1、第二章第二章 平面力系的簡化和平衡平面力系的簡化和平衡2.1力的合成與分解力的合成與分解：1.1.平行四邊形法則平行四邊形法則： 作用于物體上同一點的兩個力可合成一個合力，此合力也作用于該點，合力的大小和方向由以原兩力矢為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線來表示。21FFR反之，一個力也可以分解為作用點相同的兩個力F1 和F2 ，或F3和F4 不過后一個分解的結果不是唯一而是無窮多 FFFXxcosFFFYycos22yxFFF2.力在平面坐標軸上的投影力在平面坐標軸上的投影 X=Fx=Fcos ： Y=Fy=Fsin=F cos注意：力的投影即各分力是代數量將力系中諸力矢首尾相接，得到一個幾何圖

2、形，稱為該力系 的力多邊形力多邊形。這是一個有缺口的，不閉合的多邊形。由第一力矢的起點到最后一力矢的終點所作的力矢，即為該力系的合力。 2.2 平面匯交力系平面匯交力系1.1.力系的簡化和平衡力系的簡化和平衡： 結論：結論：即： 即：匯交力系的合力等于力系中各分力的矢量和，合力的作即：匯交力系的合力等于力系中各分力的矢量和，合力的作 用線通過力系的匯交點。用線通過力系的匯交點。匯交力系平衡的幾何條件匯交力系平衡的幾何條件FR4321FFFFR匯交力系平衡的充要條件是：0FR在幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：力多邊形自行封閉力多邊形

3、自行封閉或力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零力系的合力等于零力系的合力等于零inFFFFFR321kFjFiFkZjYiXFziyixiiiiikFjFiFRziyixixixFRyiyFRzizFR 由幾何法知合力等于各分力的矢量和，即合力等于各分力的矢量和，即 又 由于 代入上式得 根據合矢量投影定理得合力在坐標軸的投影 二、匯交力系的合成二、匯交力系的合成 此即 合力投影定理合力投影定理 力系的合力在任一軸上的投影，等于各力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數和。分力在同一軸上投影的代數和。222222)()()(ZYXRRRRzyxRRRRRRzyxc

4、os,cos,cos合力的大小和方向余弦分別為0X0Y0Z 稱為平衡方程稱為平衡方程空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系的平衡方程平衡充要條件為：力系中各力在三個坐標軸上投影的代數和力系中各力在三個坐標軸上投影的代數和分別等于零分別等于零三、匯交力系的平衡條件和平衡方程三、匯交力系的平衡條件和平衡方程 0iFR匯交力系平衡的充要條件是匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，力系的合力為零，即：即：0)()()(222222ZYXRRRRzyxyyFRxxFR對于平面匯交力系對于平面匯交力系合力的大小：合力的大小： 方向：方向： 作用點：作用點：xyRRtgxyxyFFRR11tgtg為為該力系

5、的匯交點該力系的匯交點00yyxxFRFR平衡方程為平衡方程為2222yxyxFFRRR已知：系統如圖，不計桿、輪自重，忽略滑輪大小， P=20kN； 求：系統平衡時，桿AB，BC受力.060cos30cos21FFFBC0yF kN32.27BCFPFF21kN321. 7BAF0 xF 12cos60cos300BAFFFAB、BC桿為二力桿，取滑輪B（或點B），畫受力圖.建圖示坐標系解：合力矩定理：合力矩定理：合力對任意點之矩，等于其各個分力對同一點之矩的代數和即ARXARYRoyFxFFM)(niioRoFMFM1)()(dFFMRRo)(BCBCACFxFBCxFRxARyARy)(

6、BCACFFRxRy證：BCACFFRxRyOBFOBFRyRcos各力矩求和即ARXARYRoyFxFFM)(ARxARyniAixniAiyniioyFxFyFxFFM111)()()(與前式比較，：對匯交點為A的匯交力系的任一力Fi，將其沿力線滑移到A點，則Fi對O點之矩為：AixAiyioyFxFFM)(niioRoFMFM1)()(合力對任意點之矩，等于其各個分力對同一點之矩的代數和合力對任意點之矩，等于其各個分力對同一點之矩的代數和15定理定理：合力對任一點的矩，等于各分力對同一點的矩的矢量和合力對任一點的矩，等于各分力對同一點的矩的矢量和即：四、合力矩定理四、合力矩定理以匯交力系

