1、2006高考數學第二輪復習專題專題四：圓錐曲線方程 福建仙游蓋尾中學 郭志龍專題設計立意及思路：高考試題中，解析幾何試題的分值一般占20左右，而圓錐曲線的內容在試卷中所占比例又一直穩定在14左右，選擇、填空、解答三種題型均有選擇、填空題主要考查圓錐曲線的標準方程及幾何性質等基礎知識、基本技能和基本方法的運用；以圓錐曲線為載體的解答題設計中，重點是求曲線的方程和直線與圓錐曲線的位置關系討論，它們是熱中之熱解答題的題型設計主要有三類：（1） 圓錐曲線的有關元素計算關系證明或范圍的確定；（2） 涉及與圓錐曲線平移與對稱變換、最值或位置關系的問題；（3） 求平面曲線（整體或部分）的方程或軌跡近年來，高

2、考中解析幾何綜合題的難度有所下降隨著高考的逐步完善，結合上述考題特點分析，預測今后高考的命題趨勢是：將加強對于圓錐曲線的基本概念和性質的考查，加強對于分析和解決問題能力的考查因此，教學中要注重對圓錐曲線定義、性質、以及圓錐曲線基本量之間關系的掌握和靈活應用高考第二階段的復習，應在繼續作好知識結構調整的同時，抓好數學基本思想、數學基本方法的提煉，進行專題復習；做好“五個轉化”，即從單一到綜合、從分割到整體、從記憶到應用、從慢速摸仿到快速靈活、從縱向知識到橫向方法.這一復習過程，要充分體現分類指導、分類要求的原則，內容的選取一定要有明確的目的性和針對性，要充分發揮教師的創造性，更要充分考慮學生的實

3、際，要密切注意學生的信息反饋，防止過分拔高，加重負擔.因此，在圓錐曲線這一章的復習中，設計了分類復習、分層復習、層層遞進的復習步驟.一、高考考點回顧0104四年高考圓錐曲線試題回顧：年次題號題型內容類別分值總分百分率01年全國文科7選擇題概念、性質類5分21分140%14填空題概念、性質類4分20解答題直線和圓錐曲線關系類12分理科7選擇題概念、性質類5分21分140%14填空題概念、性質類4分19解答題直線和圓錐曲線關系類12分02年全國文科7選擇題概念、性質類5分28分187%11選擇題概念、性質類5分16填空題概念、性質類4分21解答題與圓錐曲線有關的軌跡類14分理科6選擇題概念、性質類

4、5分21分140%14填空題概念、性質類4分19解答題概念、性質類12分03年全國文科3選擇題概念、性質類5分24分160%5選擇題概念、性質類5分22解答題與圓錐曲線有關的軌跡類14分理科2選擇題概念、性質類5分24分160%8選擇題概念、性質類5分21解答題與圓錐曲線有關的軌跡類14分04年全國文科7選擇題概念、性質類5分24分160%8選擇題直線和圓錐曲線關系類5分22解答題直線和圓錐曲線關系類14分理科7選擇題概念、性質類5分22分147%8選擇題直線和圓錐曲線關系類5分21解答題直線和圓錐曲線關系類12分04年浙江文科6選擇題直線和圓錐曲線關系類5分24分160%11選擇題概念、性質

5、類5分22解答題與圓錐曲線有關的軌跡類14分理科4選擇題直線和圓錐曲線關系類5分22分147%9選擇題概念、性質類5分21解答題與圓錐曲線有關的軌跡類12分 從以上四年的高考題中可以看出選擇、填空題主要考察圓錐曲線有關的概念和性質問題；而解答題則是以直線和圓錐曲線關系、求軌跡類問題為主，當然也是圓錐曲線的概念性質為前提.所以在復習中，要求學生掌握一些直線和圓錐曲線關系和求軌跡問題的一般解題思路及思想方法，同時加強對圓錐曲線的概念和性質的理解和靈活應用的訓練.二、基礎知識梳理（一）概念及性質1橢圓及其標準方程 第一定義、第二定義；標準方程（注意焦點在哪個軸上）；橢圓的簡單幾何性質（a、b、c、e

