1、二項式定理 習題精選一、與通項有關的一些問題 例1在的展開式中，指出：1）第4項的二項式系數，2）第4項的系數， 3）求常數項 解:展開式的通項為展開式中的第r+1項. 1），二項式系數為； 2）由1）知項的系數為； 3）令6-3r=0, r=2, 常數項為. 例2若的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項. 分析:通項為, 前三項的系數為，且成等差， 即 解得:n=8. 從而，要使Tr+1為有理項，則r能被4整除. 例31）求的常數項；2）求(x2+3x+2)5的展開式中x的系數. 解:1） 通項， 令6-2r=0, r=3, 常數項為. 2）(x2+3x+2)5=(x+1)5

2、(x+2)5 展開式中含x項由(x+1)5中常數項乘(x+2)5的一次項與(x+1)5的一次項乘(x+2)5的常數項相加得到，即為，因而其系數為240. 例4(a+b+c)10的展開式中，含a5b3c2的系數為_. 分析:根據多項式相乘的特點，從(a+b+c)10的十個因式中選出5個因式中的a，三個因式中的b，兩個因式中的c得到，從而a5b3c2的系數為. 小結:三項式的展開，或者轉化為二項式展開，或者采用得到二項式定理的方法去解決. 例5(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)100的展開式中x3的系數為_. 分析:（法一）展開式中x3項是由各二項展開式中含x3項合并而形成.因而

3、系數為 （法二）不妨先化簡多項式，由等比數列求和公式: 原式=, 要求x3項只要求分子的x4項，因而它的系數為. 二、有關二項式系數的問題. 例6(2x+xlgx)8的展開式中，二項式系數最大的項為1120，則x=_. 分析:二項式系數最大的為第5項， 解得:x=1或. 例7的展開式中系數最大的項為第_項. 分析:展開式中項的系數不同于二項式系數，只能用數列的分析方法. 設第r+1項的系數最大， 則 解得:， r=7，且此時上式兩個等號都不能取得， 因而第8項系數最大. 三、賦值法: 例8已知 1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)

4、2 4）求a1+a3+a5 5）|a0|+|a1|+|a5| 分析:1）可以把(1-2x)5用二項式定理展開求解. 從另一個角度看，a0為x=0時右式的結果，因而令x=0, (1-0)5=a0, a0=1. 2）令x=1, 則(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1, a1+a2+a3+a4+a5=-2. 3）令x=1，得a0+a1+a2+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (*) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）聯立(*),(*)兩方程，解得a1+a3+a5=-122. 5） 因而 |a0|+|a1|+|

5、a5|即為(1+2x)5的展開式的所有系數和， |a0|+|a1|+|a5|=(1+2)5=35=243. 小結:求展開式的系數和只需令x=1可解； 賦值法也需合情合理的轉化. 例9已知, 其中b0+b1+b2+bn=62, 則n=_. 分析:令x=1，則, 由已知， 2n+1-2=62, 2n+1=64, n=5. 例10求的展開式中有理項系數的和. 分析:研究其通項. 顯然當r=2k(kZ)時為有理項.因而它的有理項系數和即為(2+t)n的奇數項的系數和. 設 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+antn , 令t=1，即3n=a0+a1+a2+an 令t=-1，即1=a0-a1+a2-

6、+(-1)nan 上兩式相加，解得奇數項系數和. 四、逆用公式 例11求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1 解: 例12求值: 分析:注意將此式還原成二項展開式的結構 原式= 五、應用問題 例13求證:32n+2-8n-9能被64整除. 證明: 能被64整除. 例149192除以100的余數為_. 分析:9192=(90+1)92 被9192100除的余數為81. 小結:若將9192整理成(100-9)92 隨之而來又引出一新問題，即992被100除的余數是多少，所以運算量較大. 例15求0.9983的近似值（精確到0.001) 解: 典型例題例1、 已知二項

