1、專業好文檔離散數學試題(a卷及答案）一、證明題（10分）1)(p(qr)(qr)(pr)r證明: 左端(pqr)(qp)r)(pq)r)(qp)r)(pq)r)(qp)r)(pq)(qp)r(pq)(pq)rtr(置換)r2)$x(a(x)b(x) xa(x)$xb(x)證明 ：$x(a(x)b(x)$x(a(x)b(x)$xa(x)$xb(x)xa(x)$xb(x)xa(x)$xb(x)二、求命題公式(p(qr)(pqr)的主析取范式和主合取范式（10分）證明：(p(qr)(pqr)(p(qr)(pqr)（p(qr)）(pqr)(pq)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr

2、)(pqr)m0m1m2m7m3m4m5m6三、推理證明題（10分）第 14 頁 共 14 頁1） cd, (cd) e, e(ab), (ab)(rs)rs證明：(1) (cd)e (2) e(ab) (3) (cd)(ab)(4) (ab)(rs) (5) (cd)(rs) (6) cd (7) rs2) x(p(x)q(y)r(x)，$xp(x)q(y)$x(p(x)r(x)證明（1）$xp(x)(2)p(a)(3)x(p(x)q(y)r(x)(4)p(a)q(y)r(a)(5)q(y)r(a)(6)q(y)(7)r(a)(8)p(a)(9)p(a)r(a)(10)$x(p(x)r(x)

3、(11)q(y)$x(p(x)r(x)四、設m是一個取定的正整數，證明：在任取m1個整數中，至少有兩個整數，它們的差是m的整數倍證明 設，為任取的m1個整數，用m去除它們所得余數只能是0，1，m1，由抽屜原理可知，這m1個整數中至少存在兩個數和，它們被m除所得余數相同，因此和的差是m的整數倍。五、已知a、b、c是三個集合，證明a-(bc)=(a-b)(a-c) （15分）證明 x a-（bc） x ax（bc） x a（xbxc） （x axb）（x axc） x（a-b）x（a-c） x（a-b）（a-c）a-（bc）=（a-b）（a-c）六、已知r、s是n上的關系，其定義如下：r=| x,

4、yny=x2，s=| x,yny=x+1。求r-1、r*s、s*r、r1,2、s1,2（10分）解：r-1=| x,yny=x2，r*s=| x,yny=x2+1，s*r=| x,yny=（x+1）2，七、若f:ab和g:bc是雙射，則（gf）-1=f-1g-1（10分）。證明：因為f、g是雙射，所以gf：ac是雙射，所以gf有逆函數（gf）-1：ca。同理可推f-1g-1：ca是雙射。因為f-1g-1存在z（g-1f-1）存在z（fg）gf（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。r1,2=,，s1,2=1,4。八、（15分）設是半群，對a中任意元a和b，如ab必有a*bb*a，證明：(

5、1)對a中每個元a，有a*aa。(2)對a中任意元a和b，有a*b*aa。(3)對a中任意元a、b和c，有a*b*ca*c。證明 由題意可知，若a*bb*a，則必有ab。(1)由(a*a)*aa*(a*a)，所以a*aa。(2)由a*(a*b*a)(a*a)*(b*a)a*b*(a*a)(a*b*a)*a，所以有a*b*aa。(3)由(a*c)*(a*b*c)(a*c*a)*(b*c)a*(b*c)(a*b)*c(a*b)*(c*a*c)(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*ca*c。九、給定簡單無向圖g，且|v|m，|e|n。試證：若n2，則g是哈密爾頓圖 證明 若n2，則2nm23m6

6、 （1）。若存在兩個不相鄰結點、使得d()d()m，則有2nm(m2)(m3)mm23m6，與（1）矛盾。所以，對于g中任意兩個不相鄰結點、都有d()d()m，所以g是哈密爾頓圖。離散數學試題(b卷及答案）一、證明題（10分）1)(pq)(p(qr)(pq)(pr)t證明 左端(pq)(p(qr)(pq)(pr)(摩根律) (pq)(pq)(pr)(pq)(pr)(分配律) (pq)(pr)(pq)(pr) (等冪律) t(代入)2)x(p(x)q(x)xp(x)x(p(x)q(x)證明 x(p(x)q(x)xp(x)x(p(x)q(x)p(x)x(p(x)q(x)p(x)x(p(x)q(x)