7、為例證證niiOOFmRm1)()(n21FFFRniiOOOOOFmFmFmFmFrFrFrFFFrRrRm1n21n21n21)()()()()()( R x y z O Fn F3 F2 F1Ar合力作用線方程合力作用線方程對合力應用合力矩定理：合力對任意點之矩，等于其各個分力對同一點之矩的代數和注意該式對作用線上任意點的x和y都成立。即它就是作用線方程yFxFFMRXRYRo)(例題例題 2.3 平面力偶系平面力偶系作用在同一平面的多個力偶構成平面力偶系以其中任一力偶為基準，通過移轉、改變力偶臂長度，將其他力偶與該基準力偶疊合，得到兩個匯交力系，再分別合成可以得到一

8、個新力偶-原力偶系的合力偶原力偶系的合力偶矩只受平面力偶系作用的剛體平衡充要條件：niiMM101niiMM045cos)()(2abFMbFaFMFMMCCxCYCB對BC物塊對B點取矩，以逆時針為正列方程應為： 例例 在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶矩為根據平面力偶系平衡方程有:由力偶只能與力偶平衡的性質，力NA與力NB組成一力偶。2.4 平面任意力

9、系平面任意力系：各力的作用線在同一平面內，既不匯交為一點又不相互平行的力系叫 。例例1.力的平移定理力的平移定理：可以把作用在剛體上點可以把作用在剛體上點A的力的力 平行移到任一平行移到任一 點點B，但必須同時附加一個力偶。這個力偶，但必須同時附加一個力偶。這個力偶 的矩等于原來的力的矩等于原來的力 對新作用點對新作用點B的矩。的矩。FF證證 力力 力系力系），力偶（力FFF FFF ,F力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力 力力+力偶力偶 （例斷絲錐）（例斷絲錐）力平移的條件是附加一個力偶力平移的條件是附加一個力偶m， 且且m與與d有關，有關，m=Fd 力

10、線平移定理是力系簡化的理論基礎。力線平移定理是力系簡化的理論基礎。說明說明：2 2 平面力系向指定點的簡化平面力系向指定點的簡化 一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）向一點簡化向一點簡化匯交力系匯交力系+力偶系力偶系 （未知力系） （已知力系） 匯交力系 力 ， R(主矢主矢) ， (作用在簡化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO (主矩主矩) ， (作用在該平面上) 大小大小： 主矢主矢 方向方向： 簡化中心簡化中心 (與簡化中心位置無關) 因主矢等于各力的矢量和RiFFFFR321主矢)()()( 21321iOOOOFmFmFmmmmM主矩2222)()(YXRRRyxXYRRxy11t

11、gtg（移動效應移動效應） 大小大小： 主矩主矩MO 方向方向： 方向規定 + 簡化中心簡化中心： (與簡化中心有關) （因主矩等于各力對簡化中心取矩的代數和）)(iOOFmM（轉動效應轉動效應）固定端（插入端）約束固定端（插入端）約束在工程中常見的雨 搭車 刀固定端（插入端）約束固定端（插入端）約束說明說明 認為認為Fi這群力在同一這群力在同一 平面內平面內; 將將Fi向向A點簡化得一點簡化得一 力和一力偶力和一力偶; RA方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力YA, XA表示表示; YA, XA, MA為固定端為固定端 約束反力約束反力; YA, XA限制物體平動限制物體平動, MA為

12、限制轉動。為限制轉動。簡化模型簡化模型=3 3 平面一般力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程 由于 =0 為力平衡 MO=0 為力偶也平衡R所以平面任意力系平衡的充要條件為平面任意力系平衡的充要條件為： 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零，即： 0)()(22YXR0)(iOOFmMR0 xF0)(iAFm0)(iBFm二矩式二矩式條件：條件：x 軸不軸不 AB 連線連線0)(iAFm0)(iBFm0)(iCFm三矩式三矩式條件：條件：A,B,C不在不在 同一直線上同一直線上上式有三個獨立方程，只能求出三個未知數。上式有三個獨立方程，只能求出三個未知

13、數。0 xF0yF0)(iOFm一矩式一矩式兩軸不平行即兩軸不平行即可，矩心任意可，矩心任意4. 4. 平面一般力系的簡化結果平面一般力系的簡化結果分析分析簡化結果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分別討論。 =0,MO0 即簡化結果為一合力偶, MO=M 此時剛 體等效于只有一個力偶的作用，因為力偶可以在剛體平 面內任意移動，故這時，主矩與簡化中心O無關。R =0， MO =0，則力系平衡,下節專門討論。 RR 0,MO =0,即簡化為一個作用于簡化中心的合力。這時， 簡化結果就是合力（這個力系的合力）, 。（此時 與簡化中心有關，換個簡化中心，主矩不為零）RRRR 0,MO 0,為最一般的情況