7、式 展開式中，末三項的系數依次成等差數列，求此展開式中所有的有理項。解：二項展開式的通項公式為 由此得二項展開式中末三項的系數分別為 ， ， 依題意得 注意到這里 ，故得n=8 設第r+1項為有理項，則有x的冪指數 為整數， r=0，4，8， 這里T1，T5，T9為有理項，又由通項公式得： ， ， 所求二項展開式中的有理項分別為 ， ， 點評：二項展開式中關于某些項或某些項的系數問題，一般都要運用通項公式。若 （為相對常數，x為變量），則當g(n,r)為自然數時 為整式項；當g(n,r)為整數時 為有理項。例2、 已知 的展開式中奇數項的二項式系數之和等于512，試求：（1）二項式系數最大的項

8、；（2）系數的絕對值最大的項；（3）系數最大的項。解：由題意得 n=10二項展開式的通項公式為 （1）n=10，二項展開式共11項二項展開式的中間一項即第六項的二項式系數最大又 所求二項式系數最大的項為 （2）設第r+1項系數的絕對值 最大，則有 解之得 ，注意到 ，故得r=3 第4項系數的絕對值最大 所求系數絕對值最大的項為 （3）由通項公式的特征可知，系數最大的項應在項數為奇數的項內，即在r取偶數的各項內又r取偶數0，2，4，6，8，10時，相應的各項系數分別為 ， ， ， ， 即分別為1， ， ， ， 由此可知，系數最大的項為第5項(r=4)，即 點評：（1）解決二項式問題要注意區分兩種

9、系數：一種是某一項的系數，按通常的多項式系數去理解、認定；一種是某項的二項式系數，僅指這一項中所含的那個組合數。二者在特殊情況下方為同一數值。（2）這里 展開式中系數絕對值最大的項，實際上是 展開式中系數最大的項，必要時可適時轉化。（3）本題解法“一題兩制”：對于（2），我們運用一般方法進行推導；對于（3），我們運用認知、列舉、比較的方法導出目標。當指數n數值較小時，（3）的解法頗為實用。例3、 已知a0，b0，2m+n=0， ，且在 的展開式中系數最大的項是常數項，求 的取值范圍。解：設二項展開式中 為常數項， 依題意令 則將已知式 代入得 注意到這里 ，由得r=4 展開式中系數最大的項是

10、于是有 因此可知，所求 的取值范圍為 例4、 求證：（1） 能被 整除 ；（2） 證明：（1）為利用二項式定理，對 中的底數n變形為兩數之和（或差）。 ，且 ， 于是有 （）注意到 ，且 ，故 ，因此由（）式知 能被 整除；（2）證法一（倒序相加法）：設 注意到二項式系數的性質： 將式右邊各項倒序排列： +得 = 即 證法二（分項求和法）：注意到左邊各項的相同結構，且各項的通項： 據此變形左邊各項得右邊 = = = = 右邊 原等式成立點評：證明組合恒等式，除去利用二項公式這一組合的母函數外，上述兩種方法（特別是證法二）是基本證明方法。例5、設 ，求展開式中各二項式系數的和；展開式中各項系數的

11、和； 的值 的值 的值解：令 注意到這里n=200，故展開式中各二項式系數的和 展開式中各項系數的和 注意到 仿得 又 解法一（直面原式）： 又 再由二項式的展開式知， 點評：對于二項展開式中各奇數項系數的和或各偶數項系數的和或其它有關多項式中系數的和，一般可根據問題的具體情況，對未知數x賦予適當的數值，運用特取法求出和式的值。例6、 化簡下列各式（1） ；（2） 分析：注意到二項展開式中各項的特征： ，其中b的方冪與組合數上標相同。為利用二項式公式求解，依次對原式實施湊因子和湊項，即使各項中有關因子的方冪等于組合數上標，又使以原式為基礎湊出的式子符合二項展開式的特征。解：（1）令x= ，則

12、，即 故得 （2）令x= ，則 由 得 故得 即 點評：對于組合數系數成等比數列的組合式求和，一般是在適當作以湊因子或湊項的構造之后，運用二項式公式本身化簡或求值。例7、 試求下列二項展開式中指定項的系數：（1） 的展開式中 項的系數；（2） 的展開式中 項的系數；（3） 的展開式中 項的系數；（4） 的展開式中x項的系數；（5） 的展開式中 項的系數；解：（1）借助“配方轉化”：原式 原展開式中 項的系數，即 展開式中 項的系數又 展開式的通項公式為 令 得r=3 展開式中 所求原展開式中 項的系數為-960；（2）注意到 的冪指數3較小，借助“局部展開”：原式 展開式中 的系數為 =-59