7、xp(x)xq(x)x(p(x)q(x)二、求命題公式(pq)(pq) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq) (ppq)(qpq)(pq)m1m0m2m3三、推理證明題（10分）1)(p(qs)(rp)qrs證明：（1）r 附加前提(2)rp p(3)p t(1)(2),i(4)p(qs) p(5)qs t(3)(4),i(6)q p(7)s t(5)(6),i(8)rs cp2) x(p(x)q(x)，xp(x)$x q(x)證明：(1)xp(x) p(2)p(c) t(1),us(3)x(p(x)q(x) p(4)p(c)q

8、(c) t(3),us(5)q(c) t(2)(4),i(6)$x q(x) t(5),eg四、例5在邊長為1的正方形內任意放置九個點，證明其中必存在三個點，使得由它們組成的三角形（可能是退化的）面積不超過1/8（10分）。證明：把邊長為1的正方形分成四個全等的小正方形，則至少有一個小正方形內有三個點，它們組成的三角形（可能是退化的）面積不超過小正方形的一半，即1/8。五、已知a、b、c是三個集合，證明a(bc)=(ab)(ac) （10分）證明：x a（bc） x ax（bc） x a（xbxc）（ x axb）（x axc） x（ab）x ac x（ab）（ac）a（bc）=（ab）（ac

9、）六、p=a1，a2，an是集合a的一個劃分，定義r=|a、bai，i=1，2，n，則r是a上的等價關系（15分）。證明：aa必有i使得aai，由定義知ara，故r自反。a,ba，若arb ，則a,bai，即b,aai，所以bra，故r對稱。a,b,ca，若arb 且brc，則a,bai及b,caj。因為ij時aiaj=f，故i=j，即a,b,cai，所以arc，故r傳遞。總之r是a上的等價關系。七、若f:ab是雙射，則f-1:ba是雙射（15分）。證明: 對任意的xa，因為f是從a到b的函數，故存在yb，使f，f-1。所以,f-1是滿射。對任意的xa，若存在y1,y2b，使得f-1且f-1,

10、則有f且f。因為f是函數，則y1=y2。所以，f-1是單射。 因此f-1是雙射。八、設是群，和是的子群，證明：若abg，則ag或bg（10分）。證明 假設ag且bg，則存在aa，ab，且存在bb，ba（否則對任意的aa，ab，從而ab，即abb，得bg，矛盾。）對于元素a*bg，若a*ba，因a是子群，a-1a，從而a-1 * (a*b)b a，所以矛盾，故a*ba。同理可證a*bb，綜合有a*babg。綜上所述，假設不成立，得證ag或bg。九、若無向圖g是不連通的，證明g的補圖是連通的（10分）。證明 設無向圖g是不連通的，其k個連通分支為、。任取結點、g，若和不在圖g的同一個連通分支中，則

11、，不是圖g的邊，因而，是圖的邊；若和在圖g的同一個連通分支中，不妨設其在連通分支（1）中，在不同于的另一連通分支上取一結點，則，和，都不是圖g的邊，因而，和，都是的邊。綜上可知，不管那種情況，和都是可達的。由和的任意性可知，是連通的。一、 選擇題.(每小題2分，總計30) 1. 給定語句如下：（1）15是素數（質數）（2）10能被2整除，3是偶數。（3）你下午有會嗎？若無會，請到我這兒來！（4）2x+30.（5）只有4是偶數，3才能被2整除。(6)明年5月1日是晴天。以上6個語句中，是簡單命題的為（a）,是復合命題的為（b）,是真命題的為（c）,是假命題的是（d）,真值待定的命題是（e）a:

12、(1)(3)(4)(6) (1)(4)(6) (1)（6） b: (2)(4) (2)(4)(6) (2)(5)c: (1)(2)(5)(6) 無真命題 （5） d: (1)(2) 無假命題 (1)(2)(4)(5)e: (4)(6) （6） 無真值待定的命題2. 將下列語句符號化：（1）4是偶數或是奇數。（a）設p：4是偶數，q：4是奇數（2）只有王榮努力學習，她才能取得好成績。（b）設p：王榮努力學習，q：王榮取得好成績（3）每列火車都比某些汽車快。（c）設f(x):x是火車，g(y):y是汽車，h(x,y):x比y快。a: pq pq pq b: pq qp pqc: x $y (f(x