14、。此種情況還可以繼續簡可以繼續簡 化為一個合力化為一個合力 。R合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力 的作用線到簡化中心的距離的作用線到簡化中心的距離RMdORR結論結論：)(1niiOOFmM)()(主矩OOMdRRm)()(1niiOOFmRM 平面任意力系的簡化結果平面任意力系的簡化結果 ：合力偶：合力偶MO ； 合力合力 合力矩定理合力矩定理：由于主矩 而合力對O點的矩 合力矩定理 由于簡化中心是任意選取的，故此式有普遍意義。 即：平面任意力系平面任意力系的合力對作用面內任一點之矩等于力系的合力對作用面內任一點之矩等于力系 中各力對于同一點之矩的代數和。中各力

15、對于同一點之矩的代數和。R用來計算合力矩RMdO2.2.22lFllqRo2.2.lFllqRo32322求：合力作用線方程。力系向 點的簡化結果；合力與 的交點到點 的距離 ；已知：1450kN,P 2200kN,P 1300kN,F kN701FOOAOx解：（1）主矢：12122cos232.9kNsin670.1kNxyFFFFPPF 22R()()709.4kNxyFFFRRRRcos(, )0.3283, cos(, )0.9446yxFFFiFjFF RR(, )70.84 ,(, )18019.16FiFj 主矩：112( )31.53.92355kN mOOMMFFPP （2

16、）求合力及其作用線位置：003.514mcos 9070.84dx （3）求合力作用線方程：RRRRROOyxyxMMFx Fy Fx Fy F2355670.1232.9xy607.1232.923550 xy選講 例例 已知：P, a , 求：A、B兩點的支座反力？解：選AB梁研究 畫受力圖（以后注明 解除約束，可把支反 力直接畫在整體結構 的原圖上）0)(iAFm由32 , 032PNaNaPBB0X0AX0Y3 , 0PYPNYABB解除約束例例 1、物體系統的平衡問題、物體系統的平衡問題外力外力：外界物體作用于系統上的力叫外力。內力內力：系統內部各物體之間的相互作用力叫內力。物體系統

17、（物系物系）：由若干個物體通過約束所組成的系統叫 。2.52.5物體系統的平衡、靜定與超靜定問題物體系統的平衡、靜定與超靜定問題物系平衡的特點：物系平衡的特點： 物系靜止物系靜止 物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列3 3個個 平衡方程，整個系統可列平衡方程，整個系統可列3 3n個方程（設物系中個方程（設物系中 有有n個物體）個物體）解物系問題的一般方法：解物系問題的一般方法： 由整體由整體 局部局部（常用），由局部由局部 整體整體（用較少）2 2、靜定與超靜定、靜定與超靜定 ( (建立概念即可）建立概念即可）我們學過：平面匯交力系 兩個獨立方程，只能求

18、兩個獨立 未知數。 一個獨立方程，只能求一個獨立未知數。 三個獨立方程，只能求三個獨立未知數。0X0Y0im0X0Y0)(iOFm力偶系平面任意力系當：獨立方程數目獨立方程數目未知數數目時，是靜定問題（可求解）未知數數目時，是靜定問題（可求解） 獨立方程數目獨立方程數目 未知數數目時，是靜不定問題（超靜定問題）未知數數目時，是靜不定問題（超靜定問題）設由設由n n個物體組成個物體組成N1個二力桿（或力偶系）n1個獨立平衡方程N2個物體受平面匯交力系（或平面平行力系）2*n2個獨立平衡方程 3n3三個獨立方程， 平衡方程總數：mn12n23n30X0Y0X0Y0)(iOFmN3個物體受平面任意力

19、系當：獨立方程總數目獨立方程總數目未知數數目時，是靜定問題（可求解）未知數數目時，是靜定問題（可求解） 獨立方程總數目獨立方程總數目 未知數數目時，是靜不定問題（超靜定問題）未知數數目時，是靜不定問題（超靜定問題） 例例 靜不定問題在強度力學（材力,結力,彈力）中用位移諧調條件來求解。靜定（未知數三個） 靜不定（未知數四個）判斷有無多余約束即可.力影2.2.力影注三個力，一個未知三個力，一個未知兩個力，一個未知兩個力，一個未知0, 0AXX由022; 0)(aPmaaqaRFmBA0Y0PqaRYBA)kN(122028 .01628 .02022PamqaRB)kN(24128