6、的幾何意義，準線方程，焦半徑）；橢圓的參數方程x=acos,y=bsin,當點p在橢圓上時，可用參數方程設點的坐標，把問題轉化為三角函數問題.2 雙曲線及其標準方程：第一定義、第二定義（注意與橢圓類比）；標準方程（注意焦點在哪個軸上）；雙曲線的簡單幾何性質（a、b、c、e的幾何意義、準線方程、焦半徑、漸近線）.3 拋物線及其標準方程：定義以及定義在解題中的靈活應用（拋物線上的點到焦點的距離問題經常轉化為到準線的距離）；標準方程（注意焦點在哪個軸上、開口方向、p的幾何意義）四種形式；拋物線的簡單幾何性質（焦點坐標、準線方程、與焦點有關的結論）.（二）常見結論、題型歸類及應對思路：1中心在原點，坐

7、標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為ax2+bx21.2共漸近線的雙曲線標準方程為為參數，0）.3焦半徑、焦點弦問題（1） 橢圓焦半徑公式：在橢圓中，f、f分別左右焦點，p(x0，y0)是橢圓是一點，則：|pf1|=a+ex0 |pf2|=a-ex0 過橢圓（ab0）左焦點的焦點弦為ab，則，過右焦點的弦.（2）雙曲線焦半徑公式：設p（x0,y0）為雙曲線（a0,b0）上任一點，焦點為f1(-c，0)，f2(c，0),則：當p點在右支上時，；當p點在左支上時，；（e為離心率）（3）拋物線焦半徑公式：設p（x0，y0）為拋物線y2=2px(p0)上任意一點，f為焦點，則；y2=2px （p0）的

8、焦點弦（過焦點的弦）為ab，a（x1，y1）、b(x2，y2)，則有如下結論：x1+x2+p；y1y2=p2，x1x2=.（4）橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為，焦準距為p=，拋物線的通徑為2p，焦準距為p； 雙曲線（a0，b0）的焦點到漸進線的距離為b.4直線和圓錐曲線相交時的一般弦長問題一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為ab， a、b兩點分別為a(x1，y1)、b(x2，y2)，則弦長 ,這里體現了解析幾何“設而不求”的解題思想.5中點弦問題處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法，設a(x1，y1)、b(x2,y2)為橢圓（ab0）上不同的兩點，m(x0，y0)是ab

9、的中點，則kabkom=；對于雙曲線（a0，b0），類似可得：kabkom=；對于y2=2px（p0）拋物線有kab；另外，也可以用韋達定理來處理.6求與圓錐曲線有關的軌跡問題的常用方法（1）直接法：直接通過建立x、y之間的關系，構成f(x，y)0，是求軌跡的最基本的方法；（2）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程；（3）待定系數法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數，代回所列的方程即可；（4）代入法（相關點法或轉移法）：若動點p(x，y)依賴于另一動點q(x1，y1)的變化而變化，并且

10、q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程；（5）參數法：當動點p（x，y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程.三、重點、難點分析重點 圓錐曲線的概念、性質難點 圓錐曲線的概念、性質等的綜合應用四、課時安排第一課時 圓錐曲線的概念、性質類問題第二課時 直線和圓錐曲線關系類問題第三課時 與圓錐曲線有關的軌跡類問題說明：問題的類別、知識是相互聯系的，因此課時分類也不是絕對的.五、分課時講解例題第一課時 圓錐曲線概念、性質類問題例1.（02

11、北京）已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是 （ ） 分析：本題主要考查圓錐曲線的幾何性質，即橢圓、雙曲線焦點求法和雙曲線漸近線方程求法.由雙曲線方程判斷出公共焦點在x軸上，橢圓焦點，雙曲線焦點，又雙曲線漸近線為.代入，得，選d.例2（02全國文11）設，則二次曲線x2cot-y2tan=1的離心率的取值范圍為 （ ） 分析：本題主要考察三角函數和二次曲線的基本知識以及基本的推理計算技能.有一定的綜合性，涉及的知識面比較大.解一：因為，所以cot0，tan0，方程所表示的二次曲線是雙曲線，離心率必然大于1.從而排除a、b、c，得d.解二：依題設知二次曲線是雙曲線，半實軸長a和半