13、) g(y) (h(x,y)x (f(x) $y(g(y)h(x,y)x (f(x) $y(g(y)h(x,y)3. 設s=1,2,3,下圖給出了s上的5個關系,則它們只具有以下性質:r1是（a）,r2是(b),r3是(c)。a b c:自反的，對稱的，傳遞的 反自反的，對稱的 自反的 反對稱的 對稱的 自反的，對稱的，反對稱的，傳遞的4. 設s=，1，1，2，則有 （1）（a）s （2） (b) s（3） p(s)有（c）個元數。 （4）（d）既是s的元素，又是s的子集a: 1,2 1 b: 1,2 1c: 3 6 7 8 d: 1 二、證明（本大題共2小題，第1小題10分，第2小題10分，

14、總計20分）1、用等值演算算法證明等值式 (pq)(pq)p2、構造下面命題推理的證明如果今天是星期三，那么我有一次英語或數學測驗；如果數學老師有事，那么沒有數學測驗；今天是星期三且數學老師有事，所以我有一次英語測驗。三、計算（本大題共4小題，第1小題5分，第2小題10分，第3小題15分，總計30分）1、設，求公式：的真值。2、設集合上的關系 ，求出它的自反閉包，對稱閉包和傳遞閉包。3、設上的整除關系，是否為上的偏序關系？若是，則：1、畫出的哈斯圖；（10分）2、求它的極小元，最大元，極大元，最大元。（5分）四、用推導法求公式的主析取范式和主合取范式。（本大題10分）答案：一、 選擇題1. a

15、: b: c: d: e: 2.a: b: c: 3.a: b: c: 4.a: b: c: d:二、證明題1. 證明 左邊（(pq)p）（(pq)q)） （分配律） p（(pq)q)） (吸收律) p（(pq) (qq)） （分配律） p（(pq)1） （排中律） p (pq) （同一律） p （吸收律）2.解：p：今天是星期三。 q：我有一次英語測驗。 r：我有一次數學測驗。 s：數學老師有事。 前提：p(qr) , sr , ps 結論：q 證明：ps 前提引入p 化簡p(qr) 前提引入qr 假言推理s 化簡sr 前提引入r 假言推理q 析取三段論推理正確。三、計算1. 該公式的真值是

16、1，真命題。或者2、3、（1） 是上的偏序關系。（2）極小元、最小元是1,極大元、 最大元是24。四、安徽大學2004-2005學年第二學期離散數學期末考試試卷（a卷）參考答案一、單項選擇1 在自然數集上，下列哪種運算是可結合的？（ ）a. b. c. d. 2 下列代數系統中，哪個是群？（ ）a. ，*是模7加法 b. （有理數集合），*是一般乘法c. （整數集合），*是一般減法 d. ，*是模11乘法3 若是的真子群，且，則有（ ）。a. 整除 b. 整除 c. 整除且 整除 d. 不整除且 不整除4 下面哪個集合關于指定的運算構成環？（ ）a. ，關于數的加法和乘法abcdefgb.階實

17、數矩陣，關于矩陣的加法和乘法c. ，關于數的加法和乘法d. ，關于矩陣的加法和乘法5 在代數系統中，整環和域的關系為（ ）。a. 域一定是整環 b.域不一定是整環 c. 整環一定是域 d. 域一定不是整環6 是自然數集，是小于等于關系，則是（ ）。a. 有界格 b.有補格 c. 分配格 d. 有補分配格7 圖1-1給出的哈斯圖表示的格中哪個元素無補元？（ ）a. b. c. d. 圖1-18 給定下列序列，可構成無向簡單圖的結點度數序列的是（ ）。a.（1，1，2，2，3） b.（1，3，4，4，5）c.（0，1，3，3，3） d.（1，1，2，2，2）9 歐拉回路是（ ）。a.路徑 b.簡單

18、回路 c.既是基本回路也是簡單回路 d.既非基本回路也非簡單回路10 哈密爾頓回路是（ ）。a.路徑 b.簡單回路 c.既是基本回路也是簡單回路 d.既非基本回路也非簡單回路二、填空題（以下每個下劃線為一空，請按要求填入合適的內容。每空2分，共30分）。1 設是非空有限集，代數系統中，對運算的單位元是，零元是，對運算的單位元是。 a b ca a b a b cc c 2 在運算表2-1中空白處填入適當符號，使成為群。，。3 設，是群的子群，其中，是模12加法，則有個真子群，的左陪集，。4設是一個布爾代數，如果在上定義二元運算為：，則是一個。表2-15 任何一個具有個元素的有限布爾代數都是。6

