1、整式乘除與因式分解一.知識點(重點)1幕的運(yùn)算性質(zhì)：aman= am+n(m n為正整數(shù))同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加例：(2a)2( - 3a2)32. = amn (m n為正整數(shù))幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.例：(a5)5233. (n為正整數(shù))積的乘方等于各因式乘方的積例：(一ab)練習(xí)：(1) 5x3 2x2 y(2)3ab ( 4b2)(3) 3ab 2a(4) yz 2y2z2(5)(2x2y)3 ( 4xy2),、13|c 5| 2/2、2(6) a b 6a b c ( ac ) 3m- n4. = a(az 0, mn都是正整數(shù)，且 m n)同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指

2、數(shù)相減.例：(1) x8十 x2( 2) a4 + a(3) ( ab) 5十(ab) 27552(4) (-a) *(-a)(5) ( -b) (-b)5.零指數(shù)幕的概念：a0 = 1 (az 0)任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)幕都等于I .例：若(2a3b)01成立，則a,b滿足什么條件?6負(fù)指數(shù)幕的概念：a-p=(az 0, p是正整數(shù))任何一個不等于零的數(shù)的- p (p是正整數(shù))指數(shù)幕，等于這個數(shù)的p指數(shù)幕的倒數(shù).也可表示為：(mz 0, nz 0, p為正整數(shù))7單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的

3、一個因式.1例：(1) 3a2b 2abc abc23&單項式與多項式的乘法法則：1 332(2) ( m3n)3 ( 2m2n)2單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.例: (1) 2ab(5ab2 3a2b)(2) (-ab2 2ab) 1ab32(3) (-5m2n) (2n 3m n2)(4) 2(x y2z xy2z3) xyz9. 多項式與多項式的乘法法則:多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.例：(1) (1 x)(0.6 x) (2) (2xy)( x y)(3) ( 2m n)2練習(xí)：1I.

4、計算 2x 3 ( 2xy)( _ xy) 3 的結(jié)果是2 . (3 X 10 8) X ( 4 X 10 4)=23.若n為正整數(shù)，且x 2n= 3,則(3x 3n) 2的值為4 .如果(a nb ab。3= a 9b 15,那么mn的值是232I25. a 2(2a 3 a) =6 . ( 4x 2+ 6x 8) ( x 2)=27. 2n( 1 + 3mn ) =8 .若 k(2k 5) + 2k(1 k) = 32,則 k=9. ( 3x 2) + (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) =110. 在(ax 2+ bx 3)(x 2x+ 8)的結(jié)果中不含 x 3和 x 項，

5、貝U a=, b =2 II. 一個長方體的長為(a + 4)cm，寬為(a 3)cm，高為(a + 5)cm，則它的表面積為 ，體積為。12. 一個長方形的長是 10cm,寬比長少6cm則它的面積是 ，若將長方形的長和都擴(kuò)大了2cm,則面積增大了10. 單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.例：(1) 28x4y2+ 7x3y (2) -5al3c+ 15a4b (3) (2x2y) 3 (-7xy2) 14x4y3多項式除以單項式，先把這個多項式的每一單項式，再把所得的商相加.6xy)6xy例：(1

6、) (3x2y練習(xí)：1.計算：(1)34 2 3x y z12 2x y ；(2)2x2y 377(3)64 a.23 2n 216 a bb .(4)4x y(5)4 109210311.多項式除以單項式的法則:x y2項除以這個(5a3b 10a2b2 15ab3) ( 5ab)n2xy2. 計算:23 31 2 31 16Xy2Xy2Xy；z 2 21 21(2) x yx yxy5253225 n 1 2(3)a b23計算:6,5,3(2) 16 a b a b aba/八，54 小32(1) 4 x y x y 6 y x x y ；3123 2n6 84. 右(ax my )十(

7、3x y )=4x y ,易錯點：在冪的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯誤；有關(guān)多項式的乘法計算出現(xiàn)錯誤；誤用同底數(shù)幕的除法法則；用單項式除以單項式法則或多項式除以單項式法則出錯;乘除混合運(yùn)算順序出錯。12.乘法公式：2 2 平方差公式：(a + b) (a b) = a b文字語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差. 完全平方公式：(a+ b) 2= a2 + 2ab + b22 2 22 倍.(a b)= a 2ab+ b文字語言敘述：兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的例1:(1) (7+6x)(7-6x)；(2) (3y + x)

8、(x -3y)；(3) (-m+ 2n)( -m2n)例2:2(1) (x+6)(y-5)2(3) (-2x+5)2練習(xí)：431、a5a2 =。x(x3y2)2 2(x2y)3 ( xy2)3 =2、 6a4b3 12a3b4 8a3b2 2a3b2 ()3、 x2 9y2 (x )2 ； x2 2x 35 (x 7) (_13114、已知 x 5，那么 x =； x =。XXx5、 若9x2 mxy 16y2是一個完全平方式，那么 m的值是。6、 多項式 x3 x2 ,x2 2x 1, x2 x 2的公因式是 37、因式分解：8。27, , 2 1 2 &因式分解：4m 2mn n。49、計

9、算：0.131 8 0.004 8 0.002 8 。10、x2 y2 x y (x y) A，貝U A=易錯點：錯誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。13. 因式分解(難點)因式分解的定義.把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.掌握其定義應(yīng)注意以下幾點：(1) 分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；(2) 因式分解必須是恒等變形；(3) 因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.二、熟練掌