13、0（3）解法一（求和轉化）：原式 所求原展開式中 項的系數即為 展開式中 項的系數， 所求展開式中 項的系數為 解法二（集零為整）：考察左式各部，展開式中 項的系數為 （4）解法一（兩次利用二項式定理）： 設展開式中第r+1項為含有x的項，又 要使x的冪指數為1，必須且只需r=1即 而 展開式中的常數項為 ，故得原展開式中x的系數為 解法二（利用求解組合應用題的思路）：注意到 欲求 展開式中x的一次項，只要從上式右邊5個因式中有1個因式取3x，其余四個因式都取常數2即可。 原展開式中x的一次項為 所求原展開式中x的系數為240；（5）解法一（兩次利用二項展開式的通項公式）：注意到 其展開式的通

14、項 又 的展開式的通項 依題意 ， 由此解得 ， ， 由、得所求展開式中 項的系數為 解法二（利用因式分解轉化）： 所求即為 展開式中 的系數，于是利用“局部展開”可得其展開式中 的系數為 =-168小結：多項展開式中某一項系數的主要求法（1）等價轉化：配方轉化；求和轉化；分解轉化；化整為零。（2）局部展開；（3）兩次利用二項式定理或兩次利用二項展開式的通項公式； （4）借助求解組合應用題的思想例8、 已知數列 的通項 是二項式 與 的展開式中所有x的次數相同的各項的系數之和，求數列 的通項公式及前n項和公式。解：將 與 的展開式按升冪形式寫出 由可知，只有 的展開式中出現 的偶數次冪時，才能

15、與 的展開式中x的次數相同。 由、得 所求數列 的通項公式為 ；其前n項和公式為 五、高考真題（一）選擇題1.（2005全國卷 III ）在 的展開式中 的系數是（ ）A. 14 B. 14 C. 28 D. 28分析：對于多項展開式中某一項的總數的尋求，“化整為零”為基本方法之一， ，又 的展開式中 的系數為 ， 的系數為 原展開式中 的系數為 ，應選B。2.（2005江蘇卷）設k=1，2，3，4，5，則 的展開式中 的系數不可能是（ ）A. 10 B. 40 C. 50 D. 80分析：立足于二項展開式的通項公式： 當k=1時，r=4， 的系數為 ；當k=2時，r=3， 的系數為 ；當k=

16、3時，r=2， 的系數為 ；當k=4時，r=1， 的系數為 。 綜上可知應選C。點評：關于二項展開式中某一項的問題，一般要利用二項展開式的通項公式。3.（2005浙江卷）在 的展開式中， 的項的系數為（ ）A. 74 B. 121 C. 74 D. 121 分析：考慮求和轉化，原式 又 的展開式中 系數為 的展開式中 系數為 原展開式中 項的系數為 ，應選D。4.（2005重慶）若 展開式中含 項的系數與含 項的系數之比為-5，則n等于（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10分析：設第r+1項是含 的項，又 這一項的系數為 ，且 再設第s+1項是含 的項，則 這一項的系數為 ，且 由、得 ，故 又由、得 化簡得 于是由、解得 n=6，r=4，故選B。5.（2005山東卷）如果 的展開式中各項系數之和為128，則展開式中 的系數是（ ）A. 7 B. 7 C. 21 D. 21 分析：設 ，則 由已知得 ，解得n=7 令 得r=6. ，故所求系數為 ，應選C。6.（2004福建卷）若 的展開式的第3項為288，則 的值是（ ）A. 2 B. 1 C. D. 分析：由題設 ，應選A。（二）填空題1.（2005福建卷） 展開式中的常數項是 （用數字作答）分析： 當 得 r=2. ，即所求常數項為240。2.（2004重慶卷）若在 展開