20、 .02020BARqaPY例例 已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：0yF0cos BFF22cosRlFlFFB 0 xF0sinN BFF22NtanRlFRFF 已知：不計物體自重與摩擦,系統在圖示位置平衡;,FlABROA求:力偶矩 的大小，軸承 處的約束力，連桿 受力，沖頭給導軌的側壓力.MOAB解:取沖頭 ,畫受力圖.B取輪,畫受力圖. 0 xF22OxFRFlR 0yFOyFF FRM 0OM0sin AOyFF0cos AOxFF0cosMFA 已知：F , a ,各桿重不計；求：B 鉸處約束力.解

21、：取整體，畫受力圖0CM20ByFa0ByF取DEF桿，畫受力圖0DMsin4520EFaFa0 xFcos450EDxFF0EM02aFaFDycos452DxEFFF2DxFFsin452EFF對ADB桿受力圖0AM20BxDxFaFaBxFF 注已知： a ,b ,P,各桿重不計，C, E處光滑； 求證：AB桿始終受壓，且大小為P.解： 取整體，畫受力圖.0 xF0AxF0EM()0AyPbxFb()AyPFbxb取銷釘A，畫受力圖0 xF0AxADCxFF0ADCxF0yF0ABAyADCyFFF取ADC桿，畫受力圖.取BC，畫受力圖.0BM0CFbPx CxFPb0DM022ADCy

22、CbbFFADCyCxFFPbPFAB(壓)已知：q ,a ,M ,2,Mqa且F作用于銷釘B上；求：固定端A處的約束力和銷釘B對BC桿、AB桿的作用力.解：取CD桿，畫受力圖.0DM02CxaFaqa12CxFqaBCyFqa0CM0BCyMFa12BCxFqa0BCxCxFF0 xF取BC桿（不含銷釘B)，畫受力圖.取銷釘B，畫受力圖.0 xF0ABxBCxFF0yF0AByBCyFFP12ABxFqaAByFPqa12ABxFqa ()AByFPqa 取AB桿（不含銷釘B），畫受力圖.0 xF1302AxABxFqaF AxFqa 0yF0AyAByFFAyFPqa0AM13302AAB

23、xAByMqa aFaFa ()AMPqa a思考-1已知：如圖所示結構，P和a.求：支座A，B 處約束力.解題思路：先分析整體BxFAxF再分析BCByFAyF總結：l一般先分析整體；l一般不拆滑輪；l矩心盡量取在較多未知力的交點上；l投影軸盡量與較多未知力相垂直。思考-2已知：如圖所示結構，P，l，R.求：固定端A處約束力.解題思路：先分析桿CDBCF再分析桿ABAxFAyFAM總結：l二力桿的分析；l一般不拆滑輪。由物系的多樣化，引出僅由桿件組成的系統桁架桁架 2.6 2.6 平面靜定桁架平面靜定桁架由桿組成，用鉸聯接，受力不變形的系統。可以是鉚接、焊接、螺栓連接等。2.6.1桁架的定義

24、、特點桁架的定義、特點：(a)桁架的優點：輕，充分發揮材料性能。桁架的特點：直桿，不計自重，均為二力桿；桿端鉸接； 外力作用在節點上。 力學中的桁架模型力學中的桁架模型( 三角形有穩定性三角形有穩定性(b)(c)總桿數mn總節點數32 nm32(3)mn32 nm 平面復雜（超靜定）桁架32 nm 平面簡單（靜定）桁架32 nm非桁架（機構）工程力學中常見的桁架簡化計算模型工程力學中常見的桁架簡化計算模型工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構2.6.2 2.6.2 桁架的計算假定和分析桁架的計算假定和分析

25、力影注1.平面靜定桁架的構造： 構件、受力均在同一平面 桿件數 和節點數 之間滿足關系2、內力計算方法： 節點法和截面法2.6.3 2.6.3 平面靜定桁架及其計算平面靜定桁架及其計算mn32 nm, 0X0BX, 0)(FmA, 0)(FmB024 PYB042ANPkN 5 , 0BABYNX解解：研究整體，求支座反力一、節點法一、節點法已知：如圖 P=10kN，求各桿內力？例例依次取A、C、D節點研究，計算各桿內力。0X030cos012 SS0Y030sin01 SNA)(kN10,kN66. 812表示桿受壓解得SS0X0Y030cos30cos0104SS030sin30sin04