10、握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1) 掌握提公因式法的概念；(2) 提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母 各項含有的相同字母；指數(shù)相同字母的最低次數(shù)；(3) 提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是，提取完公因 式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項.(4) 注意點：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的, 一般要提出“一”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的.例：(1) 8a3b2 12ab3c(2) 75x3y5 35x

11、2y42、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用;常用的公式：平方差公式： a 2- b2=(a+ b) (a b)完全平方公式：a2+ 2ab + b2=222ab+ b =ab)2a b) 2例：( 1) a2b2 0.25c 22) 9(ab)2 6(b a) 13) a4x2 4a2x2 y 4x2y224) (x y)212(xy)z 36z2練習(xí)：1、若 x22（m 3）x 16是完全平方式，則 m 的值等于22 、 x22x m (x n)則 m=n =3、2x3y2與12x6y的公因式是4 、若xmyn =(x y2)(xy2)(x2y4)，則 m=n=5

12、、在多項式 m2 n2, a2 b2,x4 4y2, 4s29t4 中，可以用平方差公式分解因式的，其結(jié)果是6、若 x2 2（m 3）x 16 是完全平方式，則 m=7、 x2)x 2 (x 2)(x） 8、已知 1 xx2x2004x20050,則 x20069、若 16（a b）2 M 25 是完全平方式 M=。10、6x22(x 3) 2 ， x229 (x 3)211、若 9x2 k y2 是完全平方式，則 k=。 12 、若4x4 的值為 0，則 3x2 12x 5 的值是13、若 x2 ax 15 (x 1)(x 15)則 a=。14、若 x4,x2 y26 則 xy _。15、方

13、程 x2 4x 0 ，的解是易錯點：用提公因式法分解因式時易出現(xiàn)漏項，丟系數(shù)或符號錯誤； 分解因式不徹底。中考考點解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是中考的一個重點內(nèi)容 . 其考點主要涉及以下幾個方面：考點 1 、冪的有關(guān)運(yùn)算例1（2009年湘西）在下列運(yùn)算中，計算正確的是（）（ A）（B）分析：幕的運(yùn)算包括同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算、幕的乘方、積的乘方和同底數(shù)幕的除法運(yùn)算幕的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確解決幕的有關(guān)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練理解各種運(yùn)算的法則解：根據(jù)同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算法則知a3 a2 a3 2 a5，所以（A）錯；根據(jù)幕的乘方運(yùn)算法則知（a2）3a23 a6，所以（B）錯；根據(jù)同底數(shù)幕的除法

14、法則知a8 a2a82a6，所以（C）錯；故選（D）.例2. （ 2009年齊齊哈爾）已知10m 2，10n 3，則103m 2n .分析:本題主要考查幕的運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)幕的乘法法則am an amn,將指數(shù)相加化為幕相乘的形式，再逆用幕的乘方的法則（am）n amn，將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為幕的乘方的形式，然后代入求值即可.3m 2n3m 2nm. 3n、232解：101010（10 ）（10 ）2372.考點2、整式的乘法運(yùn)算例3 . （ 2009年賀州）計算： =.分析:本題主要考查單項式與多項式的乘法運(yùn)算計算時，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項式與單項式的乘法運(yùn)算，注意符號的變化11

15、 1解：（2a） （a3 1） = （ 2a）a3 （ 2a） 1 =a4 2a.442考點3、乘法公式例4. （2009 年山西省）計算：分析:運(yùn)用多項式的乘法法則以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，然后合并同類項解：=X2 6x 9 （x2 2x x 2）2 2=x 6x 9 x 2x x 2 = 9x 7.3例5. （2009年寧夏）已知：a b , ab 1，化簡（a 2）（b 2）的結(jié)果是.2分析:本題主要考查多項式與多項式的乘法運(yùn)算.首先按照法則進(jìn)行計算，然后靈活變形，使其出現(xiàn)（a b）與ab ,以便求值.解：（a 2）（b 2） = ab 2a 2b 4 = ab 2（a b） 4=12 34

16、2.2考點4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例6. （2009年長沙）先化簡，再求值：，其中.分析:本題是一道綜合計算題，主要在于乘法公式的應(yīng)用.解：考點5、整式的除法運(yùn)算例 7. (2009 年廈門)計算：(2 x y)(2 x + y) + y(y 6x) +2x分析：本題的一道綜合計算題，首先要先算中括號內(nèi)的，注意乘法公式的使用，然后再進(jìn)行整式的除法運(yùn)算解：(2 x y)( 2 x + y) + y(y 6x) -2 x“，222、小=(4x y + y 6xy) -2 x2=(4x 6xy) -2 x=2x 3y.考點6、定義新運(yùn)算例& ( 2009年定西)在實數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其法則為

17、：，求方程(43)的解.分析：本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運(yùn)算法則，觀察已知的等式可知，在本題中“”定義的是平方差運(yùn)算，即用“”前邊的數(shù)的平方減去“”后邊的數(shù)的平方解：T ,.考點7、乘法公式例3 (1) (2009年白銀市)當(dāng)時，代數(shù)式的值是 .2 2(2) (2009年十堰市)已知：a+b=3, ab=2,求a +b的值.解析：問題(1)主要是對乘法的平方差公式的考查原式=x2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2 =9問題(2)考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，說明：乘法公式應(yīng)用極為廣泛，理解公式的本質(zhì)，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運(yùn)算變得簡單快捷，事半功倍考點8、因式分解例4