12、虛軸長b分別為，.所以半焦距，離心率為，因為，所以e的取值范圍為，選d.第二課時 直線和圓錐曲線關系類問題直線與圓錐曲線的位置關系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高檔題、壓軸題出現.主要涉及弦長、弦中點、對稱、參量的取值范圍、求曲線方程等問題.解題中要充分重視韋達定理和判別式的應用，解題的主要規律可以概括為“聯立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.例3 橢圓的中心是原點o，它的短軸長為，相應于焦點f（c，0）（

13、）的準線與x軸相交于點a，|of|=2|fa|，過點a的直線與橢圓相交于p、q兩點. （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線pq的方程；（3理工類考生做）設（），過點p且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點m，證明.本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.(i)解：由題意，可設橢圓的方程為 由已知得 解得 所以橢圓的方程為，離心率 (ii)解： 由(i)可得設直線pq的方程為由方程組 得 依題意 得 設 則 由直線pq的方程得 于是 由得從而所以直線pq的方程為 或(iii)證明：由已知得方程組 注意解得 因

14、故 而所以 例4已知雙曲線g的中心在原點，它的漸近線與圓相切過點作斜率為的直線，使得和交于兩點，和軸交于點，并且點在線段上，又滿足（）求雙曲線的漸近線的方程；（）求雙曲線的方程；（）橢圓的中心在原點，它的短軸是的實軸如果中垂直于的平行弦的中點的軌跡恰好是的漸近線截在內的部分，求橢圓的方程講解：（）設雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：所以，雙曲線的漸近線的方程為：（）由（）可設雙曲線的方程為：把直線的方程代入雙曲線方程，整理得則 （） ，共線且在線段上， ，即：，整理得：將（）代入上式可解得：所以，雙曲線的方程為（）由題可設橢圓的方程為：下面我們來求出中垂直于的平行弦中點的軌跡設

15、弦的兩個端點分別為，的中點為，則兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點的軌跡為直線截在橢圓s內的部分又由題，這個軌跡恰好是的漸近線截在內的部分，所以，所以，橢圓s的方程為：點評：解決直線與圓錐曲線的問題時，把直線投影到坐標軸上（也即化線段的關系為橫坐標（或縱坐標）之間的關系）是常用的簡化問題的手段；有關弦中點的問題，常常用到“設而不求”的方法；判別式和韋達定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具）第三課時 與圓錐曲線有關的軌跡類問題解析幾何主要研究兩大類問題：一是根據題設條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某

16、種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.解答軌跡問題時，若能充分挖掘幾何關系，則往往可以簡化解題過程例5（2004. 福建理）（本小題滿分12分）如圖，p是拋物線c：y=x2上一點，直線l過點p且與拋物線c交于另一點q.（）若直線l與過點p的切線垂直，求線段pq中點m的軌跡方程；（）若直線l不過原點且與x軸交于點s，與y軸交于點t，試求的取值范圍.本題主要考查直線、拋物線

17、、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.解：（）設p(x1，y1)，q(x2，y2)，m(x0，y0)，依題意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.過點p的切線的斜率k切= x1，直線l的斜率kl=，直線l的方程為yx12= (xx1)，方法一：聯立消去y，得x2+xx122=0.m是pq的中點 x0=-， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，pq中點m的軌跡方程為y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，則x0=kl=-，x

18、1=，將上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，pq中點m的軌跡方程為y=x2+1(x0).（）設直線l:y=kx+b，依題意k0，b0，則t(0，b).分別過p、q作ppx軸，qqy軸，垂足分別為p、q，則. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，則 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正數，的取值范圍是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.當b0時，=b=+22；當b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.當b0時，可取一切正數，的取值范圍是（2，+）.方法三：由p、q、t

