1、2021/3/10講解：XX12021/3/10講解：XX22.排列數的公式：排列數的公式：其中其中n,mN，并且，并且mn。 1.排列的定義：排列的定義： 從從n個不同的元素中任取個不同的元素中任取m（mn)個不同元素，按一個不同元素，按一定的順序排成一列定的順序排成一列,叫做從叫做從n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m個元素個元素的的一個排列一個排列； 從從n個不同的元素中任取個不同的元素中任取m（mn)個不同元素的所有個不同元素的所有排列的個數，叫做從排列的個數，叫做從n個不同的元素中任取個不同的元素中任取m個元素的個元素的排排列數列數。用符號。用符號“Anm”表示。表示。Anm=n

2、(n-1)(n-2) (n-m+1) n!(n-m)!=3.全排列數與階乘：全排列數與階乘：Ann=n!=n.(n-1).(n-2).2.1(n+1)!=(n+1).n.(n-1).2.1知識回顧：知識回顧：=(n+1).n!復習回顧復習回顧2021/3/10講解：XX3有附加條件的排列應用題的基本解法：有附加條件的排列應用題的基本解法：1）優限法）優限法有關特殊元素有關特殊元素“在不在在不在”特殊位置的排列問題要先找特殊位置的排列問題要先找出出“受限位置受限位置”與與“受限元素受限元素”，然后以，然后以“受限位置受限位置”為主，用直接法逐位排列之，有時用間接法解之。為主，用直接法逐位排列之，

3、有時用間接法解之。2）捆綁法）捆綁法若干個元素相鄰排列問題，一般用若干個元素相鄰排列問題，一般用“捆綁法捆綁法”。先把。先把相鄰的若干元素相鄰的若干元素“捆綁捆綁”為一個大元素與其余元素全為一個大元素與其余元素全排列，然后再排列，然后再“松綁松綁”，將這若干個元素內部全排列，將這若干個元素內部全排列3）插空法）插空法若干個元素不相鄰的排列問題，一般用插空法，即若干個元素不相鄰的排列問題，一般用插空法，即先將先將“普通元素普通元素”全排列，然后再在排就的每兩個全排列，然后再在排就的每兩個元素之間及兩端插入特殊元素。元素之間及兩端插入特殊元素。4）排除法）排除法對某些問題的反面比較明了，可用排除法

4、。對某些問題的反面比較明了，可用排除法。2021/3/10講解：XX4例例1. 7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆中，問有多少不同的種種在中間，也不種在兩端的花盆中，問有多少不同的種法？法？解一解一：分兩步完成；第一步選兩葵花之外的花占據兩端和中間的位置：種排法有35A第二步排其余的位置：種排法有44A種不同的排法共有4435AA解二：解二：第一步由甲乙去占位：種排法有24A第二步由其余元素占位：種排法有55A種不同的排法共有5524AA2021/3/10講解：XX5例例2：6人排成一排，人排成一排，（1）甲，

5、乙兩人必須相鄰，有多少種不的排法？）甲，乙兩人必須相鄰，有多少種不的排法？（2）甲，乙兩人相鄰，另外）甲，乙兩人相鄰，另外4人也相鄰，有多少種不同的排法？人也相鄰，有多少種不同的排法？（3）甲，乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？）甲，乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？（4）甲，乙，丙三人兩兩不相鄰，有多少種不同的排法？）甲，乙，丙三人兩兩不相鄰，有多少種不同的排法？【圖示】 解：（1）甲 乙分兩步進行：第一步，把甲乙當做一個人排列：種排法有55A第二步，甲，乙兩個人排隊：種排法有22A種排法共有2255AA（2） 【圖示】 第一步把甲乙當做一個人把其余4個人當做一個人排隊：種排法有22A第二步

6、給甲乙兩人排隊：種排法有22A第三步給其余4個人排隊：種排法有44A種不同的排法共有442222AAA2255663AAA解種不同的排法有225566AAA 2021/3/10講解：XX6練習：練習： 7 7人站一排照相人站一排照相（1 1）若甲、乙兩人坐在兩端；丙不坐正中間的排法有多少種？）若甲、乙兩人坐在兩端；丙不坐正中間的排法有多少種？（2 2）若甲坐最左邊，乙、丙不相鄰，有多少種排法？）若甲坐最左邊，乙、丙不相鄰，有多少種排法？（3 3）若甲坐在首位，乙、若甲坐在首位，乙、 丙必須相鄰，丁不在末位有多少種排法？丙必須相鄰，丁不在末位有多少種排法？ 解解：（：（1 1）甲、乙兩人坐兩端的

