1、課題：必修2.3等差數列的前n項和三維目標： 1、 知識與技能（1）理解等差數列前 項和的定義以及等差數列前 項和公式推導的過程，并理解推導此公式的方法倒序相加法，記憶公式的兩種形式；（2）用方程思想認識等差數列前 項和的公式，利用公式求 ；等差數列通項公式與前 項和的公式兩套公式涉及五個字母，已知其中三個量求另兩個值； （3）會用等差數列的前項和公式解決一些簡單的與前項和有關的問題.2、過程與方法（1）通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導學生發現等差數列的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個規律，然后體驗從特殊到一般的研究方法。通過公式的探索、發現，在知識發生、發展以及形成過程中培養

2、學生觀察、聯想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（2）通過公式的推導過程，展現數學中的對稱美；通過有關內容在實際生活中的應用，使學生再一次感受數學源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發現問題，并運用數學知識和方法科學地解決問題.3、情態與價值觀(1) 通過對數列知識的進一步學習，不斷培養自主學習、合作交流、善于反思、勤于總結的科學態度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（2）通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，產生熱愛數學的情感, 形成學數學、用數學的思維和意識，培養學好數學的信心，體驗在學習中獲得成功的成就感，

3、為遠大的志向而不懈奮斗。 教學重點：等差數列前 項和公式的推導和應用教學難點：公式推導的思路及綜合運用教 具：多媒體、實物投影儀教學方法：合作探究、分層推進教學法教學過程：一、雙基回眸 科學導入：前面，我們學習了等差數列的概念、通項公式及其有關性質，并運用這些知識解決了許多的實際問題，請同學們回顧一下學過的等差數列基本知識和性質： 等差數列定義：即(n2) 由三個數a，a，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，a叫做a與b的等差中項。 等差數列通項公式：(n1) 在等差數列中， 若m + n= p + q 則 等差數列在現實生活中比較常見，如： 建筑工地上一堆圓木，從上到下每層的數目

4、分別為1，2，3，10 . 問共有多少根圓木？ 因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的問題。如何用簡便的方法呢？當然，若是數少了，即使口算，也能迅速得出若數多了呢，比如：1+2+3+100=？還能不能迅速算出呢？ 在200多年前，歷史上最偉大的數學家之一，被譽為“數學王子”的高斯就曾經上演了迅速求出1+2+3+100和的好戲。 同學們或許都聽說過這個故事，哪個同學來簡潔地說一說高斯是怎樣來計算的？ 答：當時，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=10150=5050（數學王子，德國數學家高斯1

5、0歲的時候，有一次數學教師布特納要求學生將前100個自然數加起來，即求1+2+3+100的和。老師剛解釋完題目，高斯就把寫有答案的石板交了上去，布特納連看也沒看，心想這個全班最小的學生準是瞎寫了些什么，或者交了白卷，過了很久，其他學生才一個個把石板疊在上面，等到布特納發現只有高斯的石板上寫著一個正確的答案而比他大的孩子都錯了的時候，才大吃一驚，因為在這之前，他從未教過學生計算等差數列。那么高斯是怎樣巧妙的算出結果的呢？我們分析，可能是高斯將這100個數分成50組（1+100），（2+99），（3+98）， ，（50+51），而每組兩數之各都等于101，因此，1+2+3+100=10150=50

6、50。）高斯的算法實際上解決了求等差數列1，2，3，n，前100項的和的問題。 但這只是前100項的和，我們想知道前n項的和怎樣求，更想知道有沒有一個公式來表示。這就是我們今天要研究的問題二、 創設情境 合作探究：【創設情境】首先，我們根據高斯的算法，來計算一下1，2，3，n，的前n項的和：（學生分組討論，展示做法）有的同學可能直接按照高斯的算法：（1+n）+( 2+n-1) +(3+n-2)+ 但不知道數的個數是偶數還是奇數，不一定能恰好都配成對。有的同學可能根據上面解法存在的問題，對n 進行分類討論：n 為偶數： n 為奇數： 最后交流出最佳方法：由 1 + 2 + + n-1 + n n

7、 + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）從而初步總結出推導等差數列前n項和的一般方法：倒序相加法。【合作探究】借此東風，引領學生合作交流，推導出等差數列前n項和 可請同學們先根據 1 + 2 + + n-1 + n 來推測一下 有的同學肯定會推測出來： 然后鼓勵一下，在讓學生分組合作交流，推導出來 用兩種方法表示 把上式的次序反過來又可以寫成 由+，得 = 由此得到等差數列的前n項和的公式 請同學們把 把代入中，看能得到什么： 得： 【點評】（1）對于第一個公式，我們知道：只要知道等差數列首項、尾項和項數就可以求等差數列前n項和了；對于第二個公式，只

8、要知道等差數列首項、公差和項數就可以求等差數列前n項和了。實際解題時可根據題目給出的已知條件選擇合適的公式來解決。 （2）這兩個公式除了“數”的本質外，用“形”也可以直觀地說明一下： 還可用梯形面積公式來說明等差數列前 項和公式，這里對圖形進行了割、補兩種處理，對應著等差數列前 項和的兩個公式. （3） 除此之外，等差數列還有其他方法（可對基礎較好的學生要介紹）當然，對于等差數列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑。例如： = = = 三、互動達標 鞏固所學：【自主達標】1 根據下列各題中的條件，求相應的等差數列的前n項和sn. 答：學生獨立完成：（1）sn=-88 ; (2) 604.5