19、 若連通平面圖有4個結點，3個面，則有條邊。7 一棵樹有兩個結點度數為2，一個結點度數為3，三個結點度數為4，它有個度數為1的結點。8 無向圖是由（）棵數組成的森林，至少要添加條邊才能使成為一棵樹。三、求解題（20分） 1 試寫出中每個子群及其相應的左陪集。 （6分）274412313652 若一個有向圖是歐拉圖，它是否一定是強連通的？若一個有向圖是強連通的，它是否一定是歐拉圖？說明理由。 （6分）3 有向圖如圖3-1所示。（1）求的鄰接矩陣； （2分）（2）中到長度為4的路徑有幾條？ （2分）（3）中到自身長度為3的回路有幾條？ （2分）（4）是哪類連通圖？ （2分）圖3-1四、證明題（30

20、分）1 設是一群，。定義：，。證明也是一群。 2 證明：（1）證明在格中成立：。 （5分）（2）證明布爾恒等式：。 （5分）3 證明：（1）在6個結點12條邊的連通平面簡單圖中，每個面由3條邊圍成。 （5分）（2）證明當每個結點的度數大于等于3時，不存在有7條邊的簡單連通平面圖。安徽大學2004-2005學年第二學期離散數學期末考試試卷（a卷）參考答案一、單項選擇1b; 2.d; 3.a; 4.c; 5.a; 6.c; 7.b; 8.d; 9.b; 10.c.二、填空題1 ，； 2 ，；3 5，；4 交換群；5 同構；6 5；7 9；8 。三、求解題1 解：子群有：，。的左陪集為：，的左陪集為

21、：，的左陪集為：，2 答：（1）一個有向歐拉圖一定是強連通圖。因為是歐拉圖，存在歐拉回路，中的每個結點至少在中出現一次。因而中任意兩點，都在中，相互可達，故是強連通的。（2）一個強連通圖不一定是有向歐拉圖。因為強連通圖中每個結點的入度不一定等于其出度。3 解：（1） （2）由中可知，到長度為4的路徑有條（56748，）。（3）由中可知，到自身長度為3的回路有1條（）。（4）是單向連通圖。四、證明題1 證明：顯然是上的二元運算（即滿足封閉性），要證是群，需證結合律成立，同時有單位元，每個元素有逆元。 ，有 運算是可結合的。 其次，是的單位元。事實上，有； 最后證明，是在中的逆元。事實上， 由以上

22、證明，是群。2 證明：（1） （公式(13)分配不等式）又因為，所以。（2）因為，所以有， （吸收律）即等式成立。 3 證明：（1）因圖中結點數和邊數分別為，根據歐拉公式，得。又，而簡單連通平面圖的每個面至少由3條邊圍成，所以在6個結點12條邊的連通平面簡單圖中，每個面由3條邊圍成。（2）設圖為簡單連通平面圖，有個面。（反證法） 若，由歐拉公式知，而每個面至少由3條邊圍成，有，則，且是整數，所以；又對任結點，有，故，且是整數，所以。這樣就有，與矛盾，所以結論正確。安徽大學2007 2008學年第 2 學期離散數學（下）考試試卷（a卷）一、單項選擇題（每小題2分，共20分）1. 下列集合關于數的

23、加法和乘法運算不能構成環的是（ ）a.自然數集合； b.整數集合； c.有理數集合； d.實數集合。2. 設為整數集合，則下列集合關于數的加法運算不能構成獨異點的是（ ）a.； b.； c.； d.。3. 設，為模加法，則下列元素是的生成元的是（ ）a.2； b.3； c.4； d.5。4. 設是整環，則不一定是（ ）a.可交換環； b.無零因子環； c.含么環； d.域。5. 格不一定具有（ ）a.交換律； b.結合律； c.分配律； d.吸收律。6. 設，和分別表示求最小公倍數和最大公約數運算，則是（ ）a.有補格； b.分配格； c.有補分配格； d.布爾代數。7. 一個含個結點的無向圖

24、中有個結點的度數分別為，則第個結點的度數不可能是（ ）a.0； b.1； c.2； d.4。8. 設連通的簡單平面圖中有10條邊和5個面，則的結點數為（ ）a.6； b.7； c.8； d.9。9. 設無向樹中有個結點度數為，個結點度數為，個結點度數為，則中的樹葉數為（ ）a.10； b.11； c.12； d.13。10.設為連通的無向圖，若僅有個結點的度數是奇數，則一定具有（ ）a、歐拉路徑； b、歐拉回路； c、哈密爾頓路徑； d、哈密爾頓回路。二、填空題（每小空2分，共20分）1. 設為實數集合，則在代數中，關于運算的么元是 ，零元是 。2. 設為模加法，則在中，元素的階為 ，的階為