7、排列數為）甲、乙兩人坐兩端的排列數為A A2 22 2，正中間的排列，正中間的排列數為數為A A4 41 1，其它位置的排列數為，其它位置的排列數為A A4 44 4，所以共有所以共有A A2 22 2.A.A4 41 1.A.A4 44 4=192(=192(種種) )。（優限法）（優限法） (2) (2)因為甲坐左位，則問題可看作為六個不同元素的排列，因為甲坐左位，則問題可看作為六個不同元素的排列，其中乙丙不相鄰，所以符合題意的總排列為其中乙丙不相鄰，所以符合題意的總排列為 (3) (3)將乙丙捆起看作一個元素，則問題為六個不同元素的排將乙丙捆起看作一個元素，則問題為六個不同元素的排列問題

8、，又甲必坐首位，則問題又可看作五個不同元素的排列，列問題，又甲必坐首位，則問題又可看作五個不同元素的排列，其中丁不在末位，排列數為其中丁不在末位，排列數為A A4 41 1, ,所以總的排列數為所以總的排列數為A44. A52 (種種）（插空法）（插空法）或或A66-A22A55=480（種）（種）（排除法）排除法）A22.A41.A44=192(種）種）（捆綁法）捆綁法）2021/3/10講解：XX7例例3 3 5 5個男生個男生3 3個女生排成一排個女生排成一排,3,3個女生要排在一起個女生要排在一起, ,有有多少種不同的排法多少種不同的排法? ? 33A66A3366AA解 因為女生要排

9、在一起因為女生要排在一起, ,所以可以將所以可以將3 3個女生看成是個女生看成是一個人一個人, ,與與5 5個男生作全排列個男生作全排列, ,有有 種排法種排法, ,其中女生內其中女生內部也有部也有 種排法種排法, ,根據乘法原理根據乘法原理, ,共有共有 種不同的排種不同的排法法. .常用的方法常用的方法（2 2）捆綁法）捆綁法: :要求某幾個元素必須排在一要求某幾個元素必須排在一起的問題起的問題, ,可以用捆綁法來解決問題可以用捆綁法來解決問題. .即將需要相鄰的即將需要相鄰的元素合并為一個元素元素合并為一個元素, ,再與其它元素一起作排列再與其它元素一起作排列, ,同時同時要注意合并元素

10、內部也可以作排列要注意合并元素內部也可以作排列. .2021/3/10講解：XX8例例4：某信號兵用紅、黃、藍某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的面旗從上到下掛在豎直的旗扦上表示信號，每次可以任掛旗扦上表示信號，每次可以任掛1面、面、2面或面或3面，并且不面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？信號？分析：1）要做一件什么事？怎樣就叫把這件事做完了？2）什么叫不同信號？為什么是排列問題？解：分為三類：第一類掛一面旗：有 種信號，13A23A第二類掛二面旗：有 種信號33A第三類掛三面旗：有 種信號由分類計算原理：

11、+ + =3+32+321 13A23A33A=15答：一共可以表示15種不同的信號2021/3/10講解：XX9例例5 5 期中安排考試科目期中安排考試科目9 9門門, ,語文要在數學之前考語文要在數學之前考, ,有有多少種不同的安排順序多少種不同的安排順序? ?解解 不加任何限制條件不加任何限制條件, ,整個排法有整個排法有 種種,“,“語文安排語文安排在數學之前考在數學之前考”, ,與與“數學安排在語文之前考數學安排在語文之前考”的排法的排法是相等的是相等的, ,所以語文安排在數學之前考的排法共有所以語文安排在數學之前考的排法共有 種種. .99A9921A對稱法對稱法: :在有些題目中

12、在有些題目中, ,它的限制條件的肯定與否定是它的限制條件的肯定與否定是對等的對等的, ,各占全體的二分之一各占全體的二分之一. .在求解中只要求出全體在求解中只要求出全體, ,就可以得到所求就可以得到所求. .九九.對稱法對稱法:2021/3/10講解：XX10練習練習2 2（20052005年遼寧卷）用用年遼寧卷）用用1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8組成沒有重復數字的八位數，要求組成沒有重復數字的八位數，要求1 1與與2 2相鄰，相鄰，3 3與與4 4相鄰，相鄰，5 5與與6 6相鄰，而相鄰，而7 7與與8 8不相鄰，這樣的八位數共不相鄰，這樣的八位數共_個。（