26、013SSS11SS 代入kN 10 ,kN 10 :43SS解得kN 66. 75S解得0X025SS后代入22SS 節點節點D的另一個方程可用來校核計算結果的另一個方程可用來校核計算結果0Y0,3SP,kN 103解得S恰與 相等,計算準確無誤。 3S解解： 研究整體求支反力 0X0AX0BM023aPaPaYPYA0Am由04aYhSAhPaS40Y0sin5PSYA05S0X0cos456AXSSShPaS 6二、截面法二、截面法例例 已知：如圖，h，a，P 求：4，5，6桿的內力。選截面 I-I ，取左半部研究IIA說明說明 ： 節點法：用于設計，計算全部桿內力節點法：用于設計，計算

27、全部桿內力 截面法：用于校核，計算部分桿內力截面法：用于校核，計算部分桿內力 先把桿都設為拉力先把桿都設為拉力,計算結果為負時計算結果為負時,說明是壓力說明是壓力,與所設方向相反。與所設方向相反。 三桿節點無載荷、其中兩桿在三桿節點無載荷、其中兩桿在一條直線上，另一桿必為零桿一條直線上，另一桿必為零桿21SS且四桿節點無載荷、其中兩兩在四桿節點無載荷、其中兩兩在一條直線上，同一直線上兩桿一條直線上，同一直線上兩桿內力等值、同性。內力等值、同性。21SS43SS兩桿節點無載荷、且兩桿不在兩桿節點無載荷、且兩桿不在一條直線上時，該兩桿是零桿。一條直線上時，該兩桿是零桿。三、特殊桿件的內力判斷三、特

28、殊桿件的內力判斷021 SS何锃 第二章 平面力系的簡化和平衡 P392.2.4練習平面力偶平衡、二力桿） 2.5（練習匯交力系）；2.9 （練習0力桿）；2.10 （合力作用線）；2.12，2.14，2.15，2.16，2.21，2.22，2.17（b）,2.18（練習靜力學解題方法） 課后文獻閱讀課后文獻閱讀：了解靜力學 主要內容， 發展簡史， 學科分類 ：http:/ 物理學 詞條：靜力學：中國大百科全書出版社，2009-07：277頁課后作業和討論課后作業和討論：課后作業課后作業，并討論討論靜平衡問題的分析方法設有F1, F2 Fn 各平行力系， 向O點簡化得：FxFRMxiiORFR

29、RO主矢iiiOOxFFmM)(主矩 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系平面平行力系:各力的作用線在同一平面內且相互平行的力系叫 。合力作用線的位置為：平衡的充要條件為 主矢 主矩yFxFFMRXRYRo)(0R0OM所以 平面平行力系的平衡方程為：0)(iAFm0)(iBFm 二矩式二矩式條件：條件：AB連線不能平行連線不能平行 于力的作用線于力的作用線0Y0)(iOFm 一矩式一矩式實質上是各力在x 軸上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有兩個獨立方程，只能求解兩個獨立的未知數。0X平面一般力系習題課平面一般力系習題課一、力線平移定理是力系簡化的理論基礎一、力線平移

30、定理是力系簡化的理論基礎 力 力+力偶 平衡; 0, 0OMR合力矩定理合力矩定理)()(1iniOOFmRm; 0, 0; 0, 0OOMRMR或合力（主矢）; 0, 0OMR合力偶（主矩） 二、平面一般力系的合成結果二、平面一般力系的合成結果本章小結：本章小結：一矩式一矩式 二矩式二矩式 三矩式三矩式三、三、 0)(00FmYXO0)(0)(0FmFmXBAA,B連線不連線不 x軸軸0)(0)(0)(FmFmFmCBAA,B,C不共線不共線平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 成為恒等式 一矩式 二矩式 0X0)(0FmYA0)(0)(FmFmBABA連線不平行于力線平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程 成為恒等式 0)(FmA00YX平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程0im四、靜定與靜不定四、靜定與靜不定 獨立方程數 未知力數目為靜定 獨立方程數 未知力數目為靜不定五、物系平衡五、物系平衡 物系平衡時，物系中每個構件都平衡， 解物系問題的方法常是：由整體由整體 局部局部 單體單體六、解題步驟與技巧六、解題步驟與技巧 解題步驟解題步驟 解題技巧解題技巧 選研究對象選研究對象 選坐標軸最好