9、2. 求集合m=m| m=2n - 1 .n ，且m 60 的元素個數，并求這些元素的和。 答：由2n 1 60 得： n 30.5 所以共有30項 ，公差為2 這些元素的和為 301 + 15302 = 930。【互動達標】（下面的所有問題，都先讓學生合作探究、交流一下） 既然數列與實際生活有密切關系，那么，首先來探索一個實際問題： 問題.12000年11月14日教育部下發了關于在中小學實施“校校通”工程的統治.某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網.據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元.為了保證工程的順利

10、實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 【分析】對于應用問題，首先應仔細閱讀、審清題意。然后，抽象、提煉出相關數據，并分析出它們的本質關系，把實際問題轉化為相應的數學問題 【解析】根據題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數列，表示從2001年起各年投入的資金，其中， d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為 （萬元）答：從20012010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.【點評】通過此題引領學生逐步按照下列步

11、驟來進行：先閱讀題目；引導學生提取有用的信息，構件等差數列模型；寫這個等差數列的首項和公差，并根據首項和公差選擇前n項和公式進行求解。可能出現的錯誤（也是數列的實際問題中常見的、典型的錯誤）： 理解錯題意，把前n項和與最后一項混淆問題.2已知數列的前n項為，求這個數列的通項公式.這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 【分析】這是一個關于前n項和的逆向問題，想一想的關系，然后列出，看到它們的關系，就會直接得到了。【解析】根據 與 可知，當n1時， 當n=1時， 也滿足式. 所以數列的通項公式為. 由此可知，數列是一個首項為，公差為2的等差數列。【點評】（1）引領學生總結出已知

12、前n項和，求通項公式的方法；（2）用這種數列的來確定的方法對于任何數列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿足已求出的. （3） 【深入探究】結合此例思考課本45頁“探究”：一般地，如果一個數列的前n項和為其中p、q、r為常數，且p0，那么這個數列一定是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？引導分析得出：觀察等差數列兩個前n項和公式，和，公式本身就不含常數項。所以得到：（1）如果一個數列前n項和 的常數項r不為0，則這個數列一定不是等差數列.（2）如果一個數列前n項和中常數項r為0，則這個數列一定是等差數列.最后結論：數列是等差數列等價于 問題.

13、3已知一個等差數列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？【分析】最直接的思路是利用方程思想：將已知條件代入等差數列前n項和的公式后，可得到兩個關于與的二元一次方程，由此可以求得與，從而得到所求前n項和的公式.【解析】解：由題意知 ，將它們代入公式 得到 解這個關于與d的方程組，得到=4，d=6，所以【引領學生探討其他解法】總結出解決數列基本問題的幾種常用的思想方法：【另法一】 得 所以 -，得， 所以 代入得： 所以有 【另法二】由問題.2的探索知等差數列的前n項和可表示為 利用待定系數法可求出結果（在這里，也可看成是運用了函數思想）再通

14、過下列的變式探究出解決數列問題常用的整體思想1已知一個等差數列前10項的和是310，前20項的和是1220.求前30項的和【分析】除了引領學生用剛學過的方程思想與函數思想來解決外，再引導學生合作探究用整體思想來解決 【解析】由等差數列的性質，不難推得： 、 、 成等差數列 所以有 解得：前30項的和為2730 。【點評】上述方法沒有列出方程求出具體的個別量，而是恰當地運用了數學中的整體思想來快速求出的，要注意體會這種思想在數學中的運用（實際上，換元法體現的也是整體思想）。下面再給出一個題目體現一下在等差數列中整體思想的廣泛運用：2 在一個等差數列中，已知 ，求 引領學生合作探究出： 從而進一步

15、體會一下整體思想所反映的數學本質。小結：設計上述幾個問題的目的：一是為了體現解決數列問題常用的三種思想方法：方程思想整體思想函數思想（可繼續用問題4來體現）二是為了展現數列在實際中的應用。問題.4已知等差數列待添加的隱藏文字內容3的前n項和為，求使得最大的序號n的值. 【分析】等差數列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數當x=n時的函數值.另一方面，容易知道關于n的圖象是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數來求n的值. 【解析】由題意知，等差數列的公差為，所以 于是，當n取與最接近的整數即7或8時，取最大值.【點評】通過此題同學們會進一步感受到函數思想的廣泛運用，此題還可運用下

16、列的方法：因數列是遞減的等差數列，所以只要找到正項與負項的分界處即可： 解 且四、思悟小結：知識線：（1）等差數列前 項和的定義； （2）等差數列前 項和公式；（3）相關的等差數列的性質。思想方法線： （1）待定系數法； （2）方程思想；（3）整體思想；（4）函數思想。題目線：（1）利用等差數列的通項公式、前 項和公式解決關于前 項和的基本問題；（2）利用等差數列的通項公式、前 項和公式解決上述問題的逆向問題；（3）實際問題；（4）相關的綜合問題。如：最值問題等等。五、針對訓練 鞏固提高：一、選擇題：1、已知數列的通項公式為，則的前項和等于（ ）a b c d2、已知等差數列，則等于（ ）a

17、b c d3、在等差數列中，若，是數列的前項和，則的值為（ ）abcd4、設是等差數列的前項和，若，則（ ）abcd二、填空題：5（1）正整數前n個偶數的和 ； （2）正整數前n個奇數的和 ；（3）在三位整數的集合中有 個數是5的倍數，它們的和為 ；（4）在正整數集合中有 個三位數，它們的和為 。 6數列的前項和，則它的通項公式是 。7根據下列條件，求相應的等差數列的有關未知數：（1） ；n= 。(2) = ；= 。（3）n = ；= 。（4）= ；= 。8若一個等差數列前項的和為，最后項的和為，且所有項的和為，則這個數列有_項三、解答題：9一個多邊形的周長等于158cm，所有各邊的長成等差數列，最大邊的長等于44