25、。3. 設，和分別為求最大公約數和最小公倍數運算，則在布爾代數中，原子的個數為 ，元素的補元為 。4. 在格中，當且僅當 當且僅當 。5. 一個具有個結點的簡單連通無向圖的邊數至少為 ，至多為 。三、解答題（第1小題12分，第2小題8分，共20分）1. 設圖如圖1所示，(1) 求的鄰接矩陣；(2) 求，說明從到的長為的路徑各有幾條；(3) 求的可達矩陣； (4) 求的強連通分圖。2. 求群的所有子群及由元素確定的各子群的左陪集，其中，是模加法。四、證明題（每小題10分，共40分）1. 證明布爾恒等式：。2. 設為實數集合，和為數的加法和乘法運算，對，證明：為獨異點。3. 證明：若簡單無向圖滿足

26、，則圖是連通圖。4. 設是一個群，；定義一個映射，使得對于有；證明：是安徽大學2007 2008學年第 2 學期離散數學（下）考試試卷（a卷）一、單項選擇題（每小題2分，共20分）1.a； 2.c； 3.d； 4.d； 5.c； 6.b； 7.b； 8.b； 9.a； 10.a。二、填空題（每小空2分，共20分）1.，； 2.，； 3.，； 4.，； 5.，。三、解答題（第1小題12分，第2小題8分，共20分）1. (1) 的鄰接矩陣； 2分(2) ； 5分從到的長為的路徑的條數分別為； 8分(3) 的可達矩陣為； 10分(4) 因，故的強連通分圖的結點集為，。 12分2. 的子群為：，； 4

27、分元素確定的各子群的左陪集對應為：，。 8分四、證明題（每小題10分，共40分）1. 2分 6分。 10分2. 因對和運算封閉，故對運算封閉；對， 2分,故，從而上的運算滿足結合律； 6分因對，故為運算的么元； 綜合以上，為上的可結合的二元運算，且關于運算有么元，所以為獨異點。 10分3. 假設有個連通分圖，則因為簡單無向圖，故， 4分因為，所以， 8分所以，這與矛盾！所以圖是連通圖。 10分4. 對，若，則，故，從而為單射； 3分，且，因此，使，所以為滿射； 6分，故為同態； 9分所以是的群自同構。 10分if we dont do that it will go on and go on.

28、 we have to stop it; we need the courage to do it.his comments came hours after fifa vice-president jeffrey webb - also in london for the fas celebrations - said he wanted to meet ivory coast international toure to discuss his complaint.cska general director roman babaev says the matter has been exa

29、ggerated by the ivorian and the british media.blatter, 77, said: it has been decided by the fifa congress that it is a nonsense for racism to be dealt with with fines. you can always find money from somebody to pay them.it is a nonsense to have matches played without spectators because it is against

30、 the spirit of football and against the visiting team. it is all nonsense.we can do something better to fight racism and discrimination.this is one of the villains we have today in our game. but it is only with harsh sanctions that racism and discrimination can be washed out of football.the (lack of

31、) air up there watch mcayman islands-based webb, the head of fifas anti-racism taskforce, is in london for the football associations 150th anniversary celebrations and will attend citys premier league match at chelsea on sunday.i am going to be at the match tomorrow and i have asked to meet yaya tou

32、re, he told bbc sport.for me its about how he felt and i would like to speak to him first to find out what his experience was.uefa hasopened disciplinary proceedings against cskafor the racist behaviour of their fans duringcitys 2-1 win.michel platini, president of european footballs governing body,

33、 has also ordered an immediate investigation into the referees actions.cska said they were surprised and disappointed by toures complaint. in a statement the russian side added: we found no racist insults from fans of cska.baumgartner the disappointing news: mission aborted.the supersonic descent co

34、uld happen as early as sunda.the weather plays an important role in this mission. starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cover. the balloon, with capsule attached, will move through the lower level of the a

35、tmosphere (the troposphere) where our day-to-day weather lives. it will climb higher than the tip of mount everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17 kilometers) and into the stratosphere. as he crosses the boundary layer (called the tropopause),e can expect a lot of turbulence.the balloon will slowly drift to the edge of space at 120,000 feet ( then, i would assume, he will slowly step out onto something resembling an olympic diving platform.below, the earth becomes the concrete bottom of a swimmi