13、用數字作答）個。（用數字作答）練習練習3 3 A A、B B、C C、D D、E E五人站成一排，如果五人站成一排，如果B B必須站在必須站在A A的右邊，那么不同的站法有多少種？的右邊，那么不同的站法有多少種？ 2021/3/10講解：XX11練習練習5 5 給定數字給定數字0 0，1 1，2 2，3 3，5 5，9 9，每次數字最多用一次。，每次數字最多用一次。(1)(1)可以組成多少個四位數？可以組成多少個四位數？(2)(2)可以組成多少個四位奇數？可以組成多少個四位奇數？(3)(3)可以組成多少個四位數偶數？可以組成多少個四位數偶數？2021/3/10講解：XX12例5：用0，1，2，

14、3，4，5，6，這七個數字可組成多少個比300000大的無重復數字的六位偶數？【圖示】數位：十萬 萬 千 百 十 個有限制的數位上的可排數解：分三步完成：第一步排十萬位：種排法有14A第二步排個位：種排法有14A第三步排其余4位：種排法有45A大的六位偶數個比答可組成300000451414AAA有限制的數位上的可排數有限制的數位上的可排數有限制的數位上的可排數正解：分為兩類： 第一類：十萬位上是3或5之一的六位偶數有個451412AAA第二類：十萬位上是4或6之一的六位偶數有個451312AAA1680451312451412AAAAAA大的六位偶數個比答可組成30000016802021/

15、3/10講解：XX13變題變題： （1）能組成多少個被）能組成多少個被5整除的四位數？整除的四位數？（2）能組成多少個被）能組成多少個被25整除的四位數？整除的四位數？（3）能組成多少個比）能組成多少個比2401365大的數？大的數？（4）若把所組成的全部七位數從小到大排起）若把所組成的全部七位數從小到大排起來，來，2401365是第幾個數？第是第幾個數？第100個數是多少？個數是多少？（5）能組成多少個被）能組成多少個被3整除的四位數？整除的四位數？2021/3/10講解：XX14練習一練習一四名男生和三名女生站成一排：四名男生和三名女生站成一排：1一共有多少種站法？一共有多少種站法？2甲站

16、在正中間的不同排法有多少種？甲站在正中間的不同排法有多少種？3甲、乙二人必須站在兩端的排法有多少種？甲、乙二人必須站在兩端的排法有多少種？4甲、乙二人不能站在兩端的排法有多少種？甲、乙二人不能站在兩端的排法有多少種？5甲不站排頭，也不站排尾，有多少種排法？甲不站排頭，也不站排尾，有多少種排法？6甲只能站排頭或排尾，有多少種站法？甲只能站排頭或排尾，有多少種站法？2021/3/10講解：XX157甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種排法？甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種排法？8四名男生站在一起，三名女生站在一起，有四名男生站在一起，三名女生站在一起，有多少種排法？多少種排法？9男女相間的排法有多少種

17、？男女相間的排法有多少種？10女生不相鄰的排法有多少種？女生不相鄰的排法有多少種？11三名女生順序一定的排法有多少種？三名女生順序一定的排法有多少種？12甲與乙、丙二人不相鄰的排法有多少種？甲與乙、丙二人不相鄰的排法有多少種？四名男生和三名女生站成一排：四名男生和三名女生站成一排：1 14 44 40 0A AA A3 35 54 44 48 84 40 0A AA A3 33 37 77 72 24 40 00 0A AA AA AA AA A2 22 22 25 54 44 43 35 54 44 42021/3/10講解：XX16練習二：練習二：5名男生名男生5名女生排成一排名女生排成一排1女生都排在一起，有幾種排法？女生都排在一起，有幾種排法？2男生與女生相間，有幾種排法？男生與女生相間，有幾種排法？3任何兩個男生都不相鄰，有幾種排法？任何兩個男生都不相鄰，有幾種排法？45名男生不排在一起，有幾種排法？名男生不排在一起，有幾種排法？8 86 64 40 00 0A AA A5 55 56 66 62 28 88 80 00 0A A2 2A A5 55 55 55 58 86 64 40 00 0A AA A5 56 65 55 53 35 54 42 24 40 00 0A AA AA A6 66 65 55 51 10 01 10 02021/3/10講解：X