19、三點共線得ktq=ktp，即=.則x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正數，的取值范圍是（2，+）.下面是探究型的存在性問題：例6（2004湖北理）（本小題滿分12分）直線的右支交于不同的兩點a、b.（i）求實數k的取值范圍；（ii）是否存在實數k，使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.本小題主要考查直線、雙曲線的方程和性質，曲線與方程的關系，及其綜合應用能力.解：（）將直線依題意，直線l與雙曲線c的右支交于不同兩點，故（）設a、b兩點的坐標分別為、，則由式

20、得假設存在實數k，使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f（c,0）.則由fafb得：整理得把式及代入式化簡得解得可知使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點.高考中的探索性問題主要考查學生探索解題途徑，解決非傳統完備問題的能力，是命題者根據學科特點，將數學知識有機結合并賦予新的情境創設而成的，要求考生自己觀察、分析、創造性地運用所學知識和方法解決問題.四、思維能力訓練（一） 選擇題1（04年天津理4、文5）設p是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為、f2分別是雙曲線的左、右焦點，若，則 ( ) a. 1或5 b. 6c. 7 d. 92（04重慶高考理10、文10）已知雙曲線的左

21、，右焦點分別為,點p在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ） a b c d3（04湖北理）已知橢圓的左、右焦點分別為f1、f2，點p在橢圓上，若p、f1、f2是一個直角三角形的三個頂點，則點p到x軸的距離為 （ ）a b3 c d4（04 福建理）如圖，b地在a地的正東方向4 km處，c地在b地的北偏東30方向2 km處，河流的沒岸pq（曲線）上任意一點到a的距離比到b的距離遠2 km.現要在曲線pq上選一處m建一座碼頭，向b、c兩地轉運貨物.經測算，從m到b、m到c修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費用最低是（ ）a(22)a萬元b

22、5a萬元c(2+1) a萬元d(2+3) a萬5（04 遼寧卷）已知點、，動點，則點p的軌跡是 （ ）a圓 b橢圓 c雙曲線 d拋物線604全國（山東山西河南河北江西安徽）理8、文8設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點q，若過點q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是 （ ） a， b2，2 c1，1d4，4（二）填空題1（2004年重慶高考理工類第16題）對任意實數k，直線：與橢圓：恒有公共點，則b取值范圍是_ 2（2004年湖南高考理工類第16題）設f是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點pi（i=1，2，3，），使|fp1|，|fp2|，|fp3|，組成公差為d的等差

23、數列，則d的取值范圍為 . （三）解答題1設拋物線過定點，且以直線為準線（）求拋物線頂點的軌跡的方程；（）若直線與軌跡交于不同的兩點，且線段恰被直線平分，設弦mn的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍2.（2004. 遼寧卷）（本小題滿分12分）設橢圓方程為，過點m（0，1）的直線l交橢圓于點a、b，o是坐標原點，點p滿足，點n的坐標為，當l繞點m旋轉時，求： （1）動點p的軌跡方程； （2）的最小值與最大值. 3.已知常數，向量，經過原點以為方向向量的直線與經過定點以為方向向量的直線相交于點，其中試問：是否存在兩個定點，使得為定值，若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由五、小結圓錐曲線方程這章

24、擴展開的內容比較多，比較繁雜，對學生來說不一定要把所有的結論一一記住，關鍵是掌握圓錐曲線的概念實質以及直線和圓錐曲線的關系.因此，在復習過程中要注意下述幾個問題： （1）在解答有關圓錐曲線問題時，首先要考慮圓錐曲線焦點的位置，對于拋物線還應同時注意開口方向，這是減少或避免錯誤的一個關鍵，同時勿忘用定義解題.（2）在考查直線和圓錐曲線的位置關系或兩圓錐曲線的位置關系時，可以利用方程組消元后得到二次方程，用判別式進行判.但對直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與雙曲線的漸近線平行時，不能使用判別式，為避免繁瑣運算并準確判斷特殊情況，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法.畫出方程所表示的曲線，通過圖形求解.當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化.同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍.（3）求圓錐曲線方程通常使用待定系數法，若能據條件發現符合圓錐曲線定義時，則用定義求圓錐曲線方程非常簡捷.在處理