnnaaa由條件1), 對 x I , 有)()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa則由上式得令,p2)(xrn故函數項級數 )(1xunn在區間 I 上一致收斂 . 證畢目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂OxRRab推論推論.若冪級數nnnxa0的收斂半徑 R 0 , 則此級 數在 (R, R ) 內任一閉區間 a , b 上一致收斂 .證證: ,maxbar 設則對 a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0Rr 而由

8、阿貝爾定理(第三節定理1) 級數 nnnra0絕對收斂 , 由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立. 說明說明: 若冪級數在收斂區間的端點收斂, 則一致收斂 區間可包含此端點. 證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂例例3.證明級數22222sin22sin1sinnxnxx在(, ) 上 一致收斂 .證證: ),(x因對任意),2, 1 ,0(1sin222nnnxn而級數021nn收斂, 由維爾斯特拉斯判別法知所給級數在(, )上 一致收斂 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂說明說明:維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級數的一致收 斂性, 而且能判別其絕對收

9、斂性. 當不易觀察到不等式時，nnaxu)(可利用導數求)(maxxuanIxn例如例如, 級數,1251xnxnn), 0 x,12111max232525), 0nnuxnxnann用求導法可得已知2311nn收斂, 因此原級數在 0, ) 上一致收斂 . ,1)(25xnxnxun目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂二、一致收斂級數的基本性質二、一致收斂級數的基本性質定理定理1. 若級數 :)(1滿足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收斂于在區間.,)(上連續在則baxS證證: 只需證明, ,0bax . )()(lim00 xSxSxx由于)()(0

10、xSxS)()()()(00 xrxSxrxSnnnn)()()()(00 xrxrxSxSnnnn;,)() 1上連續在區間各項baxun目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂)()()()()()(000 xrxrxSxSxSxSnnnn因為級數)(1xunn一致收斂于S (x) , N, 0故),(N使當 n N 時, 有3)(,3)(0 xrxrnn對這樣選定的 n , ,)(0連續在xxSn從而必存在 0 ,有時當,0 xx3)()(0 xSxSnn從而得)()(0 xSxS,)(0連續在故xxS).()(lim00 xSxSxx即證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結束

11、高等數學D126一致收斂說明說明:(1) 定理1 表明, 對一致收斂的級數, 極限運算與無限 求和運算可交換, 即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2) 若函數項級數不一致收斂時, 定理結論不一定成立. 例如例如, 級數 ) 1() 1() 1(12xxxxxxxn在區間 0 , 1 上處處收斂, 而其和函數)(xS10 x, 01x, 1在 x = 1 處不連續 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂定理定理2. 若級數 :)(1滿足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收斂于在區間則該級數在 a, b 上可逐項積分, xxuxxSnxxn

12、xxd)(d)(001,0bxxa即對且上式右端級數在 a, b 上也一致收斂 . 證證: 因為 xxukxxnkd)(01xxSxxunxxknkxxd)(d)(001;,)() 1上連續在區間各項baxun目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂所以只需證明對任意 ),(,00 xxbaxx一致有xxSxxSxxnxxnd)(d)(lim00 根據級數的一致收斂性, ),(, 0NN 使當 n N 時, 有abxSxSn)()(于是, 當 n N 時, 對一切 ),(,00 xxbaxx有xxSxxSxxnxxd)(d)(00 xxSxSnxxd)()(0 xxSxSnbad

13、)()(因此定理結論正確. 證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂說明說明: 若級數不一致收斂時, 定理結論不一定成立. 例如例如, 級數 2222) 1(221e) 1(2e2xnxnnxnxn它的部分和 ,e2)(222xnnxnxS因此級數在 0 , 1 上收斂于 S (x) = 0 , 所以.0d)(10 xxS但是xxnxnxnxnnde) 1(2e22222) 1(2211022ee) 1(1nnn110)(dxxS 對級數定理結論不成立的原因: 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂級數的余項 22e2)(2xnnxnxr,10時當nx )2

14、(1e2)(0nnxrn可見級數在 0, 1 上不一致收斂 , 此即定理2 結論 對級數不成立的原因. 2222) 1(221e) 1(2e2xnxnnxnxn 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂定理定理3. 若級數 滿足：)(1xunn,)()31上一致收斂在級數baxunn,),()(1baxxuxSnn且可逐項求導, 即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上連續在,)(1上一致收斂在區間則baxunn; )(,) 1xSba上收斂于在區間證證: 先證可逐項求導. ),()(1xxunn設根據目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂有對, ,baxx

15、xuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(aSxS上式兩邊對 x 求導, 得 ).()(xxS再證.,)(1上一致收斂在baxunn根據,d)(1上一致收斂在級數baxxunxan而xxunxand)(1)()(11auxunnnn目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂)(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以.,上一致收斂在ba級數一致收斂并不保證可以逐項求導. 例如, 例3中的級數22222sin22sin1sinnxnxx說明說明:在任意區間上都一致收斂, 但求導后的級數 xnxx22cos2coscos其一

16、般項不趨于 0, 所以對任意 x 都發散 . 證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂例例4. 證明函數 31sin)(nnxxfn對任意 x 有連續導數.解解: 顯然所給級數對任意 x 都收斂 , 且每項都有連續導數, 而逐項求導后的級數 31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收斂nn故級數在 (, ) 上一致收斂, 故由定理3可知.cos)(21nnxxfn 再由定理1可知 .),()(上連續在 xf定理1 定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂定理定理4 . 若冪級數nnnxa0的收斂半徑,0R)(xS數nnnxax

17、S0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000 ,110nnnxna),(RRx則其和函在收斂域上連續, 且在收斂區間內可逐項求導與逐項求積分, 運算前后收斂半徑相同,即證證: 由維爾斯特拉斯判別法的推論及定理 1, 2 可知 和函數連續、級數逐項可積； 級數逐項可導分兩步證：),(10RRxannnn在先證內收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂),(RRx任取,11Rxxx使再取定, 11xxq記則1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值審斂法知 ,10收斂nnqn, 0lim1nnqn故因此存在 M 0 ,

18、使得 ),2, 1(111nMqnxn,01Rx 又,10收斂級數nnnxa由比較審斂法可知nnxaM1,11絕對收斂nnnxan,ba從而在(R, R)內任一閉區間上一致收斂, 故原級數,0baxannn在上滿足定理3 條件,定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂從而可逐項求導, 再由a, b 的任意性, 即知 ),(,110RRxxanxannnnnn再證 11nnnxan的收斂半徑 R = R .前面已證 ;RR 11)(, 0nnnxanRxx上對在定理3 逐項積分, 得,1nnnxa,RR .RR 證畢因逐項積分所得級數的收斂半徑不會縮小, 綜上所述目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D126一致收斂冪級數 nnnxa0(R, R ) 內有任意階導數, 且有 knnknkxaknnnxS) 